二次根式化简的方法与技巧

1、二次根式化简的方法与技巧欧阳歌谷(2021.02.01)二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌 握二次根式有关的概念与性质后，逬行二次根式的化 简与运算时，一般遵循以下做法： 先将式中的二次根式适当化简 二次根式的乘法可以参照多项式乘法逬行，运算中要运用公式ya y/b = yab(6Z > 0, Z? > 0) 对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式， 然后通过分田有理化逬行运算. 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化 简的基础上去括号与合并同类项. 运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无

2、常形。我们在解千变万化的数学时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角 度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内 容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算 法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事 半功倍的效果，约分.合并是化简二次根式的两个重 要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目 转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说 明一些常见二次根式的转化策略。一巧用公式法a - 2yba +h a b例1 计算石-丽+需+、広分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好 了公式，冋题就简单了，因为需与丽成立，且分式 也成立，

3、故有>0,Z?>0, (ya-yb 0)而同时公式：3 一/?)2 = a2 - 2ab + b29a2-b2 = (a + b)(a _Z?),可以帮助我们将2丽+ b和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式二. 适当配方法。欧阳歌谷创编3 + 2迈_忑_品例2.计算：1 +血-巧分析：本题主要应该从己知式子入手发现特点， 分田含有1 + V2-V3其分子必有含1 +运-宀的因式， 于是可以发现3 + 2血=（1 +、伍j,且V3 + <6=V3（1 + V2）, 通过因式分解，分子所含的1 + V2-V3的因式就出来 了。解：原式三. 正确设元化简

4、法。2羽例3：化简、伍+石+、你分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代 替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运 算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化 简,例如：近*,頁=5运=氐山=忆正好与分子吻 合。对于分子，我们发现皿2*所以d宀0, 于是在分子上加/+戻co,因此可能能使分子也 有望化为含有d + b + c因式的积，这样便于约分化简。 解:设运= “,V5 = b,°§ = c, 则 lab = 2/6.且/ +b2-c2 =0所以:四. 拆项变形法例4,、/7 + 2爭+苗 计算& +亦仏+頂）分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与

5、分母 含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成: 耳=丄+ ；再化简，便可知其答案。ab a b解：原式 五、整体倒数法。（亦+间薜+1）例5.计算肓+ 2 + 1分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式:胪冷讣化简但还要通过折项变形，使其具有公 因式。解:i0A_ 茁 + 巧“+1)又75+23 + 1借用整数“1”处理法。1 + 3血-2馅例6、计算迈+舲+亦分析：本例运用很多方的知识如： 1 = （73 +血"一外呢-）X （“ + b） = a-b-,然后再运用 乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化 简。解：原式六恒等变形整体代入结合法例7：己知x = *（&q

6、uot; +亦），y =苗），求下列 各式的值。(1) x2-xy + y2; (2)- + y x分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别 求出来，再运用整体代入法将x+y与xy代入例题 中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，如a-2+ y2 = （x + y）2 -3a：v,然后再约分化简。解：因为：X = g（V7+、，y = l（v7-v5）, 所以：x + y = V7,xy = lo降次收幕法: 例决已知“也求畔驴的值。分析：本例运用了使题中2次幕项转化成1次方的顷欧阳歌谷创编2021年2月1再化简。如例题中把多项式x2+4a-1转化为4X-1, 这

7、样逬行低次幕运算就容易了。解：由 x = 2+p3 ,得 x-2 = J)o (x-2)2 =3 整理得：x2 =4x lo所以:所以原式1.公式法"十2、河ab -亡【例1】计算心:、怎-去【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2.观察特征法2屈+屈-3屁【例2】计算：2+血-乔【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以語, 即得分子，于是可以简解如下:【例3】把下列各式的分毋有理化.亦-花Jx +1 + -1（） 伍-伍）僦-同；（2 ） Va + 1

8、 + JxT（小）【方法导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相 等，计算将很繁，观察分田中的两个因式如果相加即 得分子，这就启示我们可以用如下解法:【解】 原（折-r厉）+（伍-* ） =1-,a -fb【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简.但是，不难发现式分子中戸的系数若为“1",那么原式的值就等于“1"了！因此，可以解答如下：=1+E1【解】原式=科+硏T欧阳歌谷创编3.运用配方法【例4化简&-2恵解】 原式=<2- 2屁十1 =伍丫 2x运x + ¥【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是 非负数，

9、显然不能等于“1-庞"4.平方法例51化简濟pi®【解】.曲+际可.屈+ & +蠢=佰【解后评注】对于这类共轮根式-亦与“血的 有关问题，一般用平方法都可以逬行化简5 恒等变形公式法【例6】化简価r疗-同+ 9 -存屈【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公 式+" + 7)2(宀砒 则使运算简化.【解】原式=+(V2-76)J + 73-(72-76)26.常值换元法例 71 化简 J1998X1999X2000x2001 + 1【解】令1勉贝U：欧阳歌谷创编2021年2月1原式=讽“ + 7裂项法【例 8】 化 简丄十十人十一5一1+72 罷+书 語

10、十折 799 + 7100【解】原式各项分母有理化得原式=“51）十1存-池）+人+1函極）+（丽-37）【例91化简【方法导引】这个分数如果直接有理化分田将十 分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母 的两个因数之和，于是则有如下简解：_屯+77）+炒+珂丄I戶+厕乂4+珂解】原式一仿+肪d 万）+1后+用帚"同&构造对偶式法« + 2 + J/ - 4 « + 2 + J 护 - 4, + , 【例10】化简« + 2-4 n + 2 + 靠口【解】构造对偶式，于是没a =兀 + 2 + a/«2 - 4 i = « + 2 - 4贝肿十 b = 2«+ 4 , ab = 4灯十 8 血=2 +b） 上+畧土 . 旦一”出-2原式 ba ab ab2欧阳歌谷创编9由里向外，逐层化简解】,J19芳x 1993 + 1 = J(1994+ 1)(1994-1) + 1而小996灯994十1 = 7(1595 + 1X1995-1) + 1 = 夕=1995 .原式 J1998X199& + 1 = J(1997+ 1)(1997-1) + 1 = -./19977 = 1997【解后评注】对多重根式的化