高二第三讲(二)线面角B版

1、线面角线面角一、定义定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角.二、取值范围二、取值范围090三、求解方法三、求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.最小角定理斜线和平面所成的角， 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.线面角定义线面角定义【例 1】 如图，lABAB， ，

2、到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影长分别是m和n，若ab，则（）ABablA mn，B mn，C mn，Dmn，【答案】D【解析】试 题 分 析 ： 设 点 A 在上 的 射 影 为 点 C ， 点 B 在上 的 射 影 为 点 D ， 则,BCDBAD则ABaABbsin,sin，因为ab，所以sinsin,即;又因为,222mbAB222naAB，所以. nm 考点：直线在平面内所成射影和直线与平面所成的角.【变式】ABC在平面内，90ABC，PA是的斜线，BCPA，则点P在上的射影在（）A直线AC上B直线BC上C直线AB上DABC内部【答案】C【例 2】

3、已知直线a与平面所成的角为 30，P为空间一定点，过P作与a、所成的角都是 45的直线l，则这样的直线l可作（ ）条A2B3C4D无数【答案】A【解析】解：因为直线a与平面所成的角为 30，P为空间一定点，过P作与a、所【变式】 若一条直线与平面成 45角，则该平面内与此直线成 30角的直线的条数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】A【解析】考点：直线与平面所成的角分析：由已知中一条直线与平面 a 成 45角，根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为 45，再根据线线夹角的定义，求出条直线与平面内的直线所成角中最大值，即可求出这条直线与平面内的直线所成角的取值范

4、围，从而得到选项解：一条直线与平面 a 成 45角，则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为 45，当两直线垂直时，最大值为 90故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是 4590该平面内与此直线成 30角的直线的条数为 0故选 A定义法求线面角定义法求线面角【例 3】 如图, 三棱柱111CBAABC 中, 侧棱,1ABCAA底面且各棱长均相等.FED,分别为棱11,CABCAB的中点.() 证明EF/平面;1CDA() 证明平面CDA1平面;11ABBA() 求直线BC与平面CDA1所成角的正弦值.【变式】已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为

5、ABC的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A13B23C33D23C由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则13ABa，棱柱的高22221236()323AOaAOaaa（即点1B到底面ABC的距离） ，故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB.【 例4 】 如 图 ， 在 四 棱 锥ABCDP 中 ， 底 面ABCD是 矩 形 ，2, 32, 1,CDPDPCBCPDAD（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。等体积法求线面角等体积法求线面角【例 5】【2014 高考北

6、京理第 17 题】 如图， 正方体MADE的边长为 2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥ABCDEP中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于G，H.（1）求证：FGAB/；（2）若PA 底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.【变式【变式】 （ 如图 2）长方体4, 2, 3,11111AABCABDCBAABCD，求AB与面DCAB11所成的角。解：设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h,VBAB1C1=VABB1C113SAB1C1h=13SBB1C1AB，易得 h=125设AB 与 面 AB1C1D 所成的角为,则sin=h

7、AB=45A1C1D1H4CB123BAD图 2三余弦定理的应用三余弦定理的应用【 例 6 】 在ABCRt中 ,4, 3,2ACABA,PA是 面ABC的 斜线,3PACPAB(1)求 PA 与面 ABC 所成的角的大小；(2)当 PA 的长度等于多少的时候，点 P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上？图（1）图（2）图（3）解解：(1)依题意，斜线 PA 在面 ABC 上的射影必在BAC 的角平分线上，设垂足为O， 连结 AO,并延长 AOBC=D,设PAO ,则即为斜线 PA 与面 ABC 所成的角,因此2222214cos3coscos,4 ,即斜线 PA 与面 ABC 所成

8、的角为4；直角三角形 ABC 的直角平分线长 AD=7212，当延长 AP 到/p时，AD 成为斜线/Ap的射影，垂足 D 恰好落在边 BC 上，72472122/Ap，即当 PA 的长度等于724的时候，点 P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上【变式【变式】 （如图 4） 已知直线OCOBOA,两两所成的角为 60, ，求直线OA与 面OBC所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线 OD 上，则AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOCcos60=cosAODcos30 cos

9、AOD= 33 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为33。ODACB图 4线面角综合线面角综合【例 7】 【2014 高考江西文第 19 题】 如图， 三棱柱111CBAABC 中，111,BBBABCAA.（1）求证：111CCCA；（2）若7, 3, 2BCACAB，问1AA为何值时，三棱柱111CBAABC 体积最大，并求此最大值。【答案】 （1）详见解析， （2）1427AA 时，体积V取到最大值3 7.7【解析】试题分析： （1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化证明. 由1AABC知1BBBC,又11BBAB,故1BB 平面1,BCA即11BBAC,又11

10、/ /BBCC，所以11.ACCC（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：1BB 平面1,BCA因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱【变式】2014浙江卷如图 14，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准 目 标 点P， 需 计 算 由 点A观 察 点P的 仰 角的 大 小 若30,25,15BCMmACmAB，则tan的最大值是_(仰角为直线 AP 与平面 ABC 所成角)图 14解析 由勾股定理得 BC20 m如图，过 P 点作 PDBC 于 D，连接 AD, 则由点 A 观察点

11、 P的仰角PAD，tanPDAD.设 PDx，则 DC 3x，BD20 3x，在 RtABD 中，AD 152（20 3x）2 62540 3x3x2，所以 tanx62540 3x3x21625x240 3x316251x20 3625227255 39，故 tan 的最大值为5 39.【例 8】 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长均为 1,棱 BB1所在直线上的动点 M 满足1BBBM,AM 与侧面 BB1C1C 所成的角为,若2,22,则的取值范围是（）A6,12B4,6C3,4D125,3【答案】B【解析】试题分析：取BC边的中点为O，连接MOAO，由于BCAO ，平面ABC平

12、面CCBB11，则AO平面CCBB11，所以MO为斜线AM在平面CCBB11上的射影，则AMO为AM与侧面CCBB11所成的角，则AMO=，由于22141,1, 1OMAMBMBB，则22141cos)1 (4312， 因为2,22，2212，则23cos22， 所以46考点：直线与平面所成的角；【例 9】平面四边形 ABCD 中，AD=AB=2,CD=CB=5,且ADAB ，现将ABD 沿着对角线 BD 翻折成/A BD ，则在/A BD 折起至转到平面BCD内的过程中，直线/A C与平面BCD所成的最大角的正切值为()A.1B.12C.33D.3【答案】C【解析】试题分析：如下图，1OA

13、，2OC .当A C与圆相切时，直线/A C与平面BCD所成角最大，最大角为30，其正切值为33.选 C.考点：1、空间直线与平面所成的角；2、三角函数值.【变式】 在正方形1111DCBAABCD 中，Q是1CC的中点，F是侧面11CBCB内的动点且FA1/ 平 面AQD1， 则FA1与 平 面11CBCB所 成 角 的 正 切 值 得 取 值 范 围为.【答案】 2,2 2【解析】试题分析：设平面1AD Q与直线 BC 交于点 G，连接 AG、QG，则 G 为 BC 的中点分别取111B BB C、的中点 M、N，连接AMMNAN、，则111111A MD QA MD AQD QD AQ，

14、平面，平面，11A MD AQ平面同理可得1MND AQ平面，1A MMN、是平面1A MN内的相交直线平面11A MND AQ平面，由此结合11A FD AQ平面，可得直线11A FA MN 平面，即点 F 是线段MN上上的动点设直线1A F与平面11BCC B所成角为,运动点 F 并加以观察，可得:当 F 与 M（或 N）重合时，1A F与平面11BCC B所成角等于11A MB，此时所成角达到最小值，满足111tan2ABB M ；当 F 与 MN 中点重合时，1A F与平面11BCC B所成角达到最大值，满足111tan2 222ABB M,1A F与平面11BCC B所成角的正切取值

15、范围为 2,2 2,故答案为 2,2 2.考点：正方体的结构特征，直线与平面所成角，空间面面平行与线面平行关系的判定.已知线面角求其他已知线面角求其他【例 10】 如图，六棱锥PABCDEF的底面是边长为 1 的正六边形，PA 底面ABCDEF。（）求证：平面PAC 平面PCD；（）若直线 PC 与平面 PDE 所成角为45，求三棱锥BPCD高的大小。【答案】 （）详见解析； （）3【解析】试题分析： （）由线线垂直得到线面垂直 CD平面 PAC，进而求证出面面垂直； （）由已知条件求出 SPCD和 SBCD，再利用等体积法求出三棱锥 BPCD 的高.试题解析： （）在正六边形 ABCDEF 中，CDAC因为 PA底面 ABCDEF，CD平面 ABCDEF，所以 CDPA又 ACP