人教A版(2019)必修第二册必杀技第6章6.3.5平面向量数量积的坐标表示

1、人教A版(2019)必修第二册必杀技第6章6.3.5平面向量数量积的坐标表示学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .设刁=(1,-2)3=(一3,4)1=(3,2),则仅+ %)=()A. 12B. 0C. -3D. -112 .已知不=(4,3), 2ci + %=(3/8),则d与B的夹角的余弦值为()3 .若刁=(2,3),6 =(Y,7)，B方向上的单位向量为，.则,在B上的投影向量为()A, 手 6B. 底 C. 零。D. VBe4 .以下选项中，一定是单位向量的有()«=(cos<9,-sin/9)；=(71g2,7ig5)：E =(2',2-')：

2、7=(1t,x).A.1个B.2个C. 3个D. 4个5 .已知平面向量 = (2,4),B=(1,2).若彳=酉一他加)鼠 则IE等于()A.4x/2B.2小C. 8D. 8726 .平面向量Z与石的夹角为60。. " = (2.0),|臼=1,则|万+ 24等于()A.6B.2邪C.4D.127 .在四边形则该四边形的面积为()A.y/5B.2星c.5D.108 .已知向量可=伐,3),方=(1,4)1 = (2,1),且(21一35)_1_七,则实数k=()A.-B.0C.3D.229 .若1/1=1,1/；1=2忑=万+ 6,且_1不，则向量与否的夹角为()A. 30

3、6;B. 60°C. 120°D. 150°10 .已知AB =(3, 1),元=(2,1),且斤A(j=7,则斤.83=()A. -2B. 2C. 一2或2D. 011 .设x，)eR,向量4 =(尤1),方=(1,)，),5 = (2,-4)且2_1_乙6,则。+=()A.邪B. 26C.晒D. 1012 .若向量d = (l,2), /；=(1,T),则21+5与dB的夹角等于()13 .已知向量力=(1,0),方=(cosasin6), 0e 一宁,则|。+可的取值范围是 乙 乙A. 0,V2 B. 1,点 C. 1,2D. >/2,2-14 .已知

4、点力(6,1), 3(0,0), C(JJ,0),设。的平分线A石与8c相交于£,那么有觉=%在，其中九等于()A. 2B. -C. -3D.-2315 .已知向量=(1/)，6=(1,?)，其中加为实数，。为坐标原点，当两向量夹角在(哈变动时，m的取值范闱是()A. (0J)C.二,1 u(l,码 D. (1,同16 .设B(2,b), C(4,5)为坐标平面上三点，。为坐标原点，若方与砺在反方向上的投影相同，则。与满足的关系式为()A. 4a-5b = 3 B. 5-4/? = 3 C. 4。+5b = 14 D. 5a+4b = 14二、填空题17 .已知点A(l,l),3(l

5、,2),C(-2,l),Q(3,4),而方向上的单位向量为g,则向量而在C5上的投影向量为.18 .已知向量次= (1,7),砺= (5,1)(。为坐标原点)，设M是直线y = 上的一2点，那么两.耐的最小值是19 .已知向量工=(1,2)=(2,T),卜/，若( + /?)? = *,则-的夹角大 2 小为20 .已知C = (2,l)与6=(1,2),要使收+间最小，则实数/的值为.21 .已知%是同一平而内的三个向量，其中d=(L2).若同=26，且不人 则 c的坐标为.22 .已知点A(2,3),若把向量次绕原点。按逆时针方向旋转90得到向量加，则 点B的坐标为.23 .已知a=(2,

6、-1), 5=(%,-2), 2 =(3,y),若£,(2+()M(x,y)、 N(y,x),则向量砺的模为.24 .关于平而向量。b, C,有下列三个命题：若。石=邪不，则 =£.若N=(L k), b = (-2,6), ab,则k=-3.非零向量1和石满足同=Z?=一。，则工与Z + B的夹角为60 .其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)25 .(理)在直角坐标系X、y中，已知点A(0, 1)和点B(3, 4),若点C在NAOB的 平分线上，且I反1=2,求反的坐标为.26 .设向量" = (1,2), B = (l,l),且£与Z + i

7、B夹角为锐角，则实数4的取值范围是27 .已知4=(2,1), 5=(41),若与B的夹角夕为钝角，则实数4的取值范围 为.28 .设向量4=(加一2,?+3), b=(2m + jn-2),若Z与方的夹角大于90 ,则实 数所的取值范围为.三、解答题29 .已知2,6是同一平面内的两个向量，其中4=(1,2).若/；=与，且口 + 25与21一5垂直，求d与B的夹角夕30 .已知向量,坂同向，6 = (1,2), a b=10.(1)求”的坐标;(2)若c = (2,-1),求及(9c.31 .已知平面向量力=(3,4), 5=(9,x), 3 = (4,)，)，且石南，ale.(1)求B和

8、c ：(2)若加=24一月，n=a+c,求向量正与向量的夹角的大小.32 .如图，已知A。),例5,4),C(2,5),设向量不是与向量荏垂直的单位向量.(1)求单位向量d的坐标：(2)求向量/在向量d上的投影向量的模：(3)求明48c的面积S.w33 .在四边形ABCD中，已知诙无万*通= (6,1),比= (X,)，)，函=(-2,-3).(1)求用x表示)，的关系式：(2)若就_L砺，求、y值.参考答案1. c【解析】【分析】根据向量加法的坐标公式，先计算G +涕的坐标，再用数量积公式即可求得结果.【详解】因为2),5 = (-3,4)Q =(3,2),故不+ 2/； =(5,6)故伍+

9、 2/?)T = -5x3 + 6x2 = -3.故选：C.【点睛】本题考查向量加法和数量积的坐标运算公式，属基础题.2. C【分析】根据题意，解得两个向量的坐标，利用坐标计算两向量的夹角余弦值即可.【详解】因为斤=(4,3), 25 + 6=(3,18)故可得6 = (-5,12),设向量d与B的夹角为6则同=5汹=13八 ab 1616则 cos® = 7：=.同同 5x13 65故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标运算，属综合基础题.3. A【分析】由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.【详解】由向量的投影计算公式可得，_ab 13 一 夜一故d在上的投影向量为=lG =e

10、=e b <3故选:A.【点睛】本题考查向量的投影计算公式，属基础题.4. B【分析】 分别计算出四个向量的模，根据模长为1,可得出单位向量的个数.【详解】= Jlg2 + lg5 = Jlg(2x5) = 1，/ a = J(cos8/ +(-sin 町=!cos2 0 + sin2 0 = 1, b(12 xl 2)c =J(2、y+(2个)2 =+4-* N 也，4 J4-X = & ¥ 1,i =yl(-x)2+x2 =72x2-2x + 1 =因此，Z和成都是单位向量，故选：B.【点睛】本题考查单位向量概念的理解，以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.5

11、. D【分析】根据向量的坐标运算求得2再计算模长即可.【详解】由题意得7B = 2x(l) + 4x2 = 6,所以3 = (2,4) 6(1,2) = (8,8),所以 12= 18?+(-8尸=8 贬.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及模长公式，属于基础题型.6. B【分析】利用数量积定义，利用0+251=+2b)2，求解即可.【详解】va = (2,0),lSl=l,向量鼠与B的夹角为60、.别=M+O? = 2,1石=同忖8$60" =1,:la + 2b 1=痴 + 涕尸=JbFmiW 毋力否=20，故选B.【点睛】本题考查了向量的模，一般处理的方式是把模平方

12、，再结合向量的夹角能求出向量的数量积, 计算即可求模，考查了运算能力，属于中档题.7. C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2,所以借助坐标系如图，S = -(l + 4)*2 = 5 ,或者注意到AC.BD = 0分为四个小直角三角形算面积.2【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易 题.8. C【解析】 试题分析：由题意得，2万35 = (2攵-3,-6)忑=(2,1),因为(2G3B)_L乙，所以 (24一35). = 4攵一6-6 = 0,解得攵=3,故选C考点：向量的坐标运算.9. C【解析】 试题分析：根据题意，由于I： 1=1.1 了 1=2

13、,且。万o3亍=0 =(万+ 5)五=0 Q万？ +5万=0»结合向量的数量积公式可 知= |研同cose,解得其向量瓦，的夹角为120。，故选C.考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题.10. B【分析】根据n-BC = n- < AC-AB)="衣一万而，利用两个向量的数量积公式和已知条 件求得结果.【详解】n*BC = n*( AC-AB)=n*AC-n*AB (2，1) (3, - 1) =7 - (6 - 1) =2, 故选：B.【点睛】本题主要考查平而向量基本定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.11. C【解析

14、】试题分析：向量万=(x,l),5 = (1, yc = (2,-4)且1 _L己方/乙/.2x-4 = 0=> = 2, lx(-4)-2y = 0=y = -2,从而 n + b = (2,1) + (1, 2) = (3,-1)»因此M +方卜丹 +(-1)2 = Vio,故选c.考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直.12. C【分析】利用坐标表示出2。+B和1-B，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果.【详解】由题意得：2ci+B=(3,3), dB=(0,3), 大厂一厂 _侬 + 外,一5)_ 3xO + 3x3 _x/22己 + 可卡-5V9 + 9xV0 +

15、 92又<2d+B,ci一方>e0,：.<2ci + b,a-b >= ?本题正确选项：C【点睛】本题考查利用向量数量枳和模长求解向量夹角的问题，关犍是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.13. D【分析】计算出向量£+6的坐标，然后利用向量模的坐标运算结合三角函数的值域求出口+可的取 值范囿【详解】-6/ = (1,0), B = (cose,sin£),6/+5 = (l + cos,sin),c汽九八,： 8 e , /. 0 < cos < 1,L 2 2ja + h = J(l+cos8) +sin2 0 = 12 + 2c

16、os8 e忘,2，因此，口 +可的取值范围是点,2,故选：D.【点睛】本题考查平面向量模的坐标运算，同时也考查了三角函数值域的应用，考查计算能力，属于 中等题.14. C【详解】由角平分线性质得BE BA I丽 I 2 , 个=.= BE = 2EC, BC = 3EC = -3CE % = -3,EC AC AC 1选C.15. C【分析】jr设向量"、B的起点均为。，终点分别为A、B ,可得出。X与x轴正方向的夹角为一， 4设向量砺与七轴正方向的夹角为6,由题意可得出;夕。且，由i = tan夕可634得出实数，的取值范围.【详解】7T由于NA08eo,专设向量2、B的起点均为。

17、，终点分别为A、B,可得出3与X轴正方向的夹角为一, 4设向量砺与X轴正方向的夹角为6,即B在与与斗（不与A重合）之间，'"? = tan®e 乂一,1因此，实数？的取值范围是U（L、8），故选： / /C.【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行 分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16. A【详解】 由画与砺在。d方向上的投影相同，可得：瓦即，4。+ 5 = 8 + 544"-5 = 3 .选 A.17. 3日1 /- e2【分析】根据向量在另一个向量上的投影计算公式，计算出投影，

18、即可得到投影向量.【详解】由已知得 aQ = （2）,C/5 =（5,5）,_AB CD 15 - 372 _故血在CO上的投影向量为一同一。=万"=一工一"故答案为：龙完 2【点睛】本题考查向量投影的坐标计算公式，属基础题.18. -8【分析】1 、设点M的坐标为,利用向量的坐标运算将画.亚转化为关于1的二次函数，利 用二次函数的性质求出市.荻的最小值.【详解】|-(a-4)2-8,.MA-A?B = (l-x)(5-x) + l 7-x II l-x当工=4时，片取得最小值-8,故答案为：-8.【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的计算，解题的关键利用设点的坐标的方法，

19、将向量的数量 积转化为二次函数，利用二次函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.19, 120°【详解】分析：先设与2的夹角为6,根据题意，易得否=一2)，将其代入伍+q-2 =薮中易得 乙4.3 = 一，进而由数量积的运算，可得cos。的值，从而可得答案.2解析：设z与2的夹角为6,a = (1,2)3 = (-2,4),则/? =2a，cos = ±S = -=，ac B 小20° <6><180 . 6> = 120故答案为：120o.点睛：要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律,就会达到简

20、化运算的目的.420. 一5【分析】先求出向量"+石的坐标，然后利用向量的模长公式得出Z+正关于/的表达式，利用二次 函数的基本性质求出卜;+;|的最小值以及对应的，值，可得出结果.4? 9【详解】a + tb =(2+t, + 2t) f ：. a + tb = (2 + r)2 +(l + 2r)2= 5，当/ = 一：时，7 +届有最小值之逝，故答案为：一【点睛】 本题考查向量的坐标运算，同时也考查了向量模长的最值的求解，解题的关键就是将a + tb转化为二次函数求解，考查运算求解能力，属于中等题.21. (2,4)或(-2T)【分析】设出向量的坐标，根据模长计算公式，以及向量

21、平行的坐标公式，列方程即可求得.【详解】设/=(x,y),因为同=2遥,故可得击2+),2 =2百,即/+)，2=20：又不/,故y = 2x；x = 2, jx = 2 联立方程组解得，或，ly = -4. y = 4故 3 = (2,4)或 1 = (2,Y).故答案为：(2,4),(2,Y).【点睛】本题考查向量模长的坐标计算公式，以及向量平行的坐标公式，属基础题.22. (-3,2)【分析】OAOB = 0设点4的坐标为(x,y),可知点4位于第二象限，由题意得出。山=|。同，由此列方程 x<0组解出大、y的值，即可得出点3的坐标.【详解】设点4的坐标为(x,y),由题意可知，点

22、4位于第二象限，则x0.2x + 3y = 0jY+),2 =而，解得< x<0x = -3 )'=2OAOB=0 由题意可得卜|。用，则有< x<0因此，点3的坐标为(3,2),故答案为：(3,2).【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，要结合条件得出两向量之间的关系，同时要注意区分两向量 平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆.若"=A-,y, , b= &，乃，则al lb o xy2 x2y1 =0» "上 b =玉& + 弘为=。-23. 872【分析】由工族，利用共线向量坐标表示求出x的值，再由« +

23、到“屋斗 利用垂直向量的坐标 运算求出y的值，由此可得出丽，进而计算出向量丽 的模.【详解】,i=(2,1), b = (x-2)a/b .,.-x=2x(-2),解得x = 4, .i = (4,2).a + Z? =(6,3), b c = (l,-2 y)，.(“ +可-c), . +可仅-c) = 6 3x(2 y) = 12 + 3y = 0 ,解得 y = -4 ,则点M(4,Y), N(5,4), .赤=(一8,8),因此，|阿=J(80+G =80, 故答案为：8人.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量以及向量垂直的坐标运算，同时也考查利用向 量模的计算，考查计算能

24、力，属于中等题.24.【分析】根据向量概念和运算的判断，逐一进行验证【详解】对于，向量不满足消去律，错：对于，两向量平行的坐标表示知一2攵=6,攵=-3正确：对，在加减法构成的平行四边形中，由几何意义可得到所求角为三，错：则正确的命题为 6.【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OC = tOA OBOAOB，再根据I反1=2,求3即得结果.【详解】由题意可设反=，OA OBOAOBcos(a.b)=cib，求解出这两个向量夹角的余弦值;第四步，根据两个向量夹角的范围在因为I反1=2,所以+何，=2.r=叵,即反的坐标为【点睛】 与"共线的向量为当丸0时，为同向：当/IvO

25、时，为反向：与共线的单位向量为 得；与ug，)垂直的向量为此，,一刈.与408平分线共线的向量为粉+器).26. ( ,O)kJ(O, +oo)【解析】 由题知ci+4=(l + 42 + /l), 乂夹角为锐角即小(。+腐)。，由数量积运算可得 lx(l + /l) + 2(2 + X)()即'与 =。时,，夹角为o ,舍去.故本题应填点睛：本题主要考查向量的数量积和坐标运算.求解两个向量之间的夹角的步骤:第一步,先 计算出两个向量的数量积;第二步，分别求出这两个向量的模;第三步，根据公式0,句内及其余弦值,求出这两个向量的夹角.其中当向量的夹角为锐角时无5 0,且两向量不共线，当向

26、量的夹角为钝角时，历0且两向量不共线.27.-1 2L(2,+oo)【分析】 由题意得出且与B不共线，利用向量的坐标运算可求出实数/I的取值范围.【详解】由于Z与B的夹角。为钝角，则7B<o且Z与B不共线,-2A-l<0一北一2因此，实数4的取值范围是一故答案为：(一亍2 3.2,+8).【点睛】 本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量2与五的夹角a-b >0ci-b <0为以”j锐角。沟行不共线，。为钝角。油石不共线28d【分析】 由题意得出7Bvo,然后利用平面向量数量积的坐标运算得出关于加的不等式，解出不等式即可得出实数？的取值范围.

27、【详解】Z 与B 的夹角大于90，.二石<0，即(?-2)-(26 + 1)+(?+3)(?-2)<0,4( 4 化简得3?2-27-8<0,解得一不<?<2,因此，实数？的取值范围是一可，2.【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量夹角的属性与数量积符号之间的关系，解题时要根据 题中条件进行转化，考查计算能力，属于中等题.29. 0 = 71【分析】根据向量垂直，转化为向量数量积为零，再根据向量的模长，求得五/，再计算夹角即可.【详解】 因为。+ 2/；与21一垂直，故m +坊,(2万-6)=。即2万2+3万名一2P =0,又同=",55故2x5 +

28、 32-2x二= 0,解得不/?= 一二： 42ab故 c0se = W7=i ab又。£0,乃,-故8 =4.【点睛】本题考查向量垂直条件的转化，以及向量模长的求解，夹角公式，属综合基础题.30. (1) fl =(2,4).(2) a (5 c) = 6, (a-b) c=(20,-10).【分析】(1)由Z与否同向，设1 =4=(%2/1)(/1>0),代入数量积>/；计算可得；(2)计算="，再根据向量的数乘运算求解.【详解】(1)设 1 =花=(42/)(4>0),则不)/? = % +44 = 10 ,=2, .,.4 = (2,4)./c =

29、 lx2 2x1 = 0* 6/- S = 10»4G*。) = 0,= 10x(2,1)=(20,-10).【点睛】本题考查向量的数乘运算，考查向量共线的条件，考查数量积的运算.属于基础题.31. (1) 5=(9,12), c=(4,-3)； (2)手.【分析】(1)利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件"B, Z_lZ，列方程求出x、的值，可得出向量坂和Z的坐标:（2）求出前、7的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量而与向量;夹角的余弦值,由夹角的取值范国可求出这两个向量夹角的值.3x = 4x93x4+4y=0【详解】.4 = (3,4),。= (9，c = (4,y),且"鼠 解得(2) /m = 2a-S = 2x(3,4)-(9,12)= (-3,), 7 = "+2=(3,4)+(4,3)=(7,1),则前S = -3x7 _ 4xl = _25，二石=J(_3/+(T)2 =5, " = /+=5*, Rm n -25/2q 万=, VO<6><，则。=亍.3兀因此，向量m与向量G的夹角为一.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解 题的关键就是将问题转化为