线性规划的应用

1、课题： 线性规划在实际生活中的应用授课教师：济南市长清中学姜登凯一、教材分析1 教材：高中数学（人教B 版）必修5 第三章 3.5.22 教学目标知识与技能目标：了解线性规划的相关概念，会解简单线性规划问题；过程与方法目标：使学生经历“知识形成与发展”的过程，体会其中数形结合与转化的数学思想，培养学生的实践能力；情感、态度与价值观目标：让学生体验“做数学”的乐趣，提高学生的数学素养.3. 教学重点难点重点：解简单线性规划问题；难点：线性规划问题解法的探求与理解.4 教具：多媒体、实物投影仪、学案和直尺二、教学方法与手段采用了教师启发与学生自主探究相结合的互动式教学法，让学生通过合作探究自主突破

2、难点，式训练拓展学生进行研究性学习的空间，把课堂变成教师导演学生主演的数学学习活动场.为了提高课堂效率，规范学生的解题步骤，采取多媒体辅助教学和导学案结合的教学手段三、教学过程：（一）创设情境，提出问题1引入：华罗庚解释什么是“运筹学”，从字面上就是“运行和规划的科学”是在国民经济中选择最优用变化方法的一种科学，消除商品生产和流通过程中的浪费和不合理等现象，引出课题简单线性规划2.引例：某工厂用A、B 两种配件生产甲、乙两种产品每生产一件甲产品使用4 个 A 配件，耗时1小时；每生产一件乙产品使用4 个 B 配件，耗时2 小时已知该厂每天最多可从配件厂获得16 个 A 配件和 12 个 B 配

3、件，按每天工作不超过8 小时计算，请你列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域 .解：设甲、乙两种产品每日的产量分别为x ， y 个x 2 y 84x 164 y 12x, yN注：列约束条件时，要注意讲清xN.y N，这是学生容易忽略的问题3提出中心问题：生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3 万元，如何安排生产利润最大？（二）合作探究，解决问题列出了约束条件和目标函数z=2x+3y 后，应用问题转化为线性规划问题。用问题组引领学生用几何意义解决问题1想求目标函数的最大值能不能每次解题都一一代入验证呢?2可行解的几何意义是点，目标函数z=2x+3y 的几何意义是什么呢？3

4、 将可行解代入目标函数，也就是将可行域内点的坐标代入式子中，让我们联想到什么呢？4我们要求 z=2x+3y 的最大值，又和点到直线2x+3y=0 的距离有什么关系呢？5怎样操作在可行域内找到与直线2x+3y=0的距离最大的点？6.怎样得到最优解的坐标呢？把求 z=2x+3y 的最大值，转化为求点到直线( 三 ) 反思过程，规范步骤2x+3y=0的距离的最大值先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：图解法步骤可概括为建：建线性规划模型画：画可行域和基准线移：平移基准线找点求：解方程组求出最优解答：回归问题，写出答案例题小结：简单线性规划应用问题的求解步

5、骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1 梳理已知数据，设出变量x， y 和z;2 找出约束条件和目标函数;3 作出可行域，并结合图象求出最优解;4 按题意作答( 四 ) 实践操作，互评纠错学生展示自己的解题过程，互相点评步骤中出现的问题，比如：（ 1）建模时对题意理解不透，解答过程不规范（ 2）画错可行域，画错基准线（ 3）因作图不规范，最终找错最优解鼓励学生发表见解，交流心得，自己提出改进和解决问题的办法.（五）变式引思，深化认识变式问题1：如果市场发生变化，生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利4 万元，如何安排生产利润最大？目标函数z=2x+4y注 : 基准线与可行域的

6、一条边界平行学生讨论总结（1）直线的倾斜程度相近时，可通过斜率来比较（2）最优解可能不唯一变式问题2：如果市场又发生变化，生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品亏损4 万元，如何安排生产利润最大？目标函数z=2x-4y思考：为何“距离”最大而“目标函数”不是最大呢？（六）独立解题，由懂到会引入： “中国结”是中国特有的民间手工编结装饰品， “中国结”经过几千年的结艺演变，现已成为广大群众喜爱的具有中国特色的艺术品：（展示中国结的图片，及其它相关图片，配有背景音乐）例 2：某校高二 (1) 班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结” ，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成 A、B

7、、C 三种规格甲种彩绳每根 8 元，乙种彩绳每根 6 元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A 规格B 规格C 规格甲种彩绳211乙种彩绳123今需要 A、 B、 C 三种规格的彩绳各15、 18、 27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？分析：将已知数据列成下表甲种彩绳乙种彩绳所需条数A 规格B 规格C规格彩绳单价21181236151827解：设需购买甲种彩绳x 根、乙种彩绳y 根，共花费z 元；2xy15x2 y18x3y27x, yNz=8x+6y在用图解法求解的过程中，学生发现：直线 l 最先经过可行域内的点A(3.6,7.8)并不是最优解

8、, 学生马上想到最优解可能是（4， 8），引导学生计算花费，花费为80 元，有没有更优的选择?进一步激发学生兴趣：可能是（3，9）吗 ? 此时花费为78 元，可能是（ 2，10）吗？此时花费为76 元，可能是 ，如何寻找最优解？满足题意的点是可行域内的整点，首先要找整点， 引导学生采用打网格或利用坐标纸的方法；根据线性规划知识，平移直线l, 最先经过的整点坐标是整数最优解由网格法可得：当x=3， y=9 时， zmin=78 答：班长应购买3 根甲种彩绳、9 根乙种彩绳，可使花费最少！例题小结：确定最优整数解的方法：1若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2若

9、可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时， 一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线 l 、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范（七）小结作业，承前启后请同学们相互讨论交流：1（ 1）本节课你学习到了哪些知识？（2）本节课渗透了些什么数学思想方法？（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）知识：（1）把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关（ 2）求解整点最优解的解法：网格法网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题2 布置作业课本 P101/1,P103/5，让学生巩固所学内容四、教学设计评价课堂上利用多媒体手段，化静为动，动静结合，轻松观察求解，增加教学容量，激发学生学习兴趣，增强教学的条理性、形象性将学生的练习结果用投影仪展示给大家，通过老师的讲解与点评，纠正学生在解题过程中可能出现的错误，规范解题过程，使得课堂上学生的练习和老师的讲