高等数学课件：1-2 数列的极限

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第二节第二节 数列的极限数列的极限(Limits of Sequences) 第一章第一章 极限方法是高等数学中的一种基本方法 本节主要介绍数列极限的概念以及收敛数列的性质二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质一、数列极限的定义一、数列极限的定义返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2一、一、数列极限的定义数列极限的定义1. 数数 列列(Sequence of number)返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三31x2x3x4xnx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期

2、三42. 数列极限的定义数列极限的定义我们先来观察数列我们先来观察数列 1( 1)1nn当当n 无限增大时无限增大时 ，即即n 时的变化趋势时的变化趋势.图形演示图形演示返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5图形演示图形演示n 时，时，的变化趋势的变化趋势.数列数列 1( 1)1nn当当返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6通过上面演示实验的观察知通过上面演示实验的观察知: :返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月

3、15日星期三9x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10nxC证明数列证明数列nx的极限为的极限为C. 证证: ,0例例1 已知已知对一切自然数对一切自然数 n ，Cxn CC 0 成立成立所以所以, ,（常数），（常数），数列数列nx的极限为的极限为C. 注注1: 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数注注2: 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三113( 1)lim0(8)nnn证证:0nx3( 1)0(8)nn31(8)n例例2 证明证明18n1n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要1,n即

4、n取1,N 则当Nn 时, 就有,0nx1.故3( 1)limlim0(8)nnnnxn10,8nxn故也可取18N也可由310(8)nxnN 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取318N返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12例例3 证证:则则 1limnnqlim0n0( (由例由例1 1）则则 0nx01nq1nq, ) 1 ,0(欲使欲使,0nx只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取qNlnln1, 则当则当 n N 时时, 就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn返回返回上页上页下页下页目录目录2

5、021年12月15日星期三13二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一. (Uniqueness)证证由定义由定义, ,（1 1）（2 2）故故()()nnabxbxannxbxa2所以收敛数列的所以收敛数列的极限是唯一的极限是唯一的.返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14),2, 1() 1(1nxnn是发散的是发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列假设数列nx收敛收敛 , 则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在 .取取,21则存在则存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 与与1 , ),(2121a

6、a内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在21a21aa长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .例例4 证明数列证明数列返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三152. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界. (Roundedness)证证: 设设,limaxnn取取,1,N则则当当Nn 时时, 从而有从而有nxaaxna1取取 ,max21NxxxMa1则有则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.aaxn)(, 1axn有有说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一

7、定成立 . 例如例如,1)1(n虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .数列数列返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16若若,limaxnn且且0a,NN则Nn 当时时, 有有0nx, )0(. )0(证证: 对对 a 0 , 取取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明用反证法证明)3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性. (Sign-preserving Property)返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17*,axkn证证: 设

8、数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三18说明说明: 例如，例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !思考思考 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三19内容小结内容小结1. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义及应定义及应用用2. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三20思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存