长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷(理科)

1、长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测 数学试卷（理科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1本试卷共4页，23道试题，满分150分考试时间120分钟2本考试分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1设集合，则_2已知为虚数单位，复数满足，则_3设且，若函数的反

2、函数的图像经过定点，则点的坐标是_4计算：_5在平面直角坐标系内，直线，将与两条坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为_6已知，则_7设定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是_8在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线（）的焦点，则抛物线的方程为_9曲线（为参数）与曲线（为参数）的公共点的坐标为_10记）的展开式中第项的系数为，若，则_11从所有棱长均为的正四棱锥的个顶点中任取个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望_12已知各项均为正数的数列满足（），则_13甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或不

3、答得分甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有道题的选项不同，如果甲最终的得分为分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为_14已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是_二选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分15“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件16下列命题正确的是（ ）（A）若直线平面，直线平面，则；（B）若直线上有两个点到平面的距离相

4、等，则；（C）直线与平面所成角的取值范围是；（D）若直线平面，直线平面，则.17已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）18已知函数 若存在实数，满足，其中，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分ABCA1B1C1D如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为侧棱的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）20（本题满分14

5、分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数（，），且函数的最小正周期为（1）求函数的解析式；（2）在中，角，所对的边分别为，若，且，求的值21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分yPOFABx如图，设是椭

6、圆的下焦点，直线（）与椭圆相交于、两点，与轴交于点（1）若，求的值；（2）求证：；（3）求面积的最大值23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知正项数列，满足：对任意，都有，成等差数列，成等比数列，且，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列，的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围二模理科数学参考答案一填空题1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 121348，51，54，57，60 14二选择题15B 16D 17C 18B三解答题19（1）因为底面是等腰直角三角形，且，所以，（2分）因为平面，所以， （4

7、分）所以，平面 （5分）（2）以为原点，直线，为，轴，建立空间直角坐标系，则， 由（1），是平面的一个法向量， （2分），设平面的一个法向量为，则有 即 令，则，所以， （5分）设与的夹角为，则， （6分）由图形知二面角的大小是锐角，所以，二面角的大小为 （7分）20（1）， （3分）又，所以， （5分）所以， （6分）（2），故，所以，或（），因为是三角形内角，所以（3分）而，所以， （5分）又，所以，所以，所以， （8分）21（1），则在上是增函数，故，即， （2分）故，所以是有界函数 （4分）所以，上界满足，所有上界的集合是 （6分）（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，

8、即，所以，（）， （2分）所以（），令，则，故在上恒成立，所以，（）， （5分）令，则在时是减函数，所以；（6分）令，则在时是增函数，所以（7分）所以，实数的取值范围是 （8分）22.（1）由得，所以，设，则， （2分）因为，所以，代入上式求得。 （4分）（2）由图形可知，要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，即等价于。 （2分）。 （5分）所以，。 （6分）（3）由，得，所以， （3分）令，则，故（当且仅当，即，取等号）。 （5分）所以，面积的最大值是。 （6分）23（1）由已知， ， （1分）由可得， ， （2分）将代入得，对任意，有，即，所以是等差数列 （4分）（2）设数列的公差为，

9、由，得，（1分）所以，所以， （3分）所以， （4分）所以， （5分） （6分）（3）解法一：由（2）， （1分）所以，（3分）故不等式化为，即当时恒成立， （4分）令，则随着的增大而减小，且恒成立。 （7分）故，所以，实数的取值范围是。 （8分）解法二：由（2）， （1分）所以，（3分）故不等式化为，所以，原不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立， （4分）设，由题意，当时，恒成立； （5分）当时，函数图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，由，得，所以当时，对恒成立综上，实数的取值范围是 （8分）答案解析一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中

10、有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】【试题分析】，所以.故答案为.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为，所以，则.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数的反函数经过定点（3,1）

11、，故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】【试题分析】，故答案为.5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】【试题分析】设直线与条坐标轴的交点分别为A,B,则，B（0,2），于是绕y轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以，故答案为.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/

12、二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】【试题分析】由得，所以，因为，所以，又，故答案为.7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】【试题分析】当时，因为，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，并且，所以，综上，不等式的解集为，故答案为.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】【试题分析】设抛物线的焦点坐标为，线段的中点坐标为，因为,所以经过抛物

13、线焦点的线段OA的垂直平分线的斜率，所以，则抛物线的标准方程为，故答案为.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】【试题分析】因为，所以将代入 代入得，解得或,将、代入求得或，因为，所以只有符合题意，故答案为.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5【试题分析】的展开式中第项为的系数，因为，所以，即，得，故答案为5.11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能

14、/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥中，因为,所以,所以,从正四棱锥的5个顶点中任取个点，可以构成的三角形的个数为，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故.第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】【试题分析】因为，所以，当时，-得，所以,也适合此式，所以，所以数列是首项为，公差为4的等差数

15、列，所以，故答案为.13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为，故答案为.14.【测量目标】数学基本知识和基本技

16、能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】【试题分析】如图，设由题意得，所以直线的方程为，化为一般式方程为，所以, 所以，当且仅当，即时取等号，因为恒成立，所以，,所以的最大值为，故答案为.第14题图 cna2二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中

17、的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线与可能是与平面平行的平面中的相交直线，故A选项不正确；直线上的点可能是位于平面两侧的点，故B选项不正确；直线与平面所形成的角大小可以取到0和，故C选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于且，那么，所以，即，由于，所以的最大值为.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能

18、综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像. 【正确选项】B【试题分析】因为存在实数满足，所以函数与直线的图像有4个交点，如图，因此，因为，所以，又因为的图像关于直线对称，所以，所以，因为，所以,故答案为B.第18题图 cna3三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容

19、】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面是等腰直角三角形，且，所以，2分因为平面，所以， 4分所以，平面 5分（2）以为原点，直线，为，轴，建立空间直角坐标系，则， 由（1），是平面的一个法向量， 7分，设平面的一个法向量为，则有 即 令，则，所以， 10分设与的夹角为，则， 11分由图形知二面角的大小是锐角，所以，二面角的大小为 12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理

20、和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）， 3分又，所以， 5分所以， 6分（2），故，所以，或（），因为是三角形内角，所以9分而，所以， 11分又，所以，所以，所以， 14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内

21、容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1），则在上是增函数，故，即， 2分故，所以是有界函数 4分所以，上界满足，所有上界的集合是 6分（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，即，所以，（）， 8分所以（），令，则，故在上恒成立，所以，（）， 11分令，则在时是减函数，所以；12分令，则在时是增函数，所以13分所以，实数的取值范围是 14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1