机械工程测试第2章03

1、2.4 2.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 , 2, 1, 0)(0neCtxtjnnn)(A00020300203 把非周期信号：把非周期信号： 周期周期T0 的周期信号的周期信号 周期信号周期信号x(t)，周期为，周期为T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的频率间隔为之间的频率间隔为=0=2/T0。 当当T0，则，则0=0， 信号频谱谱线间隔信号频谱谱线间隔=00，无限缩小，无限缩小， 相邻相邻谐波分量谐波分量无限接近，无限接近， 离散参数离散参数n0可用连续变量可用连续变量来代替，来代替， 离散频谱变成了连续频谱，离散频谱变成了连续频谱， 求

2、和运算可用积分运算来取得，求和运算可用积分运算来取得， 所以非周期信号的频谱是所以非周期信号的频谱是连续的连续的。 周期信号周期信号x(t)，在，在-T0/2, T0/2区间内区间内, 2, 1, 0)(0neCtxtjnnn2/2/0000)(1TTtjnndtetxTC式中，式中，当当T0时，时， 积分区间由积分区间由-T0/2,T0/2变为变为(-,)； 0=2/T0 0， 离散频率离散频率n0连续变量连续变量。 1.傅立叶变换傅立叶变换0000/2/201( )( )TjntjntTnx tx t edt eT当当T0时，时， 积分区间由积分区间由-T0/2,T0/2变为变为(-,)；

3、 0=2/T0 0， 离散频率离散频率n0连续变量连续变量。 0000/2/201( )( )TjntjntTnx tx t edt eT( )( )2j tj tdx tx t edt e1( )( )2j tj tx tx t edt ed称为傅里叶积分。X()为单位频宽上的谐波幅值，具有为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度密度”的含义，故把的含义，故把X()称为瞬态信号的称为瞬态信号的“频谱密频谱密度函数度函数”，或简称，或简称“频谱函数频谱函数”。 一般为复数，用一般为复数，用X()表示表示为：为：X()称为信号称为信号x(t)的的傅立叶变换。傅立叶变换。 ( )( )j tXx t e

4、dt( )j tx t edt1( )( )2j tj tx tx t edt ed2.傅立叶逆变换傅立叶逆变换dejXtxtj)(21)(x(t)为为X()的的傅立叶傅立叶逆变换逆变换（反变换（反变换） 1( )( )2j tj tx tx t edt ed3.傅立叶变换对傅立叶变换对由于=2 ( )( )j tXx t edt1( )( )2j tx tXed( )( )FTIFTx tX2( )( )jftX fx t edt2( )( )jftx tX fedf()()()jfXfXfe22( )Re ( ) Im ( )Im ( )( )Re ( )X fX fX fX ffarct

5、gX f- -f 连续幅值谱连续幅值谱 -f 连续相位谱连续相位谱 fX f矩形窗函数fTfTTeefjfTjfTjsin)(212( )( )jftX fx t edt) )2(0)22(1)2(0)(TtTtTTttWR矩形窗函数矩形窗函数 2( )( )jftRRWfWt edt-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm窗 函 数 频 谱 图 (T=1)222222211TTftjTTftjefjdte)(sinfTCT例例2-6:矩形窗函数矩形窗函数WR(t)的频谱的频谱例例2-7：单边指数衰减函数的频谱：单边指数衰减函数的频谱4.周期

6、和非周期信号幅值谱的区别周期和非周期信号幅值谱的区别 |X ()|为连续频谱，而为连续频谱，而|Cn|为离散频谱；为离散频谱； |Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振振幅幅)，而，而|X ()|的量纲相当于的量纲相当于|Cn|/，为单位频宽，为单位频宽上的幅值，即上的幅值，即“频谱密度函数频谱密度函数”，cm/Hz（振（振幅幅/频率）。频率）。 非周期信号幅值谱非周期信号幅值谱|X ()|与周期信号幅值谱与周期信号幅值谱|Cn|之间的区别：之间的区别： 5.傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质 a.若若x(t)是实函数，则是实函数，则X()是复函数；是

7、复函数； b.若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX()=0，而，而X()是实偶函数，是实偶函数，即即X()= ReX()； c.若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX()=0，而，而X()是虚奇函数，是虚奇函数，即即X(-)-j ImX()； d.若若x(t)为虚偶函数，则为虚偶函数，则ReX()=0，而，而X()是虚偶函数；是虚偶函数； e.若若x(t)为虚奇函数，则为虚奇函数，则ImX()=0，而，而X()是实奇函数。是实奇函数。2( )( )( )cos2( )sin2( )( )jftemX fx t edtx tftdtjx tftdtR X fjI X f(1).

8、奇偶虚实性(2).对称性 若若:(时域信号时域信号) x(t) X() (频域信号频域信号)，则，则 X (t) x (-) 222 ( )( )d ()( )d ()( )d( )jftjftjftx tX f efttxtX f eftfxfX t etF X t由于若以代替 ，有再将 与 互换，则有(3).尺度特性 若若x(t) X()，则则 x(kt) 1/|k|X(/k) 信号持续时间压缩信号持续时间压缩k倍倍(k1)，则信号的频宽扩宽，则信号的频宽扩宽k倍，而幅值变为原倍，而幅值变为原来的来的1/k。 2-2()- ()()d11 ( )d( ) () jftfjktkkF x k

9、tx kt etfx kt ektXkkk若 为大于零的常数，则) )2(0)22(1)2(0)(TtTtTTttWR信号持续时间压缩信号持续时间压缩k倍倍(k1)，则信号的频，则信号的频宽扩宽宽扩宽k倍，而幅值变为原来的倍，而幅值变为原来的1/k。 sin()( )RfTWfTfTT为为窗的宽度窗的宽度 -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1)-10 -9-8-7-6-5-4-

10、3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1)k=1k=3(4).时移、频移特性 若若x(t) X()，则在时域中信号沿时间轴平移一常值，则在时域中信号沿时间轴平移一常值t0，则（时移），则（时移） 020)()(ftjefXttx对应如果信号在时域中如果信号在时域中延迟了时间延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，其频谱幅值不会改变，而相频谱中各次谐波的相移而相频谱中各次谐波的相移-2 t0，与，与频率成正比。频率成正比

11、。 000200-2()200-2 ()()d ()d() ( )jftjf t tjftjftF x ttx tt etx tt eettX f etfjetxffX020)()(在频域中信号沿频率轴平移一常值在频域中信号沿频率轴平移一常值0，则（频移），则（频移）000-1200-2 ()20-2 ()()d ()d ( ) jftjfftjf tjf tFX ffX ff efX ff eefx t e002jf tfe若频谱沿频率轴平移一个常值 ，对应的时域函数将乘因子。(5).卷积特性 对于任意两个对于任意两个函数函数x1(t)和和x2(t)，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： d

12、txxtxtx)()()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则1.两个函数在两个函数在时域中的卷积时域中的卷积，对应于，对应于频域中的乘积频域中的乘积 2.两个函数在两个函数在时域中的乘积时域中的乘积，对应于，对应于频域中的卷积频域中的卷积 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2()6.几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 在在时间内激发矩形脉冲时间内激发矩形脉冲S(t)（或三角脉冲、双边指数（或三角脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为1； 6.1 单位脉冲函数单位脉冲函数(t)及

13、其频谱及其频谱)()(lim0ttS0t)(tS单位面积10t0t211)(t)(tS1各种单位面积为各种单位面积为1的脉冲的脉冲 矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 当当0时，时，S(t)的极限就称为单位脉冲函数，记作的极限就称为单位脉冲函数，记作(t)，即（单位脉冲函数）。即（单位脉冲函数）。 (1).(t)的定义的定义从极限角度从极限角度: : (2). (t)的特性的特性000)(ttt从面积角度从面积角度: : 1)(lim)(0dttSdtt0t0t211)(t)(tS1矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 (3). (t)乘积性和积分性乘积性和积分性乘积性乘积性)()()()0()()(0tt

14、tftfttf积分性积分性dttttffdtttf)()()0()()(0000)(ttt)()(00tttf)(0tf1)(lim)(0dttSdtt)0()()0()()0()()(xdttxdttxdtttx(4). (t)的筛选性的筛选性)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t0)()()()()()()(000000txdttttxdttttxdttttx)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t01)(lim)(0dttSdtt(5). (t)与其它信号

15、的卷积与其它信号的卷积 )()()()(*)(txdtxttx结果：结果：x(t)与与(t)的卷积等于的卷积等于x(t)。 函数的卷积特性函数的卷积特性1 )()()()(*)(000ttxdttxtttx结果结果：(tt0)时卷积，就是将函数时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的在发生脉冲函数的坐标位置上重新作图坐标位置上重新作图 当脉冲函数为当脉冲函数为(tt0)时，与函数时，与函数x(t)的卷积的卷积 函数的卷积特性函数的卷积特性2 (6). (t)的频谱的频谱2( )( )jftft edt逆变换：逆变换： dfetftj21)(t) 1 即：即：1() 0t)(t0)( f1函数

16、的频谱函数的频谱 10 e直流分量的频谱直流分量的频谱 (t-t0) ej20t (t) 1 1() 0t)(t0)( f1函数的频谱函数的频谱 0t0)( jfX1tf0202 f01复指数信号的频谱复指数信号的频谱 根据时移和频移特性根据时移和频移特性 ：020)()(ftjefXttx对应tfjetxffX020)()(1e-j2to(-0) sin2ot=j/2(e-j2ot- ej2ot) cos2ot=1/2(e-j2ot+ ej2ot)sin2ot j/2(+0)-(-0) cos2ot 1/2(+0)+(-0) 根据根据 ej20t(-0) 正弦函数的频谱正弦函数的频谱 6.2

17、 正、余弦函数的频谱正、余弦函数的频谱6.3 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱 相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳状函数梳状函数 )()(nsnTttg式中，式中，Ts周期，周期，n整数，整数， n=0,1, 2, 3,。 ntnfjnseCtg2)(为周期函数，而为周期函数，而s=1/Ts， 用傅立叶级数的复指数形式表示：用傅立叶级数的复指数形式表示： 222222)(1)(1ssssssTTtnfjsTTtnfjsndtetTdtetgTCsT1 时域时域中，序列的周期为中，序列的周期为Ts，频域频域中，序列的周期为中，序列的周期为1/Ts。 时域时域中，幅值为中，幅值为1 频域频域中，幅值为中，幅值为1/Ts ntnfjsseTtg21)(11( )()()snnsssnG ffnffTTT进行傅立叶变换：进行傅立叶变换： ej20t(-0) s=1/Ts，时域表达式例例2-8:求被截取的余弦信号的频谱函数求被截取的余弦信号的频谱函数000|0|cos)(TtTtttx7. 频谱