由一道例题教学引发的探索与反思

1、由观摩一道例题教学片段引发的思考廉州学区李建文韩国会武小慧卢凡近日，在观课过程中，我们看到了两位初中教师的的同一例题的教学过程，观课之后有所感想。下面，结合我们的认识就课本中的这一例题及教师的教学做一分析，与大家共同做一探索和交流，不当之处还请指正。此例题是人教版教材八年级上册12.3 等腰三角形例已知：如图，在ABC中， AB=AC ，点 D 在 AC 上，且解： AB=AC ，BC=BD=AD ， ABC=C=BDC， A= ABD（等边对等角）。设 A= x，则 BDC=A+ ABD=2x，从而 ABC= C= BDC=2x。于是在ABC中，有 A+ ABC+C=180°.解得

2、 X=36°。在 ABC中， A= 36°， ABC=C=72°。1（P50）。原题及解答过程如下：BD=BC=AD ，求ABC各角的度数。ADBC一、教师的教学过程分析（一）、例题教学过程简录第一位教师的教学过程：1、 先让学生自己尝试解答此问题，同时指名学生1 上黑板板书解法；2、 指名让学生1 讲解自己的解法；3、 指名学生 2 指出学生 1 解法中存在的问题。第二位教师的教学过程：1、投影出示问题让学生思考；2、指名学生 1 回答解法；3、投影课本解法。（二）、教学过程简单分析1、例题的作用认识课本中的例题的一般具有巩固性、综合性、典型性和示范性。两位教师

3、的教学都能体现了巩固基础知识、 提高基本技能和对推理的示范的作用， 对于本例题所体现出来的综合性、典型性教师还可作进一步挖掘，以使例题的作用实现最大化。2、例题思路的分析通过教师的教学学生们知道了例题答案，但是学生只知道这么解答，没有思考为什么这么解答，教师也没有说为什么这么解答。对于部分数学生来说，如果不是课前学生看了课本的解法，或者不看投影内容是想不出这种列方程的解法。学生们虽然现在知道怎样做此题了，但是今后再遇到这类问题，可能还是不知道怎么思考。3、对学生的关注教师的教学不仅关注教材内容如何教， 更要关注学生如何学。 要使文本形态的学科知识变成学生能够接受的学习形态课堂知识， 还需要教师

4、对教材进行恰当处理。 教师的教学设计不仅要符合知识之间的内在联系，更要符合学生的认知规律；教学设计不仅在教师眼中的合理，更要符合学生的思维，让学生的思维“自然地流淌出来” 。4、对学生的引导虽然教师在“引导” ，但是教师引导的是学生如何“讲” ，并没有在引导学生如何“想” ；虽然学生在交流，但是学生在讲“解法” ，而没有讲“想法” 。教学过程只是由教师的“讲解”变成了学生的“讲解”，变化的只是讲的主体，仍然没有改变“告诉式教学”的本质，教学方式没有根本改变。5、例题的变式教学教师教学过程中， 没有围绕例题进行变式教学， 没有找出例题和习题之间的内在联系。 练习 1（ 1）中的三角形就是例题中的

5、等腰 ABC （顶角是底角一半的等腰三角形） 。练习 3 是例题的变式，是用 CBD=26°换掉例题中的 AB=AC 。6、例题中包含的数学思想方法本例题的解答过程包含着转化、方程思想的运用，教师深挖隐含在例题中的数学思想方法，将例题教学提升到数学思想、方法的层面去认识，直接影响着学生解题能力的提升。二、对该例题的分析此题在旧人教版有，新人教版也做了保留了，是一个经典的题目。1、从本题涉及到的知识上来看本题出现在等腰三角形这一部分内容中，除用到了等腰三角形的定义、等腰三角形的等边对等角性质外，还用到了三角形的外角概念、三角形外角的性质及三角形内角和定理。AADDBCBCB2、从图形位

6、置上看（1）从图形的构成上看这是由三个等腰三角形组成的图形，这三个等腰三角形为：ABC、BCD、ABD。由等腰BCD、ABD拼成等腰ABC。（2）从角的位置上看ABC的 A 与ABD的 A 重合（ A 是ABC与ABD的公共角），ABC的 C 与BCD的 C重合（ BCD是ABC和BCDR的公共角）， BDC是ABD的外角。（3）从边的位置上看ABC与ABD的边 AB 重合：ABC与BCD的边 BC 重合，BCD与ABD的边 BD 重合，ABC、BCD、ABD还有共线的边CD 、AD 、 AC 。3、从数量关系上看三角形的位置关系决定了相应的角和边的数量关系：（1）从角的数量关系上看相等的角有

7、 A= ABD=DBC, ABC=ACB=BDC；2 倍（或 1/2 ）角有： ABC=ACB =BDC=2A=2 ABD=2 DBC，或 A= ABD=DBC=（ ABC=ACB=BDC）/2 。（2）从边（线段）的数量关系上看：有AB=AC ，BC=BD=AD 。4、从等腰三角形内的角之间的度数看ABC是顶角度数是底角度数一半的等腰三角形。5、从本题解法中应用到的思想方法看（ 1）方程思想。本题是用方程思想来解决关于几何角度计算题的典型例题，学生初次接触这种方法，这种解法不易想到。（ 2）转化思想：由线段相等转化为角相等，由几何问题转化为代数问题等。这种思想解题经常用到，需要教师强调点出。

8、6、站在初中数学相关知识的整体的角度看（1）学习了等腰三角形判定之后，还会遇到与此题有关系的题目，如教材53 页练习题 1、56 页习题 12.3 中的 3 题。到九年级学习了三角形相似、成比例线段、黄金分割的有关知识后，本题还可以用进行拓展：本题中有三角形相似：ABCBCD，有成比例线段AD 2=BD 2=BC2=AC*DC ，D 为 AC 的黄金分割点。三、对该例题的教法建议本例题的图形位置关系比较复杂，边、角的相等关系比较多，对于一般的学生难以理清其中的关系，需要给学生充分的时间进行思考、交流，必要时教师可以用课件（如几何画板）来演示这三个三角形是如何重合的，以进行引导点拨，从而明确角的

9、位置关系。对于课本解答过程学生能看懂，解题用的方法不易想到，至于为什么这么做，做法中所包含的思想方法更不易想到，这就需要教师在进行教学设计时从学生已有的认知出发，采用低起点进行教学，多做铺垫工作。1、怎样由边的位置关系转化为角的数量关系是解答本题的一个关键。利用本节课刚学了等腰三角形的等边对等角的性质，学生比较容易将边的相等关系转化为角的相等关系。2、在本题中，发现角的位置关系（三角形的外角、两个三角形的公共角）是本题的另一个关键。学生在七年级下学期学习了与三角形有关的角，但是由于教材编排原因，造成了学习的不连贯，时间长了学生可能对此知识印象不深了，教师可以引导学生发现图形中的位置及数量关系（

10、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。3、三角形内角和为180°是隐含在三角形的角的数量（等量）关系，学生想不到用它来做等量关系来列方程。因此，引导学生根据三角形内角和为180°来列方程是本题的难点所在。4、本题已知中没有给出某一具体角的角度，却要求角的度数，教师可以利用这一点制造认识上的冲突进而顺势引导，让学生用未知数x 将 ABC（或 BDC、ABD）中各角表示出来，发现等量关系，进而在 ABC（或 BDC、ABD）中利用三角形内角和等于180°做等量关系列出方程，从而利用列方程解应用题的思路将问题转化为一元一次方程问题来解答。教师在引导学生解答本题后，

11、反过头来再回顾一下本题是如何利用列方程解应用题的思路来解答，以强化学生对方程思想的认识。5、本题解法中可以用A 来表示出 ABC和 C，也可以利用方程直接求出角的度数。但是设出未知数 x 后，角之间的数量关系、列方程所用等量关系就更加明显，由此可以理解教材编写者刻意引入未知数以强化和渗透设未知数列方程思想的意图。四、本例题教学设计示例对于本例题， 教师可以将问题改成几个小问题， 用问题去引导学生思考，通过解答这一“串”小问题，从而完成本题的解答。 （具体解答过程让学生自己完成。）（ 1）、图中有哪些相等的线段？（ 2）、图中有几个等腰三角形？（ 3）、图中有几对相等的角？（ 4）、若设 A=x

12、，则图中其它角如何用 x 表示？（ 5）、 ABC（或 BCD、 ABD）的内角和（或平角 ADC）怎样用 x 表AD示？BC（ 6）、请列出方程并解出所列方程。（ 7）、本题用到哪些数学知识，用到哪些数学思想？五、对教师教学的反思1、要创造性的使用教材首先要认真钻研教材， 吃透教材的精神与实质； 其次要挖掘教材， 找出知识与知识、 题目与题目、知识与题目之间的“内在联系” ， 有效串联知识点，创造性的使用教材进行教学。2、要重视分析例题课本中的大部分例题具有典型性和示范性， 许多中考试题源于此又高于此。 正确引导学生对例题展开一些探究，适当引申拓展，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的探索能

13、力，培养学生的发散思维和创造能力。3、注重数学思想方法教学数学思想与数学方法是数学知识中奠基性成分， 是学生获得数学能力必不可少的。 数学思想方法的教学，是把知识型教学转化为能力型教学的关键。 揭示问题中所包含的思想方法是例题教学的一个重要任务。教师要深挖题目中所包含的思想方法，养成站在思想方法的高度进行教学的习惯，让学生在掌握知识的同时，能用思想方法将所学知识融会贯通。4、要关注和引导学生教学设计时，教师不仅要尊重教材特点，还要遵循学生的认知规律，反复揣摩最适合学生需要的方式、方法进行教学。在教学过程中，教师要适时地、恰当地引导点拨，让学生在获得知识的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等方

14、面得到进步和发展。5、注意对例题（练习题、习题）的变式教学围绕课本中的例题（练习题、习题）进行变式教学，可以加强题目之间的联系，使所学题目不再是“孤立”的，可以让学生从多角度认识所学知识，掌握知识（题目）之间的内在联系，实现“举一反三”、“由厚到薄”，避免了“题海之苦” 。为方便教师教学，本人就课本例题提供几道变式题供教师使用。变式 1：如图，在 ABC中.AB=AC,D.E 分别在 AC,AB 上, 且 BC=BD,AD=DE=EB,求 A 的度数。（答案：A=45°）（注：例题中 A 和 ABD相等，而此题中 A 是 ABD的 2 倍，可以看作是对A 和 ABD的数量关系的变式。

15、） ( 将例题中的 AD=BD 换成 AD=ED=EB )变式 2：如图，在 ABC中 ,AB=AC,点 D 在 AC的延长线上 , 且 BD=AB,DC=BC（.1）求ABD各角的度数。（2）求证： BD2=DC*DA 。（答案：（1） A=36°、 ABC=C=72°；（2）可以由BDCADB）（注：如果例题看作是在顶角为 36°的等腰三角形 ABC内构造了一个顶角为 36°的等腰三角形，那么本题可以看作是在顶角为 36°的等腰三角形 ABC外构造了一个底角为 36°的等腰三角形。 ）变式 3：如图，在ABC中 ,BC=BD=AD

16、, CBD=26°，求 A、C的度数。( 注：用 CBD=26°换掉 AB=AC 。)变式 4：如图，在 ABC中,AB=AD=DC, BAD=26°，求 B、 C 的度数。 ( 课本练习题 P51)( 注：本题是变式 3 的图形变式，由例题去掉 AB=AC 得到。 )变式 5：如图，在 ABC中 ,BC=BD=AD, A =40 °，求 CBD、 C 的度数。 ( 注：例题 去掉 AB=AC )变式 6：如变式 5 图，在 ABC中,BC=BD=AD, A =X°， CBD=Y°，你能用 Y 表示 X 吗？试写出用 Y 表示 X 的

17、式子。 ( 注：例题去掉 AB=AC )变式 7：已知：如变式 7 图，在 ABC中， AB=AC ，点 D 在 AC 上，且 BD=BC ，若 A =30°，求 ABD的度数。 ( 注：用 A =30°换掉例题中的 BD=AD )变式 8：已知：如变式7 图，在ABC中， AB=AC ，点 D 在 AC 上，且 AD=DB ，若 A =40°，求DBC的度数。( 注：用 A =40°换掉例题中的DB=BC ，本题也可以看成是教材57 第 7 题改编而成的。 )今天看了稿件，总体感觉可以，你可以试着从下列方面进行修改，然后和何兵勇所长联系，看他有什么建议

18、。1. “一道例题的教学 ”是教学片段还是整堂课的教学应该说明清楚。2. 在介绍教学过程时，应尽量详细，使人看到整个的教学过程，不然对你的分析不以为然。3. 在分析教学过程时，不足之处不易说的太严重，如：不重视例题教学，不重视思想方法的教学等。4.对例题的说明，最好依据教学参考中对本课例题的要求来说明它的作用，不宜夸大。5.对该例题的教学可给出自己的教学设计。以便和上面两位老师的教学进行对比，这样会使人更清晰、更有说服力。出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其