最新三角恒等变换各种题型归纳分析

1、学习-好资料三角恒等变换基础知识及题型分类汇总、知识点:（一）公式回顾:cos | 二 一 I； Icoscos " sinsin简记：C（）sin * - N isincosl - cossin简i己:S（_）tan（ -tan - tan1 - tan tanT ；-i -1-'-更多精品文档二 2 sin ： cos ：,简记 S 2 =cos 2a - sin 2g ,简记 C 2atan 2 :-2 tana1 - tan 2 ：（产十才且八kR简记T2,Z2 2 2 2cos2： = cos ° - sin ： = 2cos ° -1 = 1

2、- 2sin r 二倍角公式不仅限于 2 a是a的二倍的形式，其它如 4 a是2 a的两倍，a /2是a /4的两倍，3a是 3a /2的两倍，a /3是a /6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解二倍角”的含义，即当a =2 3时，a就是3的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。（二）公式的变式cos 一21 _sin 2 ： = （sin 卫 士cos ： ）221 cos2： =2cos :1cos2： = 2sin :2 “ cos 2sin :1 cos 2 -21 -cos2：2sin2丄a丄 |1 COPtan 2'1 cos：si n：1 c

3、os：1 - cossi n：atan 二2a.sin 2acos2公式前的1 - cos：=± 1 cos：-号，取决于辅助角（合一）公式:所在的象限，注意讨论a sinx b cosx=Ja 2 + b2 sin（ x + ）其中 tan 殆=bab7cos x二典例剖析:基础题型题型一：公式的简单运用例1：课本例题已知sin 2a:一，求 sin 4 , cos 4 , tan 4 . 213412 :二, ，二，13 22课本例题在厶 ABC 中，cos A = 4, ta n B = 2,求 ta n(2A - 2B).5)1 +,tan(代-y)= ,求 tan(x 2y

4、).l2丿2同型练习已知 cos二,求 sin _：i, cos二，tan _二提高练习已知sin x = 3, x5ji ,H题型二：公式的逆向运用例2：1.求下列各式的值:2 tan15 o2(1)sin22.5 cos22.5 ;(2)2;(3) 1-2sin2751 -ta n 15s2.化简下列各式:2 3a a1 - tan2 一r(1)sin4cos4;(2)2; (3)sin -2tan竺1423求值: cos cos; (2) cos36 cos7212 12题型三：升降幕功能与平方功能的应用例3.1 化简下列各式： 1 sin40 ; (2 1 - sin ;(3) 1 c

5、os20 ;(4) 11 -cos1 sin2 cos2 2化间:(1);(2)"'只"1 - sin 2 _cos2日1 - sin 2)cos21 sin 2二 cos21 、3已知 sinx cosx 一，0 x 二，求sin2x禾口cos2x.3提高题型：题型一：合一变换(利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形) 例1兀1 .sin -12 122. 当锐角二取何值时，(1 、3)sin 2二-(1-d：3)cos2二有最大值？并求这个最3. 求 y = 3sin( x 10 ) 5sin( x 70 )的最大值.大值.方法：角不同的时候，能合一变换

6、吗?学习-好资料4. 求函数y = 2sin(x 10 ) 2cos(x 55 )的最大值和最小值，以 及取得最大值和最小值 时的x的值.5. f(x) =asinx bcosx,当f( ) =1且f (x)的最小值为k时，求k的取值范围.36求函数y=3竺比的值域.2 2cosx万法：1. 转化为与圆有关的最值 2.合一变换+有界性3.万能公式换元为二次分式题型2:角的变换(1)把要求的角用已知角表示例21. 已知:-为锐角， six 二旦,cos(o-B) = m ,求 cos -的值.1729类似题p , '为锐角-)= 求 cos -的值.532 已知,sin(：亠)=- 3

7、, cos(- - ) = 12,求 cos 2 :的值.24513类似题 已知 cos 口 E=，si 且< 兀,0£ P < ,求 cos ,2 丿 912 丿 3222方法：1、想想常见的角的变换有哪些?2、求值时注意讨论研究角的范围。,ji3. cos ，:：,亍,求 sin(二 b '').3.sin54已知 sin(2二 5 ) - -2sin :,求证：tan： - 3tan(t 5).2ot + 3类似题 已知 7 sin： = 3sin(：；亠),求证:2 tan(-)2证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角咚且鯉0巴13-类

8、似题已知才普,_ 7I 4丿 (31,os 一口 ！/14丿P= 5ta n2,求sin( 一：匸).13(2)互余与互补r 兀、1 已知 cosx=m,贝V sin 2 x |=<4丿.2.化简:岛+ta nZ+"<6 丿-Of3更多精品文档2.口斤口 伍 、3 +口斤口 5 丄 1 3 口 7兀7兀 + sin2x + 2sin2x3已知 sin 一x | = -,求 sin2x4已知 cos + x |=-,且<x v ，求14 丿 514 丿 51241 - ta nxJIJI方法：善于发现补角和余角解题，关注x, x, 2 x三者关系题型3：非特殊角求值4

9、4sin7 cos15 sin8cos7 -sin15 sin8例 3:, 2cos10° sin201. cos 201sin 10 3cos 10类似题1.、3sin 50 cos50学习-好资料更多精品文档兀13.ta n8 * tan 12类似题s"2-cos2814. 2si n70 2si n170.一 cos105. ( tan10 - 3)-sin 50°1 cos206. sin10 (cot 5 - tan5 ) 2si n20137.22cos 80® cos 10®丿 cos20°8.2sin50 sin10(

10、13tan10 ) L 2sin280濤 方发：(1)减少非特殊角的数量；(2)注意“倍”、“半”。 题型4:式的变换爭1、tan( a±3 )公式的变用tan： - tan： = tan( - 1 )(V tan： tan )1 一 tan丄 厂、1 tan寸丄 厂、=tan(日)=tan( + 0 )41 - tan日41 tan例4:化简：JITtTtTt1 .ta n ta ntan ta n ；1261262.tan18tan42.3tan18 tan42类似题tan( x) tan(x) 、3 tan( x) tan(x)6 6 6 63. tan20 tan60tan6

11、0 tan 10 tan 10 tan 20-4. (1 tan1 )(1 tan2 )(1 tan44 )(1 tan 45 )5. tan(18 -x)tan(12 x)3 Ean(18 - x) tan(12 - x) 1x兀兀x6. tan(_、一)一tan(-)2442类似题tan111tan 114 tanlll tan114由 5可推广：'二 ,则(1tan ： )(1 tan ：)二 2,为什么?42、齐次式jiJisin cos11212'nJisin cos12 122已知tan,tan :是方程6x2 -5x 1 = 0的两个实数根 求：(1)tan(-：

12、i b)的值;更多精品文档(二-cos(-：' ')sin(-：J) _3cos2(-： -')的值.3、“ 1的运用(1 ± sin a , 1 ± cosa凑完全平方)1. 化简下列各式：(1)、1 -sin _：:;(2) .1 -cos :1 sin 2 J -cos21 -sin 2v cos2)2. 化简：(1);(2)-1+sin2日+cos2日1 -sin 2日一cos2日13已知 sinx cosx ,0 ： x ；二，求 sin 2x禾口 cos2x.34、两式相加减，平方相加减COS H cos ：=-,求 COS(:;1：,)

13、.531 已知 sin 二亠 sin ：= 511类似题 1已知 cos ：亠sin ,sin - - cos ,求sin(： - -). 23类似题 2已知 sin 二 1 sinsin=0, cosj 1 co 1 cos = 0,求 cos(-).13 、2已知 cos（二 5'）,cos（-）,求 tan _：itan :的值.55类似题已知si n（-：“）J,si n（ - J,求的值.23 tan 0313. （2004全 国）锐角：ABC 中,si n（A B）,si n（ A - B）,（1）求证:ta nA=2ta nB55若AB =3,求AB边上的高.类似题&qu

14、ot;ABC中,.BAC =45 , BC边上的高把BC分成BD =2,DC =3的两部分，求 ABC的面积.5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）求值:1.cos36 cos722.sin10 sin30 sin50 sin70-类似题sin 6 sin 42 sin 66 sin 78兀2兀3兀4兀5兀3. coscoscos cos cos1111111111x x类似题cos2cos4xcos2x题型5:函数名的变换要点：（1）切化弦；（2）正余互化JI± a1.若 f(cosx)二 cos17x,求证：f(si nx)二si n17x(2)x R, n 乙且 f(si n

15、x)二si n(4n 1)x,求 f (cosx)例5:22 rnQ a 12.化简3.化简 sin"(1 tanQtan).TL2 TL丿2tan()sin ()4413. 54.若锐角,-满足 tan tan-=,且 sin(、-)二,求 cos©- );(2)cos -').73题型6:给值求角要点：先确定角的范围(尽可能缩小)，再选择恰当的函数1.，一：为锐角,cos> =,sin10,求二亠)的值.510类似题已知:,:为钝角,且sin 5 ,sin10 ,求圧亠的值.510111.2/，:,为锐角,tan=-,tan ：二一,tan =-,求* 亠

16、亠'.258113已知 tanC ),tan,且x 三(0,二)，：= (0,二),求2,-的值.27类似题已知0 ： ：二,0 ： 1 :,且3sin 1 = sin(2很亠卩),4tan =1 - tan2,求很亠卩的值.4已知3sin2 ：； 2sin2 ： = 1,3sin2： -2sin2： = 0,：,:为锐角，求；： 2F.题型7:化简与证明方法：上述7类常见方法思路：变同角，变同名，变同次例7:2:- 1：' 卩-已知 7sin： =3sin(x 亠卜),求证：2tan5tan2 21+ sin v - cos 什 sin ： cos2化简：1+ sin 日 +

17、cos1+ sin 日一cosBa3化简2)(1 sin 土 ' cos： )(sin 3 - cos2 2 cos -4. sin2： sin2，亠cos2 ： cos2 - -cos2： cos2：.' 13cos«» 严 口、2tan()2 兀 a4 22cos (_)442一25化简：1+ sin>aacot tan22题型8:综合应用例8:tanx cotx1 设f(x)二 sin2x c°s2x.(1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)的值域.JI最大值与最小值之和 为3,求a的值.2已知函数 f(x) "x

18、2 Mxcosx a,若f (x)在-齐123已知函数f(x)"sin产一訂+2曲一 MR.(1)求函数f (x)的最小正周期；求使函数f(x)取得最大值的X的集合.4.(06福建)若函数 f (x)二 sin2 x 3sin xcosx 2cos2 x.(1) 求函数f (x)的最小正周期和单调增 区间；(2) 函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换 得到? 更多精品文档学习-好资料总结：染一、Sa±B、 C a±3公式的逆向运用（1）变角，以符合公式的形式（2 ）合一变换姦二、角的变换1、 变换角：要点：（1）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范围2、互余与互补奉三、非特殊角求值方向：（1）减少非特殊角的个数（2）关注倍、半角关系（3）利用一些特殊的数值染四、式的变换1、tan（a ± 3 ）公式的变用2、齐次式3、“1的运用（1 ± sin a , 1± cos a凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）穩五、函数名的变换要点：（1）切割化弦；（2）正余互化穩六、倍、半角公式的功能（1） 升降幕功能，（2）平方功能（1 ± sin a , 1 &