高三第一轮复习——专题52 椭圆(原卷版)

1、专题52 椭圆(理)【考情解读】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【重点知识梳理】1椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)图形性质范围axa b

2、ybbxb aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)A2(a，0)B1(0，b)B2(0，b)A1(0，a) A2(0，a) B1(b，0) B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2【高频考点突破】考点一:椭圆的定义及其应用【例1】(1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合， 然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是() A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为

3、椭圆C上的一点， 且12 若PF1F2的面积为9，则b_【变式探究】(1)已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中， 若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D3(2)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_考点二:求椭圆的标准方程【例2】(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l 交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_(2) 设F1，F2分别是椭圆E：x21(0<b<1)的左、右焦点，过点F1

4、的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|， AF2x轴，则椭圆E的方程为_(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_【变式探究】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3， 过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，.考点三:椭圆的几何性质【例3】(1)(2014江西)过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(a>b>0)相交于A，B两点， 若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_(2

5、)(2014·包头测试与评估)已知椭圆1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e，则·的取值范围是_【变式探究】已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3的直线l恰好与圆C2相切(1)求椭圆C1的离心率；(2)若·的最大值为49，求椭圆C1的方程考点四:直线与椭圆的位置关系【例4】(2014四川)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上

6、一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q. 当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积【变式探究】(2014陕西)已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点， 且满足，求直线l的方程考点五:圆锥曲线上点的对称问题圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区

7、内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法【例5】椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e， 其中F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y2x1. (1)求椭圆E的方程； (2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【真题感悟】1. 【2015新课标1】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为 .2. 【2015高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，已

8、知椭圆的离心率为， 且右焦点F到左准线l的距离为3.BAOxylPC （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交 直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.3.【2015福建】已知椭圆E：过点，且离心率为()求椭圆E的方程； ()设直线交椭圆E于A，B两点， 判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由4.【2015浙江】已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点） 5. 【2015山东】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是 ，以为圆心以3为半径的圆与以为

9、圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. ()求椭圆的方程； （）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点， 射线 交椭圆于点.(i)求的值；（ii）求面积的最大值.6. 【2015安徽】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标 为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为. （I）求E的离心率e； （II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为， 求E的方程.7. 【2015天津】已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象 限，直线被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆

10、上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.8. 【2015重庆】如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点， 且（1）若，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率1（2014四川）已知椭圆C：1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆C的标准方程 (2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标2.（2014安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A， B两点若|AF1

11、|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_3.（2014北京）已知椭圆C：x22y24. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论4（2014福建）设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A.5 B. C.7 D.65.（2014湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2， 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C3 D26（2014湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、

12、右焦点分别为F1，F2， 离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1. (1)求C1，C2的方程； (2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点 当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值7.（2014江西）过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(a>b>0)相交于A，B两点， 若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_8.（2014辽宁）已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B， 线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_9.（2014辽宁）圆x2y24

13、的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时， 切点为P(如图所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点 若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程10（2014·全国卷）已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A， B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.111（2014·新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的

14、右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程12. （2014新课标)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直， 直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.13.（2014山东）已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率 之积为，则C2的渐近线方程为()A.x±y0 B.x±y0 C.x±2y0 D.2

15、x±y014（2014陕西）如图所示，曲线C由上半椭圆C1：1(a>b>0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)， 若APAQ，求直线l的方程15（2014天津）设椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|. (1)求椭圆的离心率； (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切， 求直线l的斜率16.（201

16、4浙江）如图，设椭圆C：1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限 (1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； (2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.17.（2014重庆）如图所示，设椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2， 2，DF1F2的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在 这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径18. (2013四川)从椭圆1(a>b>0

17、)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点， B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是() A. B. C. D.19.(2013浙江)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1， l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程【押题专练】1. 设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦 点的距离为

18、( )A.4 B.3 C.2 D.52已知椭圆1的焦距为4，则m等于( )A.4 B.8 C.4或8 D.以上均不对3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1 C.1 D.y214.已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A.3个 B.4个 C.6个 D.8个5. 已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10， |BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B. C. D.6.设F1，F2分别是椭圆E：1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2| 成等差数列，则|AB|()A. B.3 C. D27.设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF