黑洞熵与黑洞温度的量子修正

1、黑洞熵与黑洞温度的量子修正李传仁摘要 本文通过对黑洞的形成、分类，黑洞的熵，黑洞的温度和黑洞的Hawking辐射等概念的综述，全面地讨论了黑洞的各种性质尤其是黑洞的热力学性质。本文主要是对黑洞的熵和黑洞的温度进行量子修正，用量子隧穿和黑洞辐射膜模型讨论黑洞的辐射过程，用WKB近似的方法把黑洞的熵修正到二阶，得到熵的二级量子修正（36）式。然后用热力学统计物理学的方法推导出黑洞温度与黑洞熵的关系（44）式，从而把黑洞二级修正后的熵代入得到黑洞的温度的修正 （50）式。最后得出，黑洞的熵除了基本的熵还包括有对数项和倒数项，黑洞的温度除了是黑洞质量的倒数还有其它负一次和负三次倒数项。因此，可以得到黑

2、洞的辐射不完全是黑体辐射。关键词 Hawking辐射；黑洞温度；黑洞熵；量子隧穿；量子修正 ABSTRACT Through to summarize the formation,assortment,entropy,temperature and Hawking radiation of the black hole,we comprehensively discussion various kinds of the properties of the black hole especially the thermodynamic properties. This paper mainly

3、is the quantum of the entropy and temperature of the black hole.By quantum tunneling and black hole radiation film black hole radiation process model discussion,with the WKB approximation method fixed the entropy of the black hole to the the second correction.And then by thermodynamic statistical ph

4、ysics method , deduced the entropy of the black hole temperature black hole relationship.And take the second correction of the entropy of the black hole into the relationship of the temperature of the black hole .We can have the temperature correction. KEY WORDS Hawking radiation;temperature of blac

5、k hole;entropy of a black hole;quantum tunneling;quantum correction 目录黑洞熵与黑洞温度的量子修正1目录2黑洞熵与黑洞温度的量子修正21. 前 言22.黑洞的形成与种类23.黑洞霍金辐射34.黑洞的温度和熵35.目前有关黑洞熵的修正66.黑洞的量子隧穿和黑洞熵的精确到二阶的修正77.黑洞温度的修正138.结 论15参考文献15黑洞熵与黑洞温度的量子修正1. 前 言本课题研究黑洞熵与黑洞温度的量子修正，具体是把黑洞的熵修正到二阶即倒数项，即而对温度进行修正。本文采用量子隧穿和膜壳辐射模型，用WKB近似和热力学物理统计的方法对黑洞

6、的熵和温度进行的修正。本文在于解释黑洞的热力学性质，特别是对于黑洞中的信息疑难问题得出一个合理的解释。这个解释就是要证明黑洞的辐射不是和黑体一样的纯辐射而是更复杂，我们就试着计算黑洞的熵是否为经典黑洞的熵来证明，同时修正黑洞的温度。 2.黑洞的形成与种类当在夜晚，我们举头望向那片深邃的天空时，面对无限的宇宙我们看到的更多的是一颗颗眨眨发光的星星。那些在天空中可以发出光芒的星星就是这个宇宙中最普遍的成员恒星。当恒星演化到晚期其质量超过一定的极限时，按广义相对论，恒星将会发生坍缩使自身发出的光线发生偏折，当光线的发射角和星球的引力场大到一定的程度时，光线将折回天体将不被发射出去。恒星继续坍缩，当天

7、体的半径达到半径时时，光线折射的角度将很大，红移将无限大，作为观察者的我们将不能看见这个天体的存在，这时的这个恒星就成为了一个看不见的黑洞。黑洞根据其不同的起源和形成过程可以将黑洞分为三大类，一是早期宇宙的相变过程或者密度扰动的条件下形成的原初黑洞；二是由大质量恒星死记亡时超新星爆发产生的恒星级黑洞；三是由星系并合或者超大质量恒星集团的塌缩等星系动力学的原因形成的超大质量的黑洞。在一般看来，任何物质都可以掉入黑洞，任何物质都跑不出来，也包括辐射在内。由于无毛定理，落入黑洞的物质会失去除了质量、角动量和电之外的全部信息，是熵增的过程，说明落入黑洞的物质已有一定的熵，要是黑洞无熵则违反是热力学第二

8、定律。然而，霍金发现黑洞也有和黑体一样的辐射。33.黑洞霍金辐射黑洞的霍金辐射，1975年霍金利用弯曲时空量子场论来分析黑洞附近的量子行为并得了结论：黑洞会精确地以普朗克谱的形式向外辐射如黑体辐射一样的能量，而且黑洞的霍金辐射是标准的热辐射。黑洞的霍金辐射是由真空涨落导致的。狄拉克指出真空是能量最低的状态而不是“真空真的完全地一无所有的空”，真空中时时刻刻都在发生阒虚粒子对的产生与湮灭。虚粒子对包括正能粒子和负能粒子，正能粒子与负能粒子相遇则会湮灭消失。并且由量子力学的不确定性原理：粒子坐标的不确定度与动量的不确定度的乘积不能小于一个常数，负能粒子不满足不确定性原理，因此我们在平常的物理空间中

9、无法观测到它们。虽然我们无法感知负能粒子的存在，但虚粒子对确实在产生与湮灭着。而且在黑洞的附近，产生的虚粒子对最终的结果有：一是自行湮灭，也就是产生的正负虚粒子对相遇而湮灭消失；二是产生的正能粒子与负能粒子都掉入黑洞的视界之内；这以上两结果都与黑洞的霍金辐射无关。而第三种结果是产生的虚粒子对中一个粒子落放黑洞，而另一个粒子飞向与黑洞奇点的无限远处，此时就会产生所谓的黑洞的霍金辐射。真空中产生的虚粒子对的第三种前途还有两种情况：一是产生的正能粒子掉入黑洞而负能粒子飞向远方；二是产生的负能粒子掉入黑洞而正能粒子飞向黑洞的无限远处。由于黑洞的内部据有单向膜的特点：允许粒子对中的负能粒子的存在面黑洞外

10、也就是我们的平常的物理空间中通常是不允许负能粒子的存在的，由于其存在不满足相对论中的不确定性原理。因此，黑洞附近产生虚粒子对中的导致霍金辐射的情况是，真空中产生的虚粒子对中，负能粒子通过遂穿过程进入黑洞，而正能粒子飞向远方。这情况就是黑洞从视界向处发射正能粒子一样，导致了一种不对称的、可观测的霍金辐射的产生2。4.黑洞的温度和熵根据黑洞的霍金辐射，黑洞本身就是一个热力学系统。只不过黑洞这个热力学系统比较特别，它具有负热容的特性。在存在黑洞的霍金辐射下，黑洞的温度为黑洞的表面重力或者说是表面引力，黑洞的熵为黑洞视界面积的大小。为了说明黑洞的温度和熵，我们有必要了解一般的施瓦西黑洞和克尔黑洞。由于

11、黑洞视界为单向膜区，黑洞视界把空间分为R区和T区，R区为（为施瓦西半径）的区域，该区域沿径向向外发身的光线可达无限远处而向内的光线可到达施瓦西面的奇点；而T区为的区域，无论沿那个方向的光线都只能到达奇点。因此T区以内的区域称为施瓦西黑洞。施瓦西黑洞是球对称无转动场源的引力场，表明施瓦西黑洞的引力坍缩是球对称的。面对于克尔黑洞和克尔纽曼黑洞的引力坍缩是轴对称的旋转天体所形成的，表明它们都具有一定的角动量。一个黑洞犹如一个具有温度（T）的热体一样发射辐射，其温度只与它的质量有关。更精确地讲，此温度由下式给出： （1）在此式中符号（C）表示光速，（h)是普朗克常数，（G）是牛顿引力常数，而(k)是玻

12、尔兹曼常数，最后，（M）表示黑洞的质量，这样黑洞越小，其温度越高。这个公式告诉我们，几个太阳质量的一个黑洞，其温度大约只有绝对零度 高一百分之一度。经典的黑洞温度认为：在经典热力学的推导下，黑洞的温度为 （2）此式适用于克尔纽曼黑洞和克尔黑洞。而对于施瓦西黑洞有： （3） (4) 由此可见施瓦西黑洞的温度与其引力质量有关且由其引力质量唯一确定，黑洞的质量越大，黑洞的温度越低，质量越小的黑洞，其温度反而越大。由于黑洞在不断地吸收物质，因此其质量会不断地变大而温度却在不断地降低。当黑洞的质量时由此公式（2）得黑洞的温度。由此可见当质量不断扩大时，黑洞的温度接近绝对零度。绝对零度是指在开氏温标也称热

13、力学温标下的零摄氏度。而对于原始小黑洞，当黑洞质量时，温度会上升为，大约为太阳中心法度（）的10万多倍。质量为是可以坍缩为黑洞的恒星的质量最小值，也就是原始小黑洞的质量下限。也就是说把质量为压缩到的空间范围内时，恒星才会坍缩为黑洞，此时恒星的温度为。由黑洞力学第三定律，即黑洞视界外的表面引力不能由有限次的操作而减少到零，由此可得黑洞的温度永远不可能为绝对零度。1黑洞的熵。对于热力学，熵在孤立系统也称为绝热过程中绝不减少，这就是熵增原理也就是热力学第二定律。那么在黑洞的视界范围内，有哪些量会与热力学中的熵有同样的性质？1971年，在“强能量条件”和“宇宙监督”的假设条件下，霍金提出黑洞力学第二定

14、律也称霍金面积定律：黑洞视界面积永不减少即黑洞的面积在顺时方向永不减少。因此可见黑洞的面积与热力学中的熵有着同样的性质，我们就定义黑洞的熵与黑洞的面积成正比。目前普遍认为，黑洞的熵起源有拓扑起源和统计起源。拓扑起源与黑洞的时空拓扑结构有关，拓扑结构则是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点，线关系的方法。而黑洞的统计起源则与黑洞事件视界的面积相关。本文则侧重于黑洞的统计起源。由于各种原因，黑洞熵的起源问题还是一个悬而未决的问题。黑洞熵的起源备受关注，却长期未能解决的原因有：一是黑洞熵的起源的根本问题不能由经典和半经典的研究解决，有待量子引力理论的最终建立才能解决；二是黑洞若由引力的坍缩而形成，由

15、于存在黑洞的霍金辐射，量子场的演化可能是非么正的，也就是黑洞信息的丢失；三是黑洞熵的研究涉及物理学中的量子场论、引力理论和热力学三个截然不同的领域。.因此，黑洞的熵的研究是目前理论物理研究中最重要的课题之一。熵是黑洞内部状态的数目的度量，这是具有给定的质量、旋转和电荷的黑洞允许的所有内部状态。黑洞的熵可由史蒂芬·霍金于1974年发现的公式给出。它等于黑洞视界的面积：视界面积的每一基本单位都存在关于黑洞内部状态的一比特的信息。这表明在量子引力和热力学之间存在一个深刻的联系。同时我们可以推出克尔黑洞下黑洞的熵，对于克尔黑洞，也就是渐近平直稳定轴对称中性黑洞，有黑洞的质量M，角动量J以及电

16、荷的关系为： （5）又由热力学中有，对于转动物体有 . (6)又有黑洞温度得 则代入（5）得 (7) 由公式（6）（7）对比有黑洞作为一个热力学系统具有的熵为 由上式可见黑洞的熵与黑洞的表面积A成正比，也就是与黑洞半径的平方成正比。 以上是关于黑洞的温度和黑洞的熵的经典解释，下面是有关一些黑洞熵的半经典与最近人们的研究的修正。5.目前有关黑洞熵的修正用广义测不准关系对黑洞熵进行修正。我们知道对于一个微观粒子而言，位置和动量这两个量在测量中的误差之积是不能大于一个微小常数的，从而得到海森伯的测不准关系。由于要考虑到黑洞辐射的量子效应主，得能量为的粒子就应该满足海森伯测不准关系。因此在引力场中海森

17、伯测不准关系应该改为广义测不准关系：其中式中是长度，是常数。应用这个广义测不准关系可以得到黑洞熵的修正项，此方法是把广义测不准关系进行Taylor级数展开从而得到黑洞视界面积的变化率，从而进行积分可得到黑洞的熵的修正项。由面积定理，取，则应用广义测不准关系得到的黑洞熵的修正式为9：. （8）由此式可以得出黑洞熵的修正的任意项，而且、和都是不小于零的数，所以计算出的黑洞熵的对数修正项的系数为正数，相反在大多数的理论中得出的有关黑洞的熵对数的修正项的系数一般为负数。对狄拉克粒子隧穿过带有整体单级子的黑洞的熵修正。带有整体单级子的黑洞的线元为其中为黑洞的时间坐标，为与大爆炸后整体单级子在早期宇宙形成

18、过程中的对称破却尺度有关，而且其中为质量参数，为电荷参数。当虑到量子效应后，得到的黑洞的熵为 （9）其中（9）式中通常的熵。从中我们可以发现黑洞的熵不仅仅包括熵，也包括其对数项和逆面积项的修正项。这是对于带电黑洞的熵的修正，而对于带电黑洞的熵主要是找出作用量的量子修正项和这个修正项的半经典项的比例系数，此对熵的修正来自费米子隧穿的贡献。除以上两个对于黑洞熵的修正的方法外，目前有关弦理论、量子几何和诱导引力理论在稳态黑洞的统计力学的黑洞起源的研究中得出了一些进展。因此有很多的理论从统计物理的角度对黑洞的熵进行修正。如文献中，有Kerr-Newman 黑洞的统计力学熵、Kerr-Newman-Ad

19、s 黑洞的统计力学熵、 黑洞的统计力学熵、 黑洞的统计力学熵、稳态 黑洞的统计力学熵、量子激发和黑洞的熵和无视界静态引力中量子场的统计力学等等一系列有关黑洞的熵及有关熵的修正。可是做为不同的方法对黑洞熵的修正项的系数都不一样，有关黑洞熵修正项中的对数修正项对有较大的认同度，可在上面的用广义测不准关系来修正黑洞的熵就可以看到对数修正项是正数而并非负数，并且人们还进行了其他计算并指出了对数项的系数为。因此，对于黑洞的熵的修正是不完善的，我们不禁要问能否找出一个对于任何方法都能得出的精准的修正项的系数，而且无论是对于对数修正项还是倒数修正项？下面我们就进行这样的尝试。6.黑洞的量子隧穿和黑洞熵的精确

20、到二阶的修正 黑洞的量子隧穿，更切切地说是黑洞向视界外的辐射。信息疑难是由Hawking提出的，它的根源是20世纪70年代初Carter和Robinson等人提出的黑洞无毛定理。1974年Hawking提出并证明了黑洞具有热辐射，并且黑洞的温度为其的真实温度。Hawking还指出黑洞的热辐射谱为纯热谱，并且认为黑洞的热辐射过程为量子隧穿过程。所谓黑洞的量子隧穿也称为黑洞辐射，是由于黑洞视界附近的真空涨落现象而引起的。真空中在不断的在进行着虚粒子对的产生和淹没，由于黑洞内部存在负能轨道而负能粒子在视界处不允许存在，因此产生的黑洞视界处部附近的粒子对，负能虚粒子向视界内隧穿而视界外就只剩下正能粒子

21、。这现象也可以这样理解，黑洞视界附近本是正负能量对等，而由于负能虚粒子向视界向隧穿可看成是正能粒子向视界外部的隧穿，即为辐射过程。由了黑洞的量子隧穿过程诉辐射谱在Hawking证明为纯热谱，即辐射过程除质量、电荷和角动量外不带出任何的信息。在我们的物理世界中，信息我们一般用熵来表达。如果黑洞是由恒星的晚期演化而来的，那么恒星那带有的一定的熵即信息也还会存在于黑洞内，也就是黑洞一开始是有熵的，但由于黑洞的辐射都为纯的热辐射不带出任何的熵，则在黑洞完全辐射蒸发完则黑洞的熵最终会消失，但其又没有和黑洞的量子辐射一起出来，那么黑洞一开始具有的熵那里去了呢？这就使我们不得不思考两个问题：一是黑洞是否本身

22、产生的那时就具有了一定的熵？二是黑洞的量子隧穿也就是黑洞的辐射是还在黑洞产生一直到辐射完都是进行的纯热谱的辐射？对于第一个问题有很多的人已经对其做了大量的工作，并证明了对了由恒星的晚期演化成的黑洞是具的一定的熵。而对于第二个问题黑洞辐射是否为纯热谱的问题也有人们做了大量的工作，向上面引言中提到的一些对黑洞熵的一些修正，从中我们可以知道对于黑洞辐射，在一级修正而去掉二级以后的修正时黑洞的辐射正好是纯的热辐射。所以，如今我们要尝试着用WKB准经典近似的方法对黑洞的辐射进行更精准的二级修正，看看黑洞的辐射在考虑到二级后是否为纯热辐射。 下面我们就要温习一下WKB近似的一般过程。WKB准经典近似分别为

23、,和三个人的简称，由于他们三人分别提出了一种求Schrodinger方程的解的方法。WKB准经典近似解决了一维势垒穿透的实际问题，为早期量子力学的角动量量子化条件提供过有力的支持。并且WKB近似是物理数学方法中的一种重要的近似方法，我们现在就运用此方法来推出的黑洞的量子隧穿概率精确到二级近似。一维势垒的薛定谔议程为 ， （10）式中m为粒子的质量，表示势垒。 在WKB近似中，我们把上面波函数变为 （11）其中（11）式中用展开成如下： （12）将（12）式代入薛定谔方程中得 （13） （14） （15）其中（13）式中的 粒子运动在可分成三个区，分别为I入射反射区，势垒区II和出射区III。对

24、于这三个区进行粒子运动的积分得到粒子量子隧穿的出射概率为6： （16）其中对了全区域有 （17）从统计物理学中我们可以得知道粒子的出射率为2 （18）其中是粒子出射前后黑洞的熵变。对比以上（15）（17）两个式子我们可以得出关于黑洞的熵的二级修正，下面我们就以黑洞为例用此方法对黑洞的熵进行修正。首先让我们先来认识一下黑洞，黑洞是一个带电并旋转的黑洞。一个黑洞有两个独立的事件的视界。黑洞的带电荷量越多，其的事件的视界也会越多，并且任何的类光子都会存在其内。这种两个事件的视界在空间和时间有两次的交换：在球面上的封闭的内在的视界，空间和时间不会交换。因此，双视界是可以避免奇异性的，奇异性是指黑洞视界

25、处的度规是发散的。其中下图为黑洞的一般模型。 Main features of a Reissner-Nordstrom black hole 对于带有整体单级子的黑洞，其线元为： ，（19）其中为黑洞的时间坐标，是与大爆炸后整体单级子在早期宇宙形成过程中的对称破却尺度有关的量，为质量参数，为电荷参数。把度规变换为渐近扁平有： （20）把（20）式代入（19）式变换后的黑洞的线元为： （21）对于无静止质量的粒子比如光子，并不带电，则黑洞的带电量不变。我们可以把遂穿辐射的粒子视作具有能量为的壳层，因为在视界处的视界面与无限红移面重合，所以该壳层的s波有无限蓝移，出现频无限高，波长无限短的情况。

26、在这时波包的特征波长会是任意小，因此，此时的光波非常的靠近几何光学。对于这些出射的s波不需要用到二次量子化方法，而用WKB方法即可把其近似到二阶。粒子贯穿势垒的概率与作用量虚部S的关系为 其中式中作用量的虚部为 （22）式中是粒子在黑洞外视界出射前后的始末位置。由于黑洞的收缩，可认为是势垒的转折点。则有7 （23）由于辐射后，所以有，并把（23）式代入（22）式得 （24）对（24）式子进行积分处理，先对进行积分，可以令则对于（24）式中有8 （25）则对于辐射后的动量为 （26）代入（22）式得 （27）因此，对于黑洞的经典隧穿过程有 （28）由WKB近似法的（14）式可得 （29）可以由（

27、15）式得到二阶近似的熵变为 （30）则对（30）式从积分可以求出黑洞熵的二次修正为 （31）由（31）式可以得到， （32）将（32）（27）代入（16）可以得到粒子隧穿的概率为 （33） 如果我们用统计物理学的方法对比辐射前后的粒子数有粒子隧穿的概率为 （34）因此对比（33）（34）我们可以得到精确到二阶的黑洞的熵为 （35） （36）其中式中的通常为黑洞的熵。7.黑洞温度的修正 根据热力学第一定律：和第二定律可得，在可逆过程中并且只有体积变化功有：则可得到热力学的基本方程为4： （37）它代示相邻两平衡态状态变量内能U、熵S和体积V之间的变化关系。我们可以把内能U看作是S、V的函数的全

28、微分，即则内能的全微分为： （38）把（38）式对比热力学基本方程（37）式可得 （39）则由（39）式可以得到 （40） 现今我们用此公式来讨论黑洞的视界上的温度T。对于黑洞，我们可以把它看成是一个热力学系统，同时我们用“球壳”辐射来研究黑洞的量子隧穿过程，黑洞同时在不断地吸收着各种各样的物质，也就是各种辐射。所以可以把黑洞看成是一个大热源，不过它是负热容的，它不地向外辐射和从外界吸收，因此，黑洞的辐射可以看成是可逆过程，并且在这个过程中黑洞只有半径的变化，也就是只有体积的变化功。对于黑洞，黑洞的内能U与黑洞的质量M是成正比的，我们可以用黑洞的质量代替黑洞的内能，则我们研究黑洞,热力学基本方程变为 （41）对于黑洞有代入（41）式得到 （42）两边同时除以T（42）式可以变为 （43）得到黑洞温度的倒数为 （44）此方程给出是黑洞的熵S与黑洞的温度T之间的关系，从而我们在得到黑洞修正后的熵之后就可以用此式计算出黑洞温度的修正。以下我们用此方法讨论一下黑洞修正后的温度。对于黑洞我们上面已经讨论过了它的修正后的熵为 （45）又由于对于黑洞有黑洞视界表面积为其中c为光速则可以得到 （46）则将