农夫的选择_数学建模论文

1、数学与信息科学学院数学建模实训论文摘要本文主要对草场所能承受的羊群数量的问题提出规划方案。分析题中所给数据可知，这是一个动态规划问题。由于有限的草场资源限制能够饲养的羊群数量的最大值，所以通过建立线性规划模型，运用LINGO软件求得最优解，即在草场达到最大利用率的情况下，找到草场的最大容纳量。模型一建立线性规划模型，目标函数为这片草场能够饲养的羊群数，约束条件为每个季节中羊的吃草量小于等于草的生长量。根据母羊在每个年龄段生产羊羔数，可知每头母羊平均生产2头羊羔，即。在草场面积为1000平方米时，利用LINGO软件求得最优解，得到母羊和羊羔的数量分别约为，即得到草场所能承受的最大羊群数量为204

2、头，夏季应储存的干苜蓿草量即为母羊冬天的需草量。春季草的生长率最低，而羊群食草量量大，羊的最大饲养量受春季影响最大，造成夏、秋两季有草剩余，剩余的草为50724，可以用来圈养公羊51头。由于母羊在每个年龄段生产得羊羔数不同，所以模型二将模型一中求得的草场所能承受的母羊数按比例划分。当时，才能满足每年各年龄段羊群更替数量比例保持不变。根据模型一得知且，可找到，的大致取值范围。再次利用LINGO软件求得最优解，得到各年龄段的母羊的数量分别为，。当草场面积发生变化时，每年应饲养的母羊数量会发生相应的变化，而各年龄段的母羊数量比保持不变，为23：23：17：4 。一、 问题重述农夫有x平方米的草场，草

3、场中长着多年生苜蓿草。他希望今后几年通过养山羊获得不错的效益。已知苜蓿草的平均生长率（表一）和一只母山羊在每个年龄段生产的平均羊羔数（表二）及每头羊日平均所需饲料（表三）。要求通过数学模型解决如问题：1、他应该饲养多少只山羊？2、夏季应储存多少干苜蓿草用作冬季饲料？3、为了繁殖，每年保留多大比例的母山羊？表一 苜蓿草的平均生长率季节冬季春季夏季秋季日生长率（）0374母山羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养5年就出售。表二 一只母山羊在每个年龄段生产的平均羊羔数年龄（年）0112233445产羊羔（头）01.82.42.01.8表三 每头羊日平均所需饲料日需草量（）

4、羔羊母羊冬季0210春季100240夏季165115秋季0135二、问题分析在草原上牧民的主要经济来源是畜牧，然而随着人口的增加和资源的紧缺牧民养羊受着各种因素的制约，如何在各种制约的条件下，利用现有的资源使得牧民的效益最大，科学放牧，实现羊群的可持续发展是一个很现实的问题。建立模型的目的是使牧民的经济效益最大，即能够给牧民提供最优的决策，这就相当于使得草场的容量达到最大，并且不破坏生态的平衡,在保持羊群数量不变的情况下最大程度的利用现有草场面积所能提供的草料，实现资源的最大利用率。建立线性规划模型，目标函数为草场所能承受的羊数量的最大值，约束条件为四个季节的羊的吃草量小于等于草的生长量。利用

5、Lingo软件求得最优解，得到母羊和羊羔的大致数量，即得到草场所能承受的羊数量。计算出冬季的羊的吃草量即为夏季应储存的苜蓿草数量。根据母羊在每个年龄段生产羊羔数不同，将草场所能承受的母羊数细致划分，得到各年龄段之间的数量比例。三、 问题假设1、饲养过程中没有羊的意外死亡。2、母羊产小公羊和小母羊的比例是1：1。3、只考虑羊的数量，而不管他们的重量。4、母羊都在春季产小羊。5、春季的时候卖掉一部分羊，保持羊群数量不变。6、草场的草的长势都一样，无差别，且每天长出来的嫩草羊都能吃，不影响草的增长率。7、假设每一个季节都为90天。8、羊羔至少饲养一年再出售。9、能生育的母羊在交配季节一律引进公羊进行

6、交配，且交配之后送走公羊且公羊吃的草忽略不计。四、 符号说明饲养的母羊数母羊每年所产羊羔数1-2年的母羊数2-3年的母羊数3-4年的母羊数4-5年的母羊数五、 模型的建立与求解51 模型一：因为草场面积是定值平方米，要求应饲养多少羊，即在当前资源下可供养的羊数，因此考虑在保持羊群数量不变的情况下最大程度的利用现有草场面积所能提供的草料，实现资源的最大利用率，建立了线性规划的模型使得草料的利用率达到最大，目标函数为在草场面积一定的条件下，草场所能容纳的最多羊数，最后运用Lingo编程求解。假设每年卖出的羊包括小羊和成年羊数目的最多，效益越好。5.11 目标函数的确立：资源量已经确定，所以在该资源

7、条件下求羊的最大头数，即是目标函数。只考虑母羊数量和母羊每年所产羊羔数量：目标函数为： (1.1)5.12 约束条件的确定：根据模型假设得出：若第年春天的母羊数为；这一年所产的羊羔数目为：；平方米的草地上，苜蓿草的生长率单位为，换算成，即得：苜蓿草的春季、夏季、秋季、冬季的日生长量分别为：0.3、0.7、0.4、0；根据羊春夏秋冬的日需草量不同，要保证草的生长量要满足要求，因此有：春季羊食草量与草生长量关系： (1.2) 秋天羊食草量与草生长量关系： （1.3）因为夏季还要为冬季储备草，所以夏季日生草量要分成两部分，一部分为羊夏季食用，一部分为羊冬季食用，所以夏季和冬季羊日食草量与夏季草的日生

8、长量的关系为： （1.4） 根据表二，一头母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数，若不考虑母羊年龄可以得出一头母羊每年所产羊羔平均数为 则每年羊羔数 （1.5）由此建立了线性规划模型：目标函数为：约束条件：羊食草量草生长量 （1.6） 由于草场面积未定，所以假设有草场1000平方米，即将（1.6）时中的换成1000，于是用软件编辑（程序见附录一）求出在草场面积为1000平方米时应饲养的母羊数和可能产的羊羔数：当草场面积是1000平方米时，每年春季要保留的母羊数应为68头，这些母羊生产的羊羔数约为136头（因为是引进外来公羊交配，所以可以大体控制羊羔出生量），夏季应储存的干苜蓿草量为：。此时，我们可以

9、反过来计算羊的食草量，以验证上述模型结论的合理性。这块牧场一年年之内可以生长的草的重量为：。而羊群每季食草量如下：季节春天夏天秋天冬天食草量（千克）总计：剩余的食草量为：从题中给出的数据我们知道，春季草的生长率是最低的，但食草量却是最高的，羊的最大饲养量受春季的影响最大，而夏季和秋季的草生长率相对较高，羊的食草量也不大，因此造成了草的剩余，为了最大程度的利用资源，提高经济效益，我们把剩下的草用来圈养公羊，设公羊每天的吃草量比母羊多一千克,则可圈养公羊数：50724/（3.1+3.4+2.15+2.35）/90=51.2364，取整数51只。52 模型二：因为羊群会出现更替现象，所以考虑在保证每

10、年母羊饲养数量不变的情况下，保证各年龄段的母羊数量不变，即每年都将母羊以及长成成羊的羊羔卖掉一部分以保证各年龄段母羊保持均衡。在模型一的基础上建立模型二：各年龄段的母羊数分别为：（1-2年）、（2-3年）、（3-4年）、（4-5年）每年母羊生产的羊羔数为：5.21 目标函数仍然为羊群的数量：5.22 约束条件的确立：羊食草量与草的生长量依然是约束条件，即 (2.1)羊存在更替现象，即羊羔长一年后成为1-2年龄的成羊，原来1-2年龄的成长为2-3年龄的成羊，2-3年龄的成长为3-4年龄的成羊，3-4年龄的成长为4-5年龄的成羊，4-5年龄的羊要卖出。为了满足每年各年龄段的母羊数量不变，因此必须有

11、否则不能确保每年各年龄段母羊数量保持一致。根据模型一1000平方米的草场可以最多养约68头母羊，136头羊羔，由此条件知： (2.2) ×1.8得: 将式代入式得： 由式得： (2.3) (2.4)根据的取值范围及与的关系可以确定 (2.5)还要考虑产出的母羊羔数能在一年后补足原来1-2年的母羊数，母羊和公羊出生的机率是1：1所以有 (2.6)由此建立了线性规划模型：目标函数：约束条件： （2.7）于是用软件编辑（程序见附录二）求得在1000平方米草场每年春天应保留的1-2年的母羊数为23头，2-3年的母羊数为23头，3-4年的母羊数为17头，4-5年的母羊数为4头，饲养的羊羔数约1

12、38头。模型一和模型二都是在草场面积为1000平方米的情况下计算的，当草场面积变为2000平方米时，每年应饲养的母羊头数为136头（求解见附录三），各年龄段母羊的数量比例仍为23:23:17:4（求解见附录四）。由此，当草场面积发生变化时，每年应饲养的母羊头数会发生变化，而各年龄段母羊的数量比例不会发生变化。六、模型分析模型一容易理解，而且计算方法简单明了。通过搜集资料，以及用得出的羊的只数反过来计算食草量来检验结论正确与否可知， 1000平方米能饲养的羊的最大数量符合实际，且也能够维持这种生态的平衡，保持这种最佳的循环状态，为牧民的决策提供了较好的参考依据。这个模型使得羊的数量达到最大的同时

13、，也考虑了生态是否平衡的状况。模型的创新之处在于，在得到结论以后，反过来带入原来的式子以检验结论的合理性，而且还把夏、秋季节所剩余草用来圈养公羊，最大程度的利用了草的剩余量，提高了经济效益。该模型亦有不足之处，即只得出了每年春季要保留的母羊总数，而不知道其年龄比例。模型二对该问题进行了讨论，根据实际情况，找出各个年龄段的母羊之间的关系，利用Lingo软件求解，得出各个年龄段的母羊数，即求出了母山羊的年龄比例。该模型计算量少,容易理解。七、参考文献1 胡运权著，运筹学基础及应用 ，第五版，高等教育出版社2 谢金星、薛毅著，优化建模与LINDO/LINGO软件，清华大学出版社八、附录81 附录一：

14、程序：max=n+y;3.25*n+1.65*y<=700;2.4*n+y<=300;1.35*n<400;y=2*n;n>0;y>0;运行结果：Global optimal solution found. Objective value: 68.18182 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost N 68.18182 0.000000 Y 136.3636 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 68.18182 1.000000 2 253.40

15、91 0.000000 3 0.000000 0.2272727 4 307.9545 0.000000 5 0.000000 -0.2272727 6 68.18182 0.000000 7 136.3636 0.00000082 附录二：程序：max=n1+n2+n3+n4+(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4);3.25*(n1+n2+n3+n4)+1.65*(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)<=700;2.4*(n1+n2+n3+n4)+1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4<=300;1.35*(n1+n2+n3+n4)&l

16、t;=400;(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)*0.5-n1>0;n2>=17;n2<23;n1>n2;n3<17;n4<n3;n4<17;运行结果：Global optimal solution found. Objective value: 205.7333 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost N1 23.00000 0.000000 N2 23.00000 0.000000 N3 17.00000 0.000000 N4 4.333333 0.0000

17、00 Row Slack or Surplus Dual Price 1 205.7333 1.000000 2 252.8067 0.000000 3 0.000000 0.6666667 4 309.1000 0.000000 5 46.20000 0.000000 6 6.000000 0.000000 7 0.000000 0.2000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.6666667E-01 10 12.66667 0.000000 11 12.66667 0.00000083 附录三：程序：max=n+y;3.25*n+1.65*y<=1

18、400;2.4*n+y<=600;1.35*n<800;y=2*n;n>0;y>0;运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 409.0909 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost N 136.3636 0.000000 Y 272.7273 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 409.0909 1.000000 2 506.8182 0.000000 3 0.000000 0.6818182 4 615.9091 0.000000 5 0.000000 0.3181818 6 136.3636 0.000000 7 272.7273 0.00000084 附录四：程序：max=n1+n2+n3+n4+(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4);3.25*(n1+n2+n3+n4)+1.65*(1.8*n1+2.4*n2+2*n3+1.8*n4)<=1400;2.4*(n1+n2+n3+n