数列中的奇偶项问题

1、数列中的奇偶项问题例1、已知数列 an满足：a 1an 1an 1,n为奇数、2耳，n为偶数,n N*，设 bn a2n1(1 )求 b2,b3,并证明：bn 1 2bn 2；(2 )证明：数列bn 2等比数列；若a2k,a2k1,9a2k 2成等比数列，求正整数k的值.例2、设等差数列an的前n项和为Sn,且a28,S440 数列 g的前n项和为Tn，且Tn2 bn30,n N(I)求数列 an , bn的通项公式；、an n为奇数(II )设Cn，求数列Cn的前n项和Pn .bn n为偶数n3、一个数列an，当n是奇数时，an= 5n + 1;当n为偶数时，an= 2则这个数列的前 2m项

2、的和是练习1 已知等差数列an的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为 25,则这个数列的项数为()A . 10B. 20C. 30D. 402、 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为(A) 4( B) 6(C) 8(D) 103、 已知数列an，bn满足a1= 1，且an， an+1是函数f(x)= x2 bnx+ 2n的两个零点，贝V bw=.a74、 已知数列an满足 a1= 5， anan+1= 2n，则二=()a35A . 2B. 4C. 5D.25、 已知数列an满足a1= 1，an+1 an

3、= 2n(n N*)，设Sn是数列an的前n项和，贝U S2 014=()A . 22 014 1 B . 3x 21 007 3C. 3 X 2 1 007 1 D . 3 X 2 1 007 26. 于数列an，定义数列an+1 an为数列an的“差数列”，若 a1= 2，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前n项和Sn=.37、(2013天津高考)已知首项为2的等比数列an的前n项和为Sn(n N*)，且一2S2，34®成等差数列.(1) 求数列an的通项公式；(2) 证明 Sn + gw 曽(n N*).& 已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3

4、成等差数列，且 a2+ a3+ a4= 18. 求数列an的通项公式； 是否存在正整数 n，使得Sn> 2 013?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.解：(1) b2=a3 2a2 2佝 1) 4, b3二2a4 2® 1) 10,2（2）因为02(bn 2)bn 22,所以数列bn2是以3为首项，2为公比的等比数列.由数列bn可得，bn 3 2n12,即 a2n 13 2n 12，则a2na2n 113 2因为 a2k, a2k1,9ka2k 2成等比数列，所以（3 22)2(32k1kk1)(3 28)，令 2 =t，2(3 t 2)1)(3t 8)，

5、解得 t| 或4，得 k2.解：（I）由题意,a14a-i6d840，得a1d44, an 4n -Tn2bn2时，Tn 12bn 10，两式相减，得bn2bn 1,(n2)数列bn为等比数列,bn3 2n 14n3 2n 1n为奇数 n为偶数当n为偶数时,(4Pn( aa3an 1)(b2b4 Lbn)-n6(1 4")2n1n2 2当n为奇数时,（法一）1为偶数,PnPn 1Cn2(n ° 1(n 1)24n 2n2n 2n 1(法二)R (a1 as Lan 2 an) (b2 b4 Lbn 1)n 1n 1(4 4n)6(1 4N)21 42n n2 2n 12n

6、1 n2 2, n为偶数2n n2 2n 1, n为奇数解析：1当n为奇数时，an是以6为首项，以10为公差的等差数列；当 n为偶数时，an是以2为首项，以2为公比的等比数列所以,S2m = S 奇 + S 偶=ma1 +m m 12x 10+a2 1 2m1 2=6m+ 5m(m 1) + 2(2m 1)bn 1=a2n 12a2n 2(a2n11)2(bn 1) 2bn 2,=6m+ 5m2 5m + 2m+1 2 = 2m+1 + 5m2 + m 2.nd,即 25 15解析：选A 设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于 =2n，故2n= 10,即数列的

7、项数为10.解析： an+ an+1 = bn, an an+1 = 2n,an+1 an + 2= 2n1,an+2 = 2an.又t a1= 1, a1 a2 = 2,. a2= 2,. a2n= 2n, a2n 1 = 2n 1(n N*),. b10= a10+ an= 64. 2门+ 1解析：选B依题意得a la 2 = 2不=2,即= 2，故数列a1, a3, a5, a7,是一个以5为首项、2为公比 anan+12an的等比数列，因此a7 = 4.a3解析：选B偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列,S2 014= (ai+ a3+ a5 + + a2 013) + (a2+

8、a4+ a6+ + a2 014)=1_ 21 0071 2n+ 1,an+ 2an+1an+ 22口由=-=- = 2,且a2= 2,得数列an的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列,an+ianan2点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n分奇偶讨论。对比：an+ 1/an= 2n则用累乘法,3X 21 007 3.2 1 2 0071 2解析： an+ 1 an = 2 an = (an an 1)+ (an 1 an 2)+ + (a2 a1)+ a12 2门22门+1=2n1 + 2n2+ + 22+ 2+ 2 = 2+ 2= 2n 2 + 2 = 2n /. Sn =2n+1

9、2.12 ' 12解题指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.解(1)设等比数列an的公比为q,因为一2S2,S3,4S4成等差数列，所以S3+ 2S2= 4S4 S3,即卩S4 S3= S2a41S4,可得 2a4= a3,于是 q=.a32又a1= I，所以等比数列an的通项公式为an=|x111(2)证明：Sn= 1 2 n, Sn+ S； = 1 21Tn2=(-1)n-拧12+ 2n 2n+ ，门为奇数,n.1当n为奇数时，Sn + 随n的增大而减小，Sn所以Sn+亍S1+ P斎1当n为偶数时，Sn + 随n的增大而减小， 所以 Sn+ 誥 S2+ S2= JI故对于n N*，有Sn+ 1 <Sn 6解析：设数列an的公比为q,贝y a1Z 0,S2 S4= S3 S2,由题意得a2 + a3 + a4= 18,ag2 a1q3= ag2,即2a1q 1 + q+ q = 18,故数列an的通项公式为解得a1 = 3,q = 2. an= 3 x ( 2)n 1.由有 Sn= 3x 12 n = 1 ( 2)n.1 2若存在 n,使得 Sn >2 013,则 1