刚架的有限元分析

1、计算机辅助工程分析计算机辅助工程分析内容内容2 有限元法的直接刚度法有限元法的直接刚度法 2.2 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析要求要求 了解：了解：局部坐标、整体坐标局部坐标、整体坐标的概念的概念 理解：局部坐标系下理解：局部坐标系下梁单元梁单元分析分析 单元刚度矩阵的单元刚度矩阵的坐标变换坐标变换 掌握：掌握：刚架单元刚架单元刚度矩阵的建立刚度矩阵的建立 利用利用叠加法叠加法组装整体刚度矩阵组装整体刚度矩阵课后练习课后练习 平面刚架的有限元分析平面刚架的有限元分析上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾整体离散单元组装MDCBAZM4321123 eeepKjeqimimjiqjjefi

2、fjiij QK新问题1231234eij一个平面刚架问题一个平面刚架问题PPPABDCPP14321234564123456eij其中其中：e = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; i ,j = 1, 2, 3, 4i局部坐标系下单元节点内力向量局部坐标系下单元节点内力向量： T ,eiiijjjpT q m T q mPP1432123456eijTjmjqjTimiqiyxO局部坐标系局部坐标系： oxy，其中，其中oxoy T , , ,eiiijjjff eijjfjifiyxOijeijTjmjqjTimiqiOeijjfjifiyxOijTT , , , , , ,iiijj

3、jiiijjjT q m T q mffeijTjmjqjTimiqieijTjTieijmjqjmiqi组合变形组合变形轴向拉伸变形轴向拉伸变形平面弯曲变形平面弯曲变形由材料力学轴向拉压理论，轴向位移与轴力间满足线性关系：由材料力学轴向拉压理论，轴向位移与轴力间满足线性关系：jjiiiijijijjTSSSST 1i 1i TiTj1,0ij 10iiiijiijijjjijTSSSSSST 1iiTlEA iiEASl1i TiTj0ijTTjiEASlijEASl0,1ij jj01iiiijijjijjjTSSSSSST 1j 1j TiTjjjEASl局部坐标系下局部坐标系下，单元节

4、点轴向位移与节点轴力间，单元节点轴向位移与节点轴力间的关系为的关系为iijjEAEATllTEAEAll 32322232322212612664621261266264iiiijjjjEIEIEIEIllllqfEIEIEIEImllllqfEIEIEIEIllllmEIEIEIEIlllljqimiqjmjjfifjiij323222323222000012612600646200000012612600626400iiiiiijjjjjjEAEAllEIEIEIEITllllqfEIEIEIEImllllTEAEAllqfEIEIEIEImllllEIEIEIEIllll ,eTiiij

5、jjff ,eTiiijjjpT q m T q meeepKepeeKfyxOoyxuv总体位移坐标总体位移坐标 uv局部位移坐标局部位移坐标fcossinsincosuvfuv 坐标变换坐标变换总体坐标系：总体坐标系：oxy，局部坐标系：局部坐标系：oxycossin0sincos0001ufv cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001iiiiiijjjjjjufvufv eeeTcossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eT 其中：其中：Te 称为单元坐标变换矩阵

6、称为单元坐标变换矩阵1TeeTT同理，可得单元节点内力的坐标变换关系同理，可得单元节点内力的坐标变换关系 eeepTp总体坐标内力向量总体坐标内力向量T,eixiyijxjyjpTTmTTm局部坐标内力向量局部坐标内力向量T,eiiijjjpTqmTqm其中：其中：单元节点内力的坐标变换关系单元节点内力的坐标变换关系qTyxOoyxmTyTx eeeT eeepTpeeepK代入局部坐标系下的单元刚度方程代入局部坐标系下的单元刚度方程得得 eeeeeTpKT eeeeeTpKT 1eeeeepTKT1TeeTT TeeeeepTKT TeeeeKTKT eeepK总体坐标系下的单元刚度方程总体

7、坐标系下的单元刚度方程坐标变换下的单元分析小结坐标变换下的单元分析小结1. 求局部坐标系中的单元刚度矩阵求局部坐标系中的单元刚度矩阵2. 求坐标变换矩阵求坐标变换矩阵3. 总体坐标系中的单元刚度矩阵总体坐标系中的单元刚度矩阵 eKeT TeeeeKTKTPP1432123456 节点平衡条件的矩阵表达32xTPP1432123456以以2号节点为例号节点为例2P52yT52m52 xT62yT62m62 xT32yT32m32 xT2P52yT52m52 xT62yT62m62 xT32yT32m32 xT2号节点平衡方程号节点平衡方程 000XYM35622235622235622200 x

8、xxyyyTTTTTTPmmm 611611611nekixixeknekiyiyeknekiiekTPTPmM归纳对第归纳对第i号节点号节点611611611nekixixeknekiyiyeknekiiekTPTPmM作用在第作用在第i号节号节点上的所有点上的所有单元单元节点内力节点内力和和作用在第作用在第i号节号节点上的所有点上的所有节点节点外力外力和和 61eeeKQ对所有节点对所有节点由整体坐标系下的单元刚度方程由整体坐标系下的单元刚度方程 eeepK 111222333444,Tu vu vu vu v令：结构节点总体位移向量 111222333444,TxyxyxyxyQQQM

9、QQMQQM QQM结构节点总体外力向量结构总体刚度矩阵61eeKK KQ结构总体刚度方程 如何求和？如何求和？ 的含义?61eeKK12 12K对应结构所有节点自由度：对应结构所有节点自由度： 111222333444,Tu vu vu vu v6 6eK对应单元两个节点自由度：对应单元两个节点自由度： ,eTiiijjju vu v如何扩展？如何扩展？为了叠加，将为了叠加，将 扩展为扩展为1212。6 6eKPP143212345616 6K对应节点自由度为对应节点自由度为 1111333 ,Tu vu v扩展到总体自由度后，需使下式成立：扩展到总体自由度后，需使下式成立： 1116 61

10、2 12KK16 6K为例为例以以111111111213141516111111212223242526111111313233343536112 121111114142434445461111115525354555616162000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK1112223311111363646566444000000000000000000000000000000000000000000uvuvuvKKKKuv 122233340,0,0,0,Tu vu v 1144,0,0, ,0,0,0,0TxyxyQRRppRR力的边界条件 划去总体刚度矩阵的1，2，10，11行、列位移边界条件（位移边界条件（1，4号节点受固定铰约束）PP1432123456 8 88 18 1KQ可解可解本节课小结第一步，对平面刚架进行离散化，划分为有限个单元；第二步，对各结点和单元进行编码；第四步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第五步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。 第六步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第七步，求单元内