高斯公式通量与散度PPT课件

1、第六节格林格林公式公式高斯公式高斯公式推广推广高斯公式 通量与散度 第十章 格林公式格林公式把二元函数在平面区域边界上的把二元函数在平面区域边界上的闭曲线积分与其偏导函数在整个区域上的闭曲线积分与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来二重积分联系起来.本节要介绍的本节要介绍的高斯公式高斯公式则把三元函数在空则把三元函数在空间区域边界上的间区域边界上的闭曲面积分与其偏导函数闭曲面积分与其偏导函数在整个区域上的三重积分在整个区域上的三重积分联系起来联系起来. . LD一、高一、高 斯斯 公公 式式dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( 其中其中取外侧取外侧.先证先证: :.),( d

2、vzRdxdyzyxR 证明证明: :),(:11yxzz ),(:22yxzz 3 zyxyxD,型型区区域域是是先先设设xy Rdxdy 321)(Rdxdy 21RdxdyRdxdy xyDdxdyyxzyxR),(,2.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR xyDyxzyxzdxdydzzR),(),(21.dzdxdyzR 莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）用牛顿用牛顿的函数的函数看作看作（把（把 zzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,1)0(3 dxdy上上,),( dvxPdydzzyxP同理同理dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(

3、合并以上三式即得高斯公式：合并以上三式即得高斯公式：若若 不是不是 XY型区域型区域 ,则可引进辅助面则可引进辅助面将其分割成若干个将其分割成若干个 XY型区域型区域,故上式仍成立故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消正反两侧面积分正负抵消,在辅助面在辅助面,),( dvyQdzdxzyxQ使用高斯公式时应注意使用高斯公式时应注意:是是取取外外侧侧的的闭闭曲曲面面；积积分分曲曲面面 )1(., )2(是是对对什什么么变变量量求求偏偏导导RQP二、应用二、应用解：解：, , 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRyQzyxP 原式原式 dxdydzzy)(o1xzy31 dxdydzzy

4、)(原式原式.29 zdxdydz对称性对称性 301020zdzrdrd zdxdydzydxdydzo1xzy31或或 zDzdxdydz30.0 ,0 ,0:dddddd . 2222的的整整个个表表面面的的外外侧侧是是长长方方体体其其中中，计计算算例例czbyaxyxzxzyzyx 解解: : xzycba yxzxzyzyxdddddd222 dxdydzzyx)222( xdxdydz cbadzdyxdx000.212bca ydxdydz 同理，同理，).(cbaabc 原式原式.212abczdxdydz ,212cab 求求对坐标的对坐标的闭曲面积分的方法：闭曲面积分的方法

5、：(1) 通过投影化为平面积分通过投影化为平面积分( (二重积分二重积分) )(2) 利用高斯公式化为空间区域积分利用高斯公式化为空间区域积分( (三重积分三重积分) )如果曲面不是封闭的呢？如果曲面不是封闭的呢？xyzoh .),(cos,cos,cos)0(0)coscoscos( 3222222的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦处处在在是是之之间间的的部部分分的的下下侧侧，及及介介于于平平面面锥锥面面为为，其其中中计计算算曲曲面面积积分分例例zyxhhzzzyxdSzyx xyzoh 1 解解:1 补补充充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式为利用高斯公式取上侧，取上侧

6、，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 dSzyx)coscoscos(222 dxdyzdzdxydydzx222222:yxz 根据两类曲面积分的联系，根据两类曲面积分的联系，hz xyD)(222hyx xyDxyzoh 1 222:yxz .214h dxdydzzyx)222( 1222dxdyzdzdxydydzx zdv2)0( ydvxdv zDhdxdyzdz02 hrhzdzrdrd0202 或或xyDxyzoh 1 xyDdxdyh2.4h 故所求积分故所求积分 dSzyx)coscoscos(222.214

7、h 4421hh 1222dxdyzdzdxydydzx 12dxdyz三、通量与散度三、通量与散度. AdivAzRyQxP的散度，记作的散度，记作叫做向量场叫做向量场而而 dSnA 高斯公式现在可写成：高斯公式现在可写成：. dvAdivdSnA RdxdyQdzdxPdydz高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创级数、复变函数及椭圆函数论等方面均

8、有一系列开创性的贡献性的贡献, 他还十分重视数学的应用他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎他在学术上十分谨慎, 原则原则: 代数、非欧几何、代数、非欧几何、 微分几何、微分几何、 超几何超几何 在对天文学、大在对天文学、大恪守这样的恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 要点要点:第六节 高斯公式 通量与散度使用高斯公式应注意使用高斯公式应注意: :是是取取外外侧侧的的闭闭曲曲面面；积积分分曲曲面面 )1(高斯公式高斯公式: :意义意义: :如果曲如果曲面面不闭不闭可增加辅助面使其封闭从而运用可增加辅助面使其封闭从而运用高斯公式高斯公式. . Rdxd