南昌大学 2009-2010历年数学物理方法ABC三卷(附全部答案)

1、南昌大学 20092010学年第二学期期末考试试卷 试卷编号：6032 ( A )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级：物理系08各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分484012 100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题 (每小题4分，共48分) 得分评阅人 1.设为虚数单位，复数_ ; 。2. 设为虚数单位，且和为实数，复变函数_ (填“是”或“不是”)可

2、导的，理由是 3. 是否有可能为某解析函数的实部？答：_ (填“有可能”或“不可能”)，理由是 4. 。5.根据柯西公式，积分 6.函数有_个极点，为_阶极点；在极点处的留数 为_。第 2 页 共 37页7.当试以原点为中心将做级数展开为 8. 的傅里叶变换为 。9. 的拉普拉斯变换为 。10. 数学物理方程如果没给定解条件，一般会有_个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的_，_，_ 。11.一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。12.偏微分方程的类型为 (备选答案：A.双曲型B.抛物型 C. 椭圆型 D

3、. 混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为 。二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分 。2. 用留数定理计算实积分。3. 可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问题已知拉普拉斯变换，。4. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。三、数学物理定解问题 (共12分)1.考查无限长弦定解问题：，且初始条件为，。先寻找泛定方程的一个特解再作变换 使得的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。南昌大学 20092010学年第二学

4、期期末考试试卷 试卷编号： 6032 ( B )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分364024 100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每小题 3 分，共 36 分) 得分评阅人 说明：两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。1. 复数 ， 。2. 若解析函数的实部，则虚部 _，若，则虚部为 _。3.

5、 已知，为任一回路，n为任一整数，不在l上，则 。4. 在的环域上，函数的洛朗级数展开为_ _。5. 。第 8 页 共 37页6. 函数在的奇点类型为 ，其留数为 。7. 孤立奇点可分为三类，分别为 。8. 函数 的傅里叶变换为 。9. 的拉普拉斯变换为 。10. 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。11. 数学物理方程定解问题的适定性是指解的_，_，_。12. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打，错误的打×。（1）若函数在点解析，则函数在点可导。 （ ）（2）是二阶线性齐次偏微分

6、方程。 （ ）（3）若函数在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线， 都有。 （ ）二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分2. 用留数定理计算实积分。3. 用拉普拉斯变换求解已知，。4. 试给出偏微分方程的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不必写出标准形）。三、偏微分方程求解题 (共24 分) 得分评阅人 1. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。 (本小题 10 分)2. (1) 已知矩形区域上的拉普拉斯方程分离变量，导出和满足的方程，

7、以及的边界条件，由此得到的本征值问题并求解，然后利用所求得的本征值求解，最后证明 ，其中和是只与有关的待定系数。 (9分)(2) 利用(1)的结果求解泊松方程 提示：寻找泛定方程的一个特解使得经变换后所得的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)（此页非草稿纸，请勿撕下！）南昌大学 20092010学年第二学期期末考试试卷 试卷编号： 6032 ( C )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分3070 100得分考生注意事项：1、本试

8、卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。二、 解答题 (本题满分30分) 得分评阅人 1. 关于复变函数 (注意和分别是与的二元实函数，而为虚数单位)，试解答: (18分)(1) 在点z0可导的定义； (2) 可导的必要充分条件； (3) 在点z0解析的定义；(4) 在区域B上解析的定义； (5) 在一点可导与解析的关系； (6) 在区域上可导与解析的关系。第 15 页 共 37页2. 已知，求（）。（12分）二、计算题 (本题满分70分)得分评阅人 1. 用留数定理计算，其中C为以原点为圆心，半径为3的圆周。

9、（20分）2. 已知和为t的函数，且。若和满足。试用拉普拉斯变换求解和。注意：，其中n为非负整数，s为任一常数。（15分）3. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。（20分）4. 已原点为展开中心，在原点的邻域上，将函数展开为泰勒级数。（15分）南昌大学 20092010学年第二学期期末考试试卷 参考答案与评分标准 试卷编号：6032 ( A )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级：物理系08各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签

10、名题分484012 100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题 (每小题4分，共48分) 得分评阅人 1.设为虚数单位，复数(-4+3i)/5; 。(2+2=4分)2. 设为虚数单位，且和为实数，复变函数_不是 (填“是”或“不是”)可导的，理由是 不满足柯西-黎曼条件 (2+2=4分)3. 是否有可能为某解析函数的实部？答：_有可能 (填“有可能”或“不可能”)，理由是 它为调和函数 (2+2=4分)4. 0 。5.根据柯西公式，积分第 21 页 共 37页6.函数有_1_

11、个极点，为_1_阶极点；在极点处的留数为_-4_(1+1+2=4分)。7.当试以原点为中心将做级数展开为 (2+2=4分)8. 的傅里叶变换为 。9. 的拉普拉斯变换为。(1+1+1+1=4分)10. 数学物理方程如果没给定解条件，一般会有_无数_个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在_， _唯一 ， _稳定_ 。(1+1+1+1=4分)11.一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为。(3+1=4分)12.偏微分方程的类型为 C (备选答案：A.双曲型B.抛物型 C. 椭圆型 D. 混合型)；为了得到标准

12、形，可以采用的自变量函数变换为 (2+2=4分)二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分 。解：回路内有两个单极点0和4(2分)，其留数分别为.(4分) 由留数定理得(4分)2. 用留数定理计算实积分。解：(2分)。 有两个单极点，其中在上半平面(2分)，它的留数为(4分)，由留数定理得(2分)3. 可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问题已知拉普拉斯变换，。解：设的拉普拉斯变换为，则微分方程初值问题有拉普拉斯变换4. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定

13、本征值和本征函数。解：（1）如果，则方程有通解，结合边界条件只能有，不予考虑。(2分)（2）如果，则方程有通解，结合边界条件只能有，不予考虑。(2分)（3）如果，则方程有通解，(2分)结合边界条件有 ，当时， 则 (2分)本征函数是 (2分)三、数学物理定解问题 (共12分)1.考查无限长弦定解问题：，且初始条件为，。 先寻找泛定方程的一个特解再作变换 使得的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。解：显然，是泛定方程的一个特解(3分)。作变换得的定解问题为：(3分)根据达朗贝尔公式，有(4分)于是， (2分)南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷 试卷编号： 6032 (

14、B )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分364024 100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题 3 分，共 36 分) 得分评阅人 说明：两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。1.复数，。2.若解析函数的实部，则虚部 ，若，则实部为。3. 已知，为任一回路，n为任一整数，不在l上，则 2i ( n

15、 = -1 且 l 包含) 或者0 (其它情况)。4. 在的环域上，函数的洛朗级数展开为_ _ 。5. 0 。6. 函数在的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 。7. 孤立奇点可分为三类，分别为 可去奇点、极点、本性奇点 。8. 函数 的傅里叶变换为。9. 的拉普拉斯变换为。10. 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为。11. 数学物理方程定解问题的适定性是指解的存在性，唯一性，稳定性。12. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打，错误的打×。（1）若函数在点解析，则函数在点可导。 （）（

16、2）是二阶线性齐次偏微分方程。 （×）（3）若函数在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线， 都有。 （×）二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分。解： 回路内有一个二阶极点 和一个单极点（2分）其留数为 和 （6分） （2分）。2. 用留数定理计算实积分。解：根据留数定理有：在上半平面所有奇点留数之和(2分)所以 (3分)(3分) (2分)3. 用拉普拉斯变换求解已知，。解：对方程拉普拉斯变换得-(3分)化简得-(2分)解之得-(2分)由拉普拉斯逆变换得 -(3分)第 28 页 共

17、37页4. 试给出偏微分方程的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不必写出标准形）。（注意：不必写出标准形）。解：特征方程（2分），判别式故方程为双曲型（3分）。特征方程的解为 （和为任意常数）（3分）。所以，可化为标准形的自变量函数变换为 （2分）三、偏微分方程求解题 (共24 分)1. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。 (本小题 10 分)解：若方程的初始条件为，则其解为 ，此即达朗贝尔公式。(4分)本题中，则 2. (1) 已知矩形区域上的拉普拉斯方程分离变量，导出和满足的方程，以及的边界条件，由此得到的本征值问题并求

18、解，然后利用所求得的本征值求解，最后证明 ，其中和是只与有关的待定系数(9分)(2) 利用(1)的结果求解泊松方程 提示：寻找泛定方程的一个特解使得经变换后所得的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)(1) 证明： 设有试探解，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件 (1分)求解本征值问题，得本征值本征函数 (4分)再解的微分方程得 (2分)所以，一般解为 (1分) （2）解：特解 (1分) 变换使 (1分)由（1）得满足的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为 (1分)因为上述解还满足第二组边界条件，于是 即 (1分)最后，得解 (1分)南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷 试卷编号

19、： 6032 ( C )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级： 物理系08级 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分3070 100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。三、 解答题 (本题满分30分) 得分评阅人 1. 关于复变函数 (注意和分别是与的二元实函数，而为虚数单位)，试解答: (18分)(1) 在点z0可导的定义； (2) 可导的必要充分条件； (3) 在点z0解析的定义；(4) 在区域B上解析的定义； (5) 在一点可导与解析的关系； (6) 在区域上可导与解析的关系。解：(1) 若极限存在且与的方式无关，则称复变函数在点z0可导。 -(3分)(2) 函数可导的必要充分条件是4个偏导数存在-(1分)，且连续-(1分)，并且满足柯西-黎曼条件： -(1分)(3) 若函数在点z0及其邻域上处处可导，则称在点z0解析。 -(3分)(4) 若函数在区域B上每一点都解析，则称是区域B上的解析函数。(3分)(5)