大学物理：chpt2 运动的守恒量和守恒定律

1、 N个质点组成的系统，称为质点系个质点组成的系统，称为质点系。内力内力：系统内部各质点间的相互作用力。系统内部各质点间的相互作用力。质点系质点系 特点：成对出现；大小相等方向相反。特点：成对出现；大小相等方向相反。结论：质点系的内力之和为零结论：质点系的内力之和为零外力外力: : 系统外部对质点系内部质点的作用力。系统外部对质点系内部质点的作用力。FF内F内约定：系统内任一质点受力之和写成约定：系统内任一质点受力之和写成外力之和外力之和内力之和内力之和0iF内内iiFF内内i2-1 2-1 质点系的内力和外力质点系的内力和外力 质心质心 质心运动定理质心运动定理抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程CO

2、xy 质 点 系 的 质质 点 系 的 质量中心，简称量中心，简称质质心。心。具有长度的具有长度的量纲，描述与质量纲，描述与质点系有关的某一点系有关的某一空间点的位置。空间点的位置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。xzyOm2r2m1r1crcmirirNmN对于对于N个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：12,iNm mmm12, ,iNr rrr /ciixmx m/ciiym y m/ci izmz mimm 直角坐标系中直角坐标系中/ci irmr m直角坐标系下直角坐标系下xzyOcrcdmrddcr mrmdr mm面分布面分布体分布体分布

3、线分布线分布lmddSmddVmdd 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体d/cxxmmd/cyymmd/czzmm注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心位置重合。与重心位置重合。 例例2-12-1 求腰长为求腰长为a的的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结

4、果和熟知的三角形重心位置一致。dcx mxm三角形质心坐标三角形质心坐标xc是是2mx xddxdxOxya解解: :建立图示坐标建立图示坐标, , 面积元的面积为面积元的面积为2 2xd dx。设薄板每单位面积的质为设薄板每单位面积的质为 ，则此面积元的质量则此面积元的质量在离原点在离原点x处取宽度为处取宽度为d dx的面积元，的面积元，/22022d12axxa23a0cy根据对称性知根据对称性知例题例题2-22-2 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R, ,求求此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。任取一小段铁丝，任取一小段铁丝，其长度为其长度为dl，质量

5、质量为为dm，以以表示铁表示铁丝的线密度丝的线密度解：解：建立如图坐标系。建立如图坐标系。lmdd0 ,cx dcylym0sindRRm 22 Rm22RR2/cyR例题例题2-32-3 确定半径为确定半径为R的均质半球的质心位置。的均质半球的质心位置。解：解：建立如图所示坐标。建立如图所示坐标。已知薄圆盘的质心位于圆心，已知薄圆盘的质心位于圆心，取厚度为取厚度为dy的薄圆盘为质量微的薄圆盘为质量微元元,ddmVRxyOdymmyycd2203()d2/3RyRyyR3/4d30222RyyRR83 R质心在对称轴上质心在对称轴上距球心距球心3R/8处处。22dRyyiiicmrmr 设有一

6、个质点系，由设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心个质点组成，它的质心的位矢：的位矢：nnnnmmmrmrmrm212211质心的速度为质心的速度为trvccddiiimtrmddiiimvm质心的加速度为质心的加速度为tvaccddiiimtvmddiiimam由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得1111112131ddnvm amFFFFt2222222232ddnvm amFFFFt23ddnnnnnnnnnvm amFFFFt对于内力对于内力iiim aF故12210,0,inniFFFFiiicmamaiiciFFammicFma 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力表明：不管物体

7、的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就像是物体作用在物体的什么位置上，质心的运动就像是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。用其上的一个质点的运动一样。例例2-42-4有质量为有质量为2m2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为地点为xc 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。抛出，它们同时

8、落地。问第二块碎片落在何处。212211mmxmxmxc0,121xmmmmmxxc22cxx222 22 2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律P1. 动量动量单位单位(kg m s-1)将牛顿第二定律写作将牛顿第二定律写作2. 冲量冲量I 恒力的冲量恒力的冲量21,ttF作用时间恒量作用力)(:12ttFI力对质点的冲量冲力与时间的关系冲力与时间的关系 在时间在时间t1t2间隔内，力间隔内，力F是变化的，求是变化的，求t1t2时间间隔内的时间间隔内的总冲量总冲量 将区间将区间t1t2分成无穷多小段；分成无穷多小段； 取其中一小段取其中一小段dt, 这一这一小段内力的冲量小段内力的冲

9、量dtFId t1t2的总冲量为上式的总冲量为上式的积分的积分21ttdtFIdIt1F0tt2dtF 变力的冲量变力的冲量12212121PPPddtdtPddtFIttPPtt1221PPdtFItt质点动量定理质点动量定理 物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于该物体动量的增量。该物体动量的增量。二、二、 动量定理动量定理注意：注意：1、矢量性、矢量性 动量、冲量都是矢量，冲量的方向是动量的增量方动量、冲量都是矢量，冲量的方向是动量的增量方向，动量的增量是动量的矢量差而不是动量大小的变向，动量的增量是动量的矢量差而不是动量大小的变化。化。分量式分量式

10、zzttzzyyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212212121直角坐标系下的分量形式：直角坐标系下的分量形式：121212211ttvmvmdtFttFttOFF1t2tt2、平均冲力、平均冲力例例2-52-5 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4F=400-4 10105 5t/3t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300m/s300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1 1）子弹走完枪）子弹走完枪筒全长所用的时间筒全长所用的时

11、间t t。（。（2 2）子弹在枪筒中所受力的冲量）子弹在枪筒中所受力的冲量I I。（3 3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005tFst003. 010440035（2）sNttdttFdtI6 . 0321044003104400003. 0025003. 005（3）0 mvIgkgvIm2002. 03006 . 0例例2-62-6质量质量m=1kgm=1kg的质点从的质点从o o点开始沿半径点开始沿半径R=2mR=2m的圆的圆周运动。以周运动。以o o点为自然坐标原点。已知质点的运动方点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为程为 m m。试求从。试求从 s s到到 s s这

12、段这段时间内质点所受合外力的冲量。时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22to21221s211Rs222122sRs22tdtdsv)(211smv)(212smv1vm2vm)(211smkgmv)(212smkgmv)(12vmvmvmI)(6421222221smkgmvmvvm)( vm例例2-72-7smv/41smv/22sKgk/20tF)(mvtFNttktvmF6.7998.3)(F)( vmsin75sin2vmvm29)/(98.398.375cos24224)(22smtkmmvmtkm12)(vmvmvmt30152mvmv1mv一、质点系动量定理一、

13、质点系动量定理F1F3F2F4m1m2m3m4f1f2f3f4动量守恒定律 对每一个质点利用动量定理质点1质点i质点n101111121)(vmvmdtfFtt021)(iiiittiivmvmdtfF021)(nnnnttnnvmvmdtfF 力学系统内每个质点所受的力分成外力;F及内力f对上面n项求和0112121)(nnninnnittnivmvmdtFFFF 由n个质点组成的力学系统合外力的冲量等于系统总动量的增量。二、动量守恒定律二、动量守恒定律 若系统所受的合外力001niiF系统总动量守恒恒矢量niniiiiivmvm110分量式, 01niixF系统x方向动量守恒niniixi

14、ixivmvm110, 01niiyF系统y方向动量守恒niniiyiiyivmvm110, 01niizF系统z方向动量守恒niniiziizivmvm110说明：说明：（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2 2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞）为系统的总动量守恒。（如：碰撞） （3 3）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物

15、体，同样也适合微观定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。领域。例例2-8 2-8 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如果质量为如果质量为m mo o的飞船以初速的飞船以初速v vo o穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为积为S S的圆柱体）的圆柱体）t时刻飞船速度：v，质量：mmvvm00质量增量：质量增量：Svdtdmvvmm00Svdtdvvvmdm2

16、00v0vt=0时飞船速度:v0，质量：m0t时刻飞船再向前运动dt时间tvvdtvmSvdvo0003tvmSvv00202)11(2100002vmtSvmvdtvmSvdv003例例2-92-9已知已知: M: M和和m m接触面均光滑接触面均光滑, ,斜面高为斜面高为h h求求: :木块从静止开始滑到斜面底部时速度木块从静止开始滑到斜面底部时速度00cos0mvmvMv0vvV0Vcos00vvvVVvmm水平水平分量为：例例2-10 2-10 vu解：炮弹相对于地的速度为：解：炮弹相对于地的速度为：vuV由于水平方向动量守恒由于水平方向动量守恒：uvVV0)cos(Mvvumcosm

17、Mmuv解得：解得：mMvu一、一、 功功rFrFAcosrF 恒力的功恒力的功变力的功变力的功rdFdA物体在变力的作物体在变力的作用下从用下从a运动到运动到bYOXZbardF2 23 3 功功 动能动能 动能定理动能定理Abar dFbadA( J )注意：注意：、功是标量，有正、负。、功是标量，有正、负。0,2; 0,20 ; 0,2dAdAdA、功是过程量，只有物体的位置发生变化、功是过程量，只有物体的位置发生变化的过程中才存在功。的过程中才存在功。功率：功率：vFdtrdFdtdAP（J/s W(瓦瓦)）例例2-112-11rvmN2所作的功走一段小位移sdsdfdAfroNcos

18、dsNdsrvm2dAAr22dsrvm2mv2sdfdA 例例2-122-12 在在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为桶一共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口需作功多少？求一桶水从水面提到井口需作功多少？解解：dA=Fcos dy =(m0.2y) gdyJgymgygdyymA882 )22 . 0( )2 . 0(1002100YOdyyF10m例例2-132-13 在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻力跟深度成正比受阻力跟深度成正比

19、 f = ky。 第一锤钉子进入第一锤钉子进入木板木板1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(每一锤外力所作的功相同每一锤外力所作的功相同)解：第一锤外力作功解：第一锤外力作功A11111010210| cos 1 22AAdAfdyKydyKKy 阻阻外yoydy1cm所以所以cmyKKKy414.1222212第二锤外力作功第二锤外力作功A2212211 22yAK yd yKK yAA外二、质点的动能定理二、质点的动能定理bababavdvmrddtvdmrdFA 21)(21)(212dvvvdvvdvdvvdv222212121abbamvmvd

20、vm 合外力所作的功质点动能的增量合外力所作的功质点动能的增量 2KK221EE:21mvmv表示，质点的动能，用kakbEEA例例2-142-14（P97、229）一条均匀链条，质量为）一条均匀链条，质量为m，总长为总长为l,呈直线状放在桌面上，设桌面与链条之间的呈直线状放在桌面上，设桌面与链条之间的摩擦系数为摩擦系数为。现已知链条下垂长度为。现已知链条下垂长度为a时，链条开始时，链条开始下滑，试计算链条全部离开桌面时的速率。下滑，试计算链条全部离开桌面时的速率。axy解：解： 链条下落过程重力、摩链条下落过程重力、摩擦力做功，根据动能定理：擦力做功，根据动能定理：221mvAAfw当链条下

21、落当链条下落dy时，重力作的功时，重力作的功dAw 为为 )m(lygdydAw线密度全过程重力的功：全过程重力的功：)(2)(212222allmgalgygdyAlaw桌面摩擦力在链条下落时作的功：桌面摩擦力在链条下落时作的功：220)(22)(allmgalgxgdxfdxxdfAalf代入动能定理：代入动能定理：222221)(2)(2mvallmgallmg222)()(:alallgv解得 2 24 4 保守力作功保守力作功 势能势能一、保守力的功一、保守力的功1. 重力的功质量m的物体，从高度h1h2重力作功重力的元功:dA=mgcos drohh1h2rdgmdhcos dr=

22、-dhdr又:cos dr=-dh211212cos()hhAmgdrmgdhmghmgh 重力作功只跟始末位置有关，跟路径无关，这种力称保守力。重力是保守力。2. 弹力的功在弹性力xkF的作用下，从x1x2弹力所作的功dA=Fcos dx=kx(1)dx222112212121kxkxkxdxAxx弹力也是保守力图39oxx1dxx2xF3. 引力的功 m2在m1 引力作用下，从12引力所作的功)11( 21212211221rrmGmdrrmGmArr引力也是保守力引力的元功：引力的元功：l dGdArmmcos221又又drl dl dl dcos)cos(cosdrGdA221rmmr

23、1r2rfm1l d1m22rdrdl4. 保守力的数学表达式0rdFA保保 质点沿一闭合路径绕行一周，力所作的功为零，该力称保守力。二、成对力的功二、成对力的功111rdFdA222rdFdA221121rdFrdFdAdAdA2112111rdrdFrdFrdF设设:质点质点m1和和m2, 它们之间的它们之间的为相互作用力为为相互作用力为 和和1F2F21rdrd这里这里:是质点是质点m1 相对于相对于m2 的位移的位移结论结论:成对力的总功与参考系的选择无关成对力的总功与参考系的选择无关,其其 大小只取决与力和相对位移的乘积大小只取决与力和相对位移的乘积.12FF1rdm1m22r1r2

24、F1F1rd2rdxy12drdr三、势能三、势能以上讨论，重力、弹力、引力的功212221212121rGMmrGMmAkxkxAmghmghA引弹重 上三式等号左边是功，等号右边是能量的改变，这种能量只跟位置有关，所以称位能(也称势能)。EpEE2 . 1A21Pp12两两点点势势能能之之差差保保 为了确定a点的势能Epa, 先要确定零势能点apaaoEAFdr 保零势能点)11(212122oaoaoarrGMmkxkxmghmgh零势能点的选择又要使势能的表达式比较简单，重力势能零点ho=0弹性势能零点xo=0引力势能零点ro=重力势能= mgha弹性势能221akx引力势能arGMm

25、 对于一维条件下系统内的物体在保守力对于一维条件下系统内的物体在保守力 作用作用 下下,沿轴发生位移沿轴发生位移 时时,保守力所作的功为保守力所作的功为FdxdxFdxFdAxccos即即: dxdExpF一般的对于三维情况下一般的对于三维情况下:pEFpcdEdAdxFdExp总结: (1)凡作功只取决于始末位置而与路径无关的力叫保守力(2)只有系统相互作用力为保守力才能引入势能(3)势能是物体组成系统所具有的例:重力势能是物体和地球组成的系统所具有的;弹性势能是弹簧和小球组成系统所具有的;(4) 势能是位置函数，势能大小与势能零点选取有关 (5)保守力的功=势能增量的负值万有引力势能是m1

26、 和 m2 组成系统所具有的1221(AEpEpEp ）例例2-152-15：(如图)弹簧下挂一重物质量为 M ，弹簧的劲度系数为k 原长为l0分析系统(选弹簧、重物地球作为研究系统）势能大小0 xx解：建立坐标（如图）平衡位置为弹性势能和重力势能的零点距平衡位置为x 处系统势能为l0lklxkxmgxklxlkmgxEp221221221)(由平衡位置条件：klmg 221:kxEp 得klxmgx :得（1）代入（1）式一、质点组动能定理一、质点组动能定理 设质点组中有n个质点，每个质点受外力F, 内力f，利用质点的动能定理，对第i个质点有2022121 )(iiiibabaiiibaii

27、vmvmrdfrdFrdfFArdfArdFAbaiibaii内外2 25 5 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律对系统 n 个质点求和一力学系统所有外力作的功所有内力作的功系统总动能的增量注意：内力所作的功一般不为0。kiiiiiiiiEvmvmAAA2022121内外 例例2-162-16 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧洞口击入，在沙箱中前进一段距离l后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动。求此过程中内力所作的功。A内 = f (s+l) + f s f = f所以 A内= f l 0f fls二、功能

28、原理二、功能原理对一个力学系统，根据质点组动能定理12kkEEAA内外非保保内AAA 因此12kkEEAAA非保保外而21ppEEA保所以12)()(1122EEEEEEAApkpk非保外 系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律对一个力学系统来讲如果0非保外AA(或只有保守力作功)则 E2 = E1 系统机械能守恒 如果一个系统只有保守内力作功，其它如果一个系统只有保守内力作功，其它内力和一切外力都不作功，或所作功的代数内力和一切外力都不作功，或所作功的代数和等于零，那么系统的总机械能保持不变。和等于零，那么系统的总机械能保持不变。（1 1）机械

29、能守恒定律只适用于惯性系，不适）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。合于非惯性系。（2 2）机械能守恒是对于系统而言）机械能守恒是对于系统而言, ,机械能守恒机械能守恒必须明确是对于那些物体组成系统。必须明确是对于那些物体组成系统。(3)守恒条件守恒条件0非保外AA(4)系统保守内力的功使得系统动能和系统保守内力的功使得系统动能和势能相互转换势能相互转换,但不改变系统的机械能但不改变系统的机械能例例2 2-17-17 质量为m的物体以v0=2kms1的速度从地球表面垂直向上发射(忽略空气阻力)求物体能达到的最大高度。(重力加速度g=9.8ms2,地球半径R0为6.37106m) 解

30、：设物体能达到的最大高度为h。根据题意，从物体发射到最大高度的过程中，只有引力作功，所以机械能守恒。有hRGmMmvRGmM020021又mgRGmM20可解得kmvgRgRRh211) 121(20000例例2-18 2-18 计算第一，第二宇宙速度计算第一，第二宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量为，质量为M，卫星质量为卫星质量为m。要使卫星在距地。要使卫星在距地面面h高度绕地球作匀速圆周运动，高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。求其发射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：hRMmGmvRMmGmv2

31、212121由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：hRvmhRMmG22Rm解方程组，得：解方程组，得：hRGMRGMv212RmMGmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312102 .11222smvgRRGMv（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。四、能量守恒定律 对孤立系统：EA非保能量守恒定律

32、（law of conservation of energy）：一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。它是自然界最普遍的定律之一。则 , 0外A由质点系的功能原理： EEEAApk非保外 )2121()(21220221012210vmvmvmmEEEkk 201012vvvve 例例2-19 2-19 AB23212020BmVkx mkxVB300022211BVmvmvm033BmVmvmvmkxVvB3434300202222211221212121BVmvmvmkx20202023211693211692121BBBmVVmVmkx202020281)3(838321kxmkxmmVkxB0max21xx牛顿第二定律牛顿第二定律动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律动能定理动能定理机