学年论文模板(1)

1、学号： 20145034043学年论文学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2014级 姓 名 周小静 论文题目 浅谈二重积分的计算方法 指导教师 张艳艳 职称 讲师 2015 年 12 月 23 日目 录摘 要.1关键词.1Abstract.1keywords.1前 言.11 二重积分的计算方法.2 1.1 化累次积分计算法.2 1.2 换元计算法. .2 1.3 极坐标计算法.3 1.4 几何意义计算法.32 二重积分的应用.4 2.1 求平面图形的面积.4 2.2 求空间立体的体积和平面薄片的质量 .4参考文献.5浅谈二重积分的计算 学生姓名：周小静 学号：2045

2、034043 数学与信息科学学院 信息与计算科学 指导教师：张艳艳 职称：讲师 摘 要: 二重积分的计算是数学分析的一项重要内容，其计算方法多样灵活，本文着重从二重积分从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时研究二重积分的应用. 关键词: 二重积分；换元法；极坐标.Discussion on the calculation method of double integral Abstract: This paper introduces several double integral calculation method, emphatically from the itera

3、ted integrals, variable substitution method of the double integral calculation, paper also studied the use of these methods and matters needing attention, with some examples.Keywords: Double integral; Method of substitution; Polar coordinates.前言 在解决一些几何和物理问题时，我们会用得到一些积分的计算，二重积分是三重积分的基础，在建立了二重积分概念以后，

4、三重积分是其自然的推广，没有本质折差别。在计算上看来，二重积分与三重积分都是最终化为定积分来计算的，但三重积分不论是采用“先二后一”还是“先一后二”，都要通过二重积分的计算，所以二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键.而二重积分又是基本，常见的积分.二重积分的概念是曲顶柱体体积和小薄片面积的过程引起的.二重积分计算的基本途径是将二重积分转化为二次积分计算，转化二次积分的方法灵活多变，选择不当将会使积分更加复杂，甚至无法计算，本文针对在数学分析中的学习总结了二重积分计算的相关知识及应用.二重积分是定积分的推广；被积函

5、数由一元函数推广为二元函数；积分范围由数轴上的区域推广为平面区域.虽然在学习中二重积分计算感到相对有些繁琐，但重积分的计算方法还是有规可循的.1 二重积分的计算方法1.1化累次积分计算法二次积分在直角坐标系下可分为两种不同次序积分.定理1.1 设在矩形区域上可积，且对每个，积分其存在，则累次积分也存在，且：.定理1.2 设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且：特别当在矩形区域上连续时，则有：例1 计算，其中是有围成的区域.解：区域为 若先对后对积分，则由知： = 如果先对后对积分，由于不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”.这就体现了重积分可以换次序的作用.1.2 换

6、元计算法计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得.适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式.下面以定理时间给出.定理1.3 设在有界闭区域上可积，变换将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一一地映成平面上的闭区域，且满足：、函数在内分别具有一阶连续偏导数.、在上有雅可比行列式则.1.3极坐标计算法 当积分的区域是圆域或圆域的一部分，或被积函数的形式为时，可以设广义极坐标变换将平面上的有界闭区域一一地变成平面上有界闭区域，在上连续，则： .特别当： 时，公式变为极坐标公式： 1.4几何意义计算法 积分区域有时是特殊面，如圆柱面、球面、椭球面等我们可以利用它们所表示的几

7、何意义来计算，利用几何意义计算二重积分往往要先考虑积分区域和被积函数有无对称性.此类方法就题而论，不易总结，下面举一个例子加以说明.例:求两个底面半径相同的直角圆柱所围立体的体积V.解：求两个圆柱底面半径为a，两个圆柱方程为：与.利用对称性，只要求出在第一卦限部分，然后再乘以8即得所求体积，第一卦限部分的立体是以为曲顶，以四分之一圆域为底的曲顶柱体，所以： 于是2 重积分的应用2.1 求平面图形的面积 由二重积分的几何解释可以知道：以曲面Z=为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：.特别当时，平面的面积为：例2 求由抛物线和直线所围成图形的面积.解: 记其面积为则 . 由 得与作平行于轴的直线与轴相交,沿轴正方向看,入口曲线为,出口曲线为.因此,区域在轴上的投影区间为. 故 2.2 求空间立体的体积在2.1中我们已经提及到以曲面Z=为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：.例： 求由坐标平面及，所围成的角柱体的体积解:所截得的形体是一个曲顶直柱体,其曲顶为:,其底为： 因此,由二重积分的几何应用得到:= 由二重积分的几何解释可以知道以曲面Z=为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：.特别当时，平面的面积为：2.3求平面薄片的质量由二重积分的物理解释可以知道，密度为的平面薄片的质量为：.参考文献:1 华东师范大学数学系编.数学分析M. .北京:高等教育出版