论文 导数在不等式证明中的应用

1、全日制本科生毕业论文题 目：导数在不等式证明中的应用学 院： 数学学院 专业年级： 数学与应用数学专业2009级学生姓名： 王山 学号： 20090511940指导教师：陈浩 职称： 讲师 2013年 3月30日 导数在不等式证明中的应用数学学院 数学与应用数学专业 2009级 王山指导教师 陈浩摘 要：导数无论在初等数学还是高等数学中都占据着非常重要的地位。它的重要地位就决定了它有着极其广泛的应用。本文主要讲述导数在不等式证明中的应用。文中通过多道例题总结了用导数这一行之有效的工具证明不等式的三种方法,由此说明了导数在不等式证明中的重要作用.关键词：导数；不等式证明；泰勒公式；微分中值定理；

2、函数性质Abstract：Derivative in elementary mathematics and higher mathematics plays a very important role. In this paper, by way of example, summarizes three kinds of methods of proving inequalities by this effective tool derivative, indicating the important role of derivative in the proof of inequality.

3、 Key words：derivatives ；the proof of inequality ；taylor formula ；the differential mean value theorem ；properties of function 第 2 页 共 12 页目录1 引言12 利用泰勒公式证明不等式13 利用微分中值定理证明不等式3 3.1 利用拉格朗日Lagrange中值定理证明不等式3 3.2 利用柯西（Cauchy ）中值定理证明不等式54 利用函数的性质证明不等式6 4.1 利用函数的单调性证明不等式6 4.2 利用函数的最值（极值）证明不等式8 4.3 利用函数的凹凸性

4、证明不等式95 总结111 引言 导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，它是微积分学的基础，是研究函数、解决实际问题行之有效的工具。无论在初等数学还是在高等数学中，导数都占据着举足轻重的地位。导数的应用也是极其广泛。在浩瀚的数学领域中，导数常用来：研究函数的最值；研究函数的极值；证明恒等式；证明不等式；求方程根的个数等等。我们知道不等式的证明在数学领域中也是一个很重要的问题。在初等数学中不等式证明的常用方法有很多，例如分析法、比较法、反证法、综合法、数学归纳法等。然而当不等式的形式较为复杂时，再用初等的方法证明起来就会有很大困难,因此我们应从高等数学的角度重新审视不等式。如果我们将

5、导数与不等式之间建立联系，那么很多不等式的证明问题就能得到很好的解决。用导数证明不等式最关键的步骤就是要先构造一个函数。本文针对泰勒公式、微分中值定理、函数的性质在不等式证明中的应用进行了部分举例，以此来说明导数在不等式证明中的应用是非常灵活重要的。2 利用泰勒公式证明不等式泰勒公式在高等数学中作为一种重要的工具，无论在证明或者计算等方面，它都是非常简便有效的。利用泰勒公式证明不等式实际上就是对所要证明的不等式做适当变形，将其中的函数用泰勒公式进行展开，再将展开式的右边进行适当的放大或缩小，从而推证要证明的不等式。 定理 若函数在点存在直至n阶导数，则有，即.例 证明（J.B.Wilke）不等

6、式 ： 证明思路：利用泰勒公式将和在处进行展开即可。第 2 页 (共12页) 共 16 页证明：由泰勒公式 得 由以上两式得 不等式得证。 例2 设 在上二阶可导，且证明：在内存在一点，使得证明：将分别在处展成二阶泰勒公式， ， ， 两式相减，并注意到得 特别的取，则 其中 记则 即，其中。 由上面两道例题可总结：若函数存在二阶和二阶以上的导数且有界，则该不等式可以利用泰勒公式来证明。证题的思路为：（） 写出比最高阶导数低一阶上的泰勒展开式；（） 恰当选择等式两边的与；（） 根据所给最高阶导数的大小或界对展开式进行放缩3 利用微分中值定理证明不等式3.1 利用拉格朗日Lagrange中值定理证

7、明不等式 若函数含有一二阶导数，而要证的不等式的两端含有的函数值，特别是的表达式不知道时，或不等式中含有的导数时，常用Lagrange中值定理去证明。定理2 拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数满足如下条件： （i）在闭区间上连续； （ii）在开区间内可导， 则在内至少存在一点，使得例 3 证明：，其中. 证明：构造函数，则满足Lagrange中值定理 故存在使得 ， 又， 取， 则有， 由于，可知，第 4 页 (共12页) 故， 又， 即得证. 例 4 设在上连续，在内可导，且，证明：对任意证明思路：本题中要证的是，考虑到在上满足Lagrange中值定理的条件，故可用此证明之。证明:

8、若，则由Lagrange中值定理得： ，又， 故，得证. 若则因，由Lagrange中值定理得： ， ， 又， 则 由、可知对任意得证. 由上述例题可总结，用Lagrange中值定理证明不等式的关键步骤是： （）分析欲证不等式的具体特点，构造出函数， ,这是用此法证明的关键步骤；第 12 页 (共12 页)（） 判断函数在区间上是否满足Lagrange中值定理的两个条件；如果满足，则可得出结论：；（） 根据欲证不等式的结构特点，利用与的性质，对上式进行适当的变形，使不等式得以证明3.2 利用柯西（Cauchy ）中值定理证明不等式 定理3 （柯西（Cauchy ）中值定理）设函数和满足：（i）

9、在上都连续； （ii）在内都可导；（iii）和不同时为0；（iv）， 则存在,使得 .例 5 已知，证明：.证明思路：本题中涉及两类函数，且二函数都满足Cauchy中值定理的条件，故可以用Cauchy中值定理来证明该不等式。证明：设， 由在上满足Cauchy中值定理的条件可得： ，则 所以由上述例题可总结：当不等式中含有两类函数，或含有两个函数的函数增量及其一阶导数时可以用Cauchy中值定理来证明该不等式。证明步骤为：（） 构造出两个函数，并确定它们在区间上是否满足Cauchy中值定理的条件；（） 若满足，对在上用柯西中值定理；（） 利用与a，b之间的关系，对柯西公式进行加强不等式则可证明4

10、 利用函数的性质证明不等式本文将主要研究用函数的单调性、函数的最值（极值）性以及凹凸性三种性质来证明不等式。4.1 利用函数的单调性证明不等式 该方法适用于证明某区间I上成立的不等式，一般地，欲证明区间I上成立的不等式时，可以选择以作为辅助函数。对进行求导，再判断与0的关系,判定出的单调性，从而证明不等式。 定理 （导数的正负与函数单调性的关系）若在连续，在可导，则在单调增加（或单调减少）的充要条件为在内（或）.例6 证明：当时，.证明：即需证，为此， 构造函数，此时 ， 已知当时，亦即在内， 因此在内单调增加， 而，所以在内有 ，即在内单调增加，因而当时， ，即不等式得证.例 证明:证明：不

11、妨设，原不等式可变形为 ， 令，则上式可转化为，或 做辅助函数，则只需证. 由于， 因此在内递增，又，则为单调递增函数， 又，得即不等式得证.由上述例题可总结：利用函数的单调性证明不等式最关键的步骤是构造辅助函数，以下几种方法可以简便的构造出辅助函数：（） 对不等式的两边进行“求差”构造辅助函数；（） 对不等式两边进行适当“求商”构造辅助函数；（） 观察不等式两边的结构，构造出“形似”辅助函数；（） 若不等式中形式中涉及幂指函数，则可以先将幂指形式化为易证明的形式，通常采用取对数，再根据具体情况通过上述方法构造辅助函数.4.2 利用函数的最值（极值）证明不等式利用函数的最值（或极值）来证明不等

12、式，首先要观察要待证不等式并建立函数，其次通过函数的导数求出极值并判断是极大值或是极小值，最后出最大值或最小值，从而证明不等式。定理：令，令，求出点，如果，（或），则为极小（大）值点.而是函数在某区间上的最大（小）值，则有（或者）例8 若，证明：对任意，有证明：记， 则， 令得的驻点 由于， 所以在上的最大值为1，最小值为，从而，得证例9 设，为任意常数，证明：当时，恒有证明：问题等价于证明当时，因，所以只要证明当时，或即可为此，令，得的唯一驻点当时，；当时，所以是的极小值点，也是最小值点再由，得不等式得证利用函数的最值（极值）来证明不等式无论在初等数学或高等数学中都是非常行之有效的方法。当函

13、数求导以后在欲证区间内出现了导数的符号改变，或者说是单调性发生改变时，就可以考虑采用函数在区间的最值(或极值)来进行证明。由上述例题不难总结利用函数的最值（或极值）性证明不等式的一般步骤如下：（） 构造辅助函数，构造方法一般以作差或作商为主；（） 对辅助函数进行求导；（） 在需证明的区间内找出函数的最值或极值，然后用极值或最值跟需要证明的条件进行比较，从而使命题得证。4.3 利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性来证明不等式的关键是要构造出能够解决问题的函数，虽然此方法需要一定的构造性，但是其证明过程是十分简便的。定义 如果内存在二阶导数则(1) 若对则函数在内为凸函数. (2) 若对则函

14、数在内为凹函数.定义2 设在上连续，如果对中的任意两点都有（），则称在上是上（下）凸的. 定义3 （詹森（Jensen）不等式)若为上凸函数，则对任意，有.例10 设，证明不等式证明：取，则，即在为凸函数，若记，由凸函数性质，即所以得证例1证明不等式，其中均为正整数证明：设，则的一阶和二阶导数，可见，在时为严格凸函数依詹森不等式有从而即即又因所以得证以上两道例题说明利用函数的凹凸性证明不等式时，关键的一步是要根据欲证不等式选取出相关的函数和适当的，。特别当引进了辅助函数时，要注意研究它的上凸和下凹的特征，并且不要忽视函数的定义域，否则在解题时容易出差错。5结语通过研究导数在不等式证明中的应用，

15、我深刻的体会到这一课题是非常有研究价值的也体会到导数这一工具的广泛性和有效性。结合本文章，我们也不难看出，虽然用导数证明不等式的方法不尽相同，但这其中多数都用到了做辅助函数。在本文中我也列举了几种做辅助函数的方法，但并不完善还有待于今后继续深入研究。通过本文的研究我认识到要学好一个知识，做好一类题就要充分细致的理解各种解题方法所应用的原理，并及时总结。多练习多总结不仅有利于我们在学习和考试中能够轻松简便解决同类问题更有利于培养和锻炼我们的数学思维和推理论证能力。本文对导数在不等式证明中的三点应用进行了阐述并列举了几道例题希望能够对大家平时的学习有所帮助。需要特别指出的是利用导数证明不等式,除了本文列举的方法外依然存在其他方法.如用导数与积分的结合等来证明不等式.仅由于受篇幅之限,这里不再详述.参考文献1 华东师范大学数学系，数学分析上册第三版M.北京：高等教育出版社，2001 .119-156.2 刘三阳,于力,李广民. 数学分析选讲M. 第一版. 北京:科学出版社, 2007.198-206. 3 欧阳光中. 数学分析M. 第三版. 北京:高等教育出版社, 2008.184-227. 4 陈守信.