线性代数练习册附答案

1、第1章矩阵1.写出下列从变量x, y到变量Xi, yi的线性变换的系数矩阵:Xiyix1xcosysiny1xsinycos2.（通路矩阵）a省两个城市a1, a2和b省三个城市 b, b, b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况1 1113设 A 111 , B111 102324，求 3AB-2 A和514.计算2 11(1)3 10012a11a12b1X(2) (X, y,1) a12a22b2yb1b2c1X12y1y3y13Z1Z25. 已知两个线性变换X22y13y22y3 ,y22Z1Z3 , 写出它们的矩

2、阵表X34y1y25y3y3Z23Z3示式,并求从Zi,Z2, Z3到Xi,X2, X3的线性变换6. 设 f (x)=a°xm+ aixm-+ + a m, A 是 n 阶方阵，定义 f (A)=aoA+ aiA + a mE.2当 f (x)=x2-5x+3， A131 时，求 f (A).7. 举出反例说明下列命题是错误的(1)若 A2= O,则 A= O.(2)若 A2= A，则 A= O 或 A= E.7.设方阵A满足A-3A2E=Q证明A及A2E都可逆，并用 A分别表示出它们的逆矩阵.8. 用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：1231(1) A2462123131 4

3、 221 01 10(2) B121341 4 3 3 0101210121002A231203320332 =B.r2 2r1c3 c11121 2 111213111319. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和 A 之间的关系式10.设 P 1AP A,其中 P14,A,求 A9.40011. 设 A 030，矩阵B满足AB=A+2B,求B.0021 0 212. 设 A 2 1 2 , 利用初等行变换求 A-1.5 3 3复习题一1.设 A,B,C均为n阶矩阵，且ABC=E, 则必有（） .(A)ACB=E；(B)CBA=E；(C)BAC=E；(D)BCA=E.a11a12a1

4、3a21a22a232.设Aa21a22 a23,Ba11a12a13a31a32 a33a31a11a32a12a33a13010100P1100, P2010，则必有( ) .001101(A)AP1P2=B；B) AP2P1=B；(C)P1P2A=B；(D) P2P1A=B.3. 设A为4阶可逆矩阵，将 A的第1列与第4列交换得B,再把B的第2列与第3列交换得C,设00011000P10100，0， P2010，则 c1=（）0010010010000001(A)A-1P1P2；(B)P1A-1 P2 ；(C)P2P1A-1 ；(D)P2A-1P1.4. 设n阶矩阵A满足A2-3A+2E

5、=O则下列结论中一定正确的是（）（A） A-E不可逆；（B） A-2E不可逆；（C） A-3E可逆；（D） A-E和A-2E都可逆5. 设 A=（1,2,3） ，B=（1,1/2,1/3），令 CA，求6. 证明：如果Ak=0,则（巨舛-1=£+每+Ak-1, k为正整数.07.设A,B为三阶矩阵，A-10 ,且 A BA=6A+BA 求 B.178设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求OABO00a100 a200009. 设 X-1( a1a2an0 )，求 X0000an 1an0000第2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组2x2 x322xi X2 3X31XiX

6、2X3031X2.当X取何值时，4X0010X3.求下列排列的逆序数：(2n-1)24 (2n) 315624 ；(2)13abc4.证明：aa bab c3 a .a2a b 3a2b c3,-4,-2,0 ,5.已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为6.计算下列行列式1111111111111111 x y x y(2) y x y xx y x y0 11110 11110 111101 x11 X；1 X；(5) Dn1 ai111 a2111 an，其中aa2a*0.7 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为 A，证明：| A*|=| A|n-1, (n

7、> 2).8.设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A=2, |B|=1，计算卜2A*B-1|.2 1 1-19. 设 A 2 1 0 ，利用公式求 A-1 .1 1 1复习题二1设A B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A、B*，证明：（AE）*= BA .340043002. 设 A，求002000223.已知 A, A B,Eb都是 3 1 矩阵，设A=(Ai,ABi,),B=(Ai, A,B), |A|=2 , |B|=3 ,求 | A+2E| .4 设A, B都是n阶方阵，试证:E AB第 3 章 向量空间习题1设 a i=(1,-1,1)a 2=(0,1,2), a

8、3=(2,1,3) ，计算 3a 1-2 a 2+a 32.设 a i=(2,5,1,3)a 2=(i0,i,5,i0)a 3=(4,i,-i,i)T, 且 3(a i-x)+2( a 2+x)=5( a 3+x) , 求向量 x.3. 判别下列向量组的线性相关性 :(i) a i=(-i,3,i)T, a 2=(2,-6,-2)T, a 3=(5,4,i) T ；(2)3 i=(2,3,0) I3 2=(-1,4,0)3 3=(0,0,2)4.设 3 1= a 1, 3 2 = a 1+ a 2, 3 3= a 1+ a 2+83，且向量组a 1, a 2, a 3线性无关，证明向量组B 1

9、, 3 2, 3 3线性无关.5. 设有两个向量组a 1, a 2,a 3和 3 1=a 1- a 2+a 3,32=a 1+a2-a3,33=- a 1+a2+a 3，证明这两个向量组等价6. 求向量组 a 1=(1,2,-1)a 2=(0,1,3),a 3=(-2,-4,2)a 4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示7.设 a i, a 2,a n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量£ 1, £ 2,£ n能由它们线性表示，证明： a 1, a 2,，a n线性无关.8. 设有向量组 a 1,a 2,a 3,a 4, a 5，

10、其中 a 1, a 2, a 3 线性无关，a 4=aa1+ba 2, a5=ca2+da3（ a,b,c, d 均为不为零的实数 ），求向量组 a1,a 3,a 4,a 5的秩.9.设矩阵 A= (1,2,，n), B=(n, *1,1)，求秩 RAfe).211121121410. 设矩阵 A，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式46224369791203204211. 已知矩阵 A，若A的秩R(A)=2，求参数t的值1t5t4102113.设A为n阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，证明：如果A2=A, 则235412. 设 A0264115，求 A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无

11、关组33195R( A)+ R( A- E)=n14. 已知向量空间 R3 的两组基为100a1 , a1,a31001求由基 a i, a 2,a 3 到基3 1,32-110和 311 , 321 , 331，0113 3的过渡矩阵复习题三k1111k111. 设矩阵 A，已知A的秩为3,求k的值11k1111k2.设向量组A：a i, a s与B:3 1,3 r，若A组线性无关且 B组能由A组线性表示为(3 1,3 r) = ( a 1, a s)K,其中K为s r矩阵,试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K) = r.3 .设有二个n 维向量组A:a 1, a2,a 3;B

12、:a 1, a2,a 3, a 4;C:a 1, a 2, a 3, a 5.若a 1, a 2, a 3,a 4- a 5 线性无关.A组和C组都线性无关，而 B组线性相关，证明向量组4.设向量组A:a1=(1,1,0)T,a2=(1,0,1)T,a3=(0,1,1)T 和B:3 i=(-1,1,0) T, 3 2=(1,1,1) T, 3 3=(0,1,-1)T(1)证明：A组和B组都是三维向量空间R3的基；(2)求由A组基到B组基的过渡矩阵； 已知向量a在B组基下的坐标为(1,2,-1) T,求a在A组基下的坐标.第 4 章 线性方程组习题x1 x2 51. 写出方程组 2x1 x2 x

13、3 2x4 1的矩阵表示形式及向量表示形式5x1 3x22x3 2x42. 用克朗姆法则解下列线性方程组bx ay 2ab2cy 3bz bc , 其中 abc 0cx az 0x1x2x303. 问 ,取何值时，齐次线性方程组x1x2x30 有非零解x12 x2x30x1x2k x344. 设有线性方程组- x1kx2x3k 2 ，讨论当 k 为何值时， (1) 有唯一解 (2) 有无穷x1x22x34多解 (3) 无解x18x210x32x405. 求齐次线性方程组2x14x25x3x40的一个基础解系3x18x26x32x40且n 1=(234,5) T, n 2+n 3=(1,234)

14、T，求此方程组的的通解.6. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知n i, n 2, n 3是它的三个解向量，7 . 求下列非齐次线性方程组的通解：x1 x2 52x1 x2 x3 2x4 15x1 3x2 2x3 2x4 312118.设有向量组a： a2, a21， a31 及向量33101问向量3能否由向量组 A线性表示E n-r 是它的导出组的一个基9.设n *是非齐次线性方程组AX=b的一个解，E 1, E 2, -础解系，证明：(1 ) n *, E 1 , E 2,E n-r 线性无关；(2) n *, n *+ E i, n *+ E 2,n *+ E n-r线性无关

15、.复习题四12121.设 A 01aa，且方程组 AX=9的解空间的维数为 2,贝U a=1a012. 设齐次线性方程组 aix计a2X2+anXn=o,且ai, a2,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3. 设有向量组n : ai=( a,2,10)T,a2=(-2,1,5)： a3=(-1,1,4)T 及向量 3 =(1,b,-1) T，问a, b为何值时，(1) 向量3不能由向量组 n线性表示；(2) 向量3能由向量组n线性表示，且表示式唯一;(3) 向量3能由向量组n线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.4设四元齐次线性方程组(I)x1 x2 0x2 x4 0x1 x2

16、x3 0 x2 x3 x4 0求：（1） 方程组（I）与（n）的基础解系；（2）方程组（I）与（n）的公共解.5 .设矩阵A=(a i,a 2,a3,a 4)，其中 a2,a 3,a 4 线性无关，a 1=2 a 2-a 3，向量3 = a 1+ a 2+ a 3+ a 4，求非齐次线性方程组 Ax= 3的通解.a1 b1 c16. 设a2 ,b2 ,c2 , 证明三直线a3b3c3l1: a1xb1yc1 0l2:a2xb2yc2 0ai2 bi2 0,i1,2,3l3:a3xb3yc3 0相交于一点的充分必要条件是向量组, 线性无关，且向量组 , 线性相关第 5 章 矩阵的特征值和特征向量

17、习题1.已知向量 a 1=(1,-1,1)T3，试求两个向量 a 2, a 3，使 a 1, a 2, a 3 为 R 的一组正交基2.设A B都是n阶正交矩阵，证明 AB也是正交矩阵.3.设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1 ,证明：-1是A的一个特征值.2124. 求矩阵 533 的特征值和特征向量1025. 已知三阶矩阵 A的特征值为1,2,3，计算行列式|从5届7日1245006. 设矩阵 A2x2 与 A0y0 相似， 求 x,y ；并求一个正交矩阵 P，421004使 P -1AF= A .7. 将下列对称矩阵相似对角化：22 01) 2 1 202 04002) 0 3 10138

18、.设入是可逆矩阵A的特征值，证明：（1）是A的特征值.（2）当1,-2,3是3阶矩阵A的特征值时，求 A的特征值.9.设三阶实对称矩阵A的特征值为入1=6,入2=入3=3,属于特征值入1=6的特征向量为pi=(1,1,1)：求矩阵 A.复习题五1. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 2. 已知3阶矩阵A A-E E+2A都不可逆，则行列式|A+E|=.1 a 10 003.设 Aa 1bB0 1 0 ,1 b10 0 24.设A为2阶矩阵5a 1,a2为线性无关的非零特征值为2015.已知矩阵A31X可相似对角化,405求 X .已知A与B相似，则a, b满足2 维列向量，Aa 1

19、=0, Aa 2=2 a 1 + , a 2，贝A 的6. 设矩阵A满足A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能是1或2.2127.已知pi=(1,1,-1)T是对应矩阵 A5a3 的特征值 的一个特征向量1b2(1) 求参数 a, b 及特征值； (2) 问 A 能否相似对角化说明理由328设 A，求 0 (A)=A0-5 A9.23第6章二次型1.写出下列二次型的矩阵表示形式:x； x22X32X42x1x24x1X32x1x46x2x34x2 x43.已知二次型 f (xi, x2, x3)11122.写出对称矩阵A102所对应的二次型1 23x2 x； ax| 4x2 6X2X3 的秩

20、为2,求 a 的值.2 2 24x2x 3 化成标准形4. 求一个正交变换将 f (x1,x2, x3) 2x12 3x22 3x32222并写出所用的可逆5. 用配方法将二次型 f x12 3x22 5x32 2x1x2 4x1x3 化成标准形，线性变换6. 设二次型 f 2x12 3x22 3x32 2ax2x3 (a 0) ，若通过正交变换 x Py 化成标准形f y； 2y| 5y；，求 a 的值.7. 判别下列二次型的正定性：1) f2) f2x12 6x22 4x322x1x22x1x32x13x229x32 19x42 2x1x2 4x1x36x2 x4 12x3x48. 设 f

21、复习题六1.设A为m n矩阵，亠入E+Aa,试证：入0时，矩阵B为正定矩阵.0 1 0 02设A1000 , 写出以 A, A-1 为矩阵的二次型,并将所得两个二次型化成标准形.00210 0 1 2223. 已知二次曲面方程 x12 x22ax32 2bx1x2 2x1x35,通过正交变换X=PY化为椭圆柱面方程 y12 2y22 5 ，求 a，b 的值1014. 设矩阵A 0 2 0，B （ kE A ）2，其中k为实数，求对角矩阵 A,使B与A相似，并讨论k为何值时，B为正定矩阵.测试题一2111.计算行列式Dn13111n 111 02 设 A0,B0 320 1、计算题:3 设A、B

22、都是四阶正交矩阵，且B14 设三阶矩阵 A与B相似，且A03 T5，计算A B 20 , A*为A的伴随矩阵,计算行列式22，计算行列式 B 2E 32BAA*1020a2，且A的秩为2,求常数a,b的值11b1425设A、解答题:6 设i (1,ti，ti2,ti3)T i 1,2,3,4，其中tittt是各不相同的数，问4维非零向量能 否由1, 2, 3, 4线性表示说明理由.X12x2X3X407 求齐次线性方程组3x16x2X33x40的一个基础解系5x110 X2X35x40洛X2kx318 问k取何值时，线性方程组X1kx2X3kkx1X2X3k2(1)有唯一解；(2)有无穷多解；

23、(3)无解.3 3 ，求方9 已知四阶方阵A =(1, 2 , 3 , 4 )，其中1, 2 , 3线性无关，程组 Ax1234的通解10 三阶实对称矩阵 A的特征值是 1,2,3.矩阵A的属于特征值 1,2的特征向量分别是1( 1, 1, 1)T, 2(1, 2, 1)T,求A的属于特征值3的所有特征向量，并求A的一个相似变换矩阵P和对角矩阵，使得P 1AP .三、证明题 :11 设 12 12，23 22 3，34 33 1，且 1 , 2 , 3 线性无关，证明：1 ,2,3也线性无关.12 设A为实对称矩阵，且满足A2 A 2E O，证明A 2E为正定矩阵.测试题二一、填空题1、若规定

24、自然数从小到大的次序为标准次序，则排列5的逆序数为 2、已知 A为三阶正交矩阵，且 A VO,贝y AA*4、设 P 1AP，其中P，则 A=5、“若向量组 1, 2, 3线性无关，向量组2,3,4线性相关，则4 一定能由2, 31213、设方阵A=3x2 ，若A不可逆，则x542线性表示”.该命题正确吗、计算下列各题1、计算行列式Dn13，且 C AB，求 C5 .2、设 A2, B23 11112202115的秩，并写出矩阵 A的列向量组的一个20331111043、利用初等行变换求矩阵A极大线性无关组.X1X23x3X41、设非齐次线性方程组3x1X2X39x47X15x211x313x

25、43(1) 求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系；(2)求原方程组的通解.四、求一个可逆变换将二次型2 2 22xi3X2 3x3 4x2X3化为标准形，并判别其正定性.a1五、设 11 ,2a11a2问a为何值时,六、已知矩阵A与B相似，其中A可由1，2，3线性表示，且表示式不唯一并说明不唯一的理由.2 0 00 32 ，计算行列式2B2 3E0 23七、证明题：1、已知1 ,2 ,3是齐次线性方程组 AX 0的一个基础解系，证明12 ,13 ,23也是它的一个基础解系.12、设A、B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且B E A E A，证明1 A E测试题三一、填空题x,x2x301.已

26、知齐次线性方程组2x, 3x2ax；0有非零解，则a应满足的条件是；4x, 9x2 a2x302 已知A为三阶矩阵，且|A=2,贝yAA*一 ;x, y, 2y23 .已知两个线性变换cyi2乙3z23y3和 y2 3Z|4z2，则X2 y2 5y；y； 2ziZ2从Zi , Z2至U Xi , X2的线性变换为 2x1 x2 kx2x3是正定的，则4 .若二次型 f(X, , x2 , x3) 2x1 xf X；k的取值范围是5 设A为实对称矩阵，为非零向量，且A2 , A3 ，则二、计算下列各题：0aa1.计算行列式Dna0aaa01 110 112 .设P AP，其中P，计算A .1 1

27、01三、解答题：设向量组2(1)求向量组的秩，并写出它的一个极大无关组;(2)令A ( 1，2，3， 4),求方程组Ax5的通解.四、解答或证明下列各题1 .命题一：“若方阵A满足A2 A，则A O或A E ”命题二：“若方阵A满足A2 A，贝y A 0或A E 0以上两个命题是否正确若正确给出证明，若不正确举例说明之.2 设 是四元非齐次线性方程组 Ax b的一个解，1, 2是对应的齐次线性方程组的解空间的一组基，证明，1, 2线性无关.01100000五、解答题：设矩阵A00210012(1)求矩阵A的特征值;2(2) 令B A 2A 3E，求一个对角矩阵，使B与相似;(3) 求以A 1为

28、矩阵的二次型.测试题四、填空题:1. 设 A=(-1,0,1), B= (1,2, 3), U (入96=11 a b2. 行列式 1 1a2b2 =11ab3. 设四阶方阵 A、B满足A由2B+E=O,且|A+2E = 2，则|B| =;4. 设A为n阶方阵，且|A=2,|3 E A| =0,则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是 5.设矩阵A1 1 11 1 x ,已知齐次线性方程组 AX=0的解空间的维数为 2,则x=2 2 2二、选择题：1.下列集合中不能构成向量空间的是().(A)(X1,，Xn)T Xi R 且X1+Xn=1 ；( B)(X1,，Xn)T|Xi R 且X1+Xn=O ；

29、(C)(0, X2,T |,Xn)|Xi R ；(D) aa =入1 a计 +入s a s,入i R, a i为n维向量ana12a13a21a22a23a232 .设Aa21a22a23,Bana12a13a13,a31a32a33a31a32a33a3301 01 00P10 0 ,Q0 10,则 A=().00 10 11(A)QfBP1; (B)p1 bQ ；(C) QBP(D PBQ(n>3)维向量a 1, a 2, a 3线性无关的充分必要条件是().(A) a 1, a 2, a 3中任意两个向量线性无关；(B) a 1, a 2, a 3全是非零向量;(C) 对于任何一组

30、不全为零的数ki, k2, k3，都有kia i+k2a 2+k3a 30 ；(D) a i, a 2, a 3能由单位坐标向量 & i, & 2, & 3线性表示.4 .设n阶方阵A B满足AB=O ,则下列命题中错误的是().(A) 若 | A| 工 0,则 B=O(B)若 F(A)=r，则 F< B) < n-r;(C) |A|、| B|中至少有一个为零；(D)若Bm O,则A=O .5. 设A是mKn矩阵，非齐次线性方程组 AX=b的导出组为 AX=0 .如果 作n,则()(A) AX=b必有无穷多解；(B) AX=b必有唯一解；(C) AX=0 必

31、有非零解；(D)AX=0 必有唯一解.三、设A为三阶方阵，且|A|=3，计算行列式|(2 A)" A*|.i四、设 Ai27,求矩阵A的秩，并分别写出 A的列向量组和行向量组的一个极大无关组.五 、 设矩阵 Ai i 0120 ，且 AB=2A B,求矩阵 B.000六、 设向量组 ii3i03,28,33,4ii4mnxia i+x2a 2+x3a 3=a 4 有无穷多解,求已知方程组m, n 的值,并求该方程组的通解.七、设 Ai0 i, A2k i, 已知 3 是矩阵 A AiO的一个特征值ii 02i 2OA2(1) 求参数 k 的值；(2) 求A1，并写出以 A1为矩阵的二

32、次型.计算行列式|B2 3E|，其中B与A相似.八、设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1 .已知属于特征值1的两个线性无关的特征12向量为12，21 ，求矩阵A及A2 .22a11x1a12x2a13x30九、 设方程组a21x1a22x2a23x30的系数行列式 det( aj )=0，而Au 0,a31x1a32x2a33x30证明 (A 11,A 12,A 13) T 是该方程组的一个基础解系.其中Aij 是元素 aij 的代数余子式.复习题与测试题参考答案或提示复习题一1. ( D). 2.(C). 3.(C). 4. (C).5.Cn3n.4.8.6.提示:Ek A

33、k(E2k-1 A)(E A AA ).01印01an提示：利用A1325425提示：利用k= -3.01a2(a1a2anan复习题二1A*=l A A-.425325121-22.必要性利用定理E-AB复习题三(2),充分性利用定理及其证明方法3.利用线性无关的定义及定理4. 证明A组及B组线性无关；(2) T0i11 I2 11；0a在A组基下的坐标为(0,1,2)复习题四1. a=1. 2. n-13. (1) a=-4且b工0时,不能线性表示；(2) a工4时，能唯一线性表示；(3) a= 4 且 b= 0 时，表示式不唯一，且 B =ka 1- (2 k- 1) a 2+ a 3.

34、4 . (1)方程组(I )的一组基础解系为E 1=(-1,1,0,0)T,E 2=(0,0,1,0) T.方程组(n )的一组基础解系为n1=(0,1,1,0) T,n 2=(1,1,0,-1)T. (2)公共解 x=k(-1,1,2,1)T, k 为任意实数.5利用方程组的向量表示式及解的结构，可得通解为x=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1) T, k为任意实数.复习题五1. n,0,0.2. 1.3.a=b=o.4.A的非零特征值为 1.5. x =3.6. 说明A的任意特征值的取值范围.7. (1) a = -3，b= 0,x= -1 ;(2) A不能对角化，因为 A没有3个

35、线性无关的特征向量.8.1 1（A）21 1复习题六1.提示：证明二次型 xtBx正定.2. fxT Ax22x322X42X1X22x3X4,其标准形为f2y12y22y33y：fxt A 1x2 2X32 2 X42x1x2X3 X4，其标准形为，f2%2y22ya1 2 y433333. a=1, b=0.k24. A(k2)20, k 2时，B为正定矩阵.1.n! (1I 2.i6.1,a 2, a3,7.2,1,0,0)T ,(k2)24016测试题一.=2,b=14线性表示.(1,0,1,0)T8. 当k半1且k-2时，有唯一解；当 k=1时，有无穷多解；当 k=-2时,无解.9.(0,1, 3, 1)T是导出组的基础解系(1,1,1,1)T是原方程组的特解,通解为X k10.属于3的所有特征向量为ka 3=k(1,0,1)3,612361136111"20，A122, _则 F-1AP= A.三、=(A+E( A-2日=O所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故A 2E为正定矩阵.一个基础解系为(1,2,1,0): (-2,3,0,1) T ,通解为 x=k1(1,2,1,0)T+k2(-2,3,0,1)T+(4,-1,0,0)测试题二一、1. 10. 2. -1