四边形提高班讲义汇总

1、第六讲四边形热点一计算类例 1. （ 2009 东营）如图，在 DABCDh 已知 AD= 8 cm, AB = 6 cm, DE平分/ ADC BC边于点E,则BE等于（）例2. （ 2009年桂林市、百色市）如图,A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm口 ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC=6 ,D. 24例3. （ 2009年湖南长沙）如图，BC边上的高为4,则阴影部分的面积为（）矩形A B C D勺两条对角线相交于点O ,/AOB =60°, AB = 2 ,则矩形的对角线 AC的长是(例4. （2009襄樊市）如图A. 2 B. 4C. 2石D, 4735,在丫 A

2、BCD 中，AE_LBC于E,AE=EB = EC=a,且a是元二次方程x2 +2x3=0的根，则丫 ABCD的周长为（）A. 4+2J2B. 12+672C. 2 + 2我D. 2+VM 12 + 6x72例5. （ 2009年甘肃白银）如图4,四边形XAD于点E,且四边形 ABCD的面积为8,ABCD 中，AB=BC, / ABC= / CDA=90 ° , BE 贝U BE=()A ED例6. （ 2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形例7. （ 2009年）如图6,在OABCD中，AB=6 , AD

3、=9 , / BAD的平分线交 BC于点E,交DC的延长线于点 F, BGXAE ,垂足为G, BG= 4 J2 ,则A CEF的周长为（）D.11.5例8. （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40则这个正多边形的边数是A.10B.9C.8D.6例 9. （2009 年鄂州）已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, ABXBC, AD=2, BC=DC=5,点 P在BC上移动，则当 PA+PD取最小值时， APD中边AP上的高为（）4._8A、Jl7B、1 17C、 X'117D、317 ,1717热点二.命题与结论类例1.（2009年牡丹江市）如图，DABC珅，E、F分别

4、为BC、AD边上的点，要使BF = DE , 需添加一个条件： .例2. （2009年广州市）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： 例3. （2009黑龙江大兴安岭）在矩形 ABCD中，AB =1 , AD = J3 , AF平分/ DAB ,过C点作CE _L BD于E ,延长AF、EC交于点H ,下列结论中： AF = FH ；BO=BF； CA =CH ； BE =3ED ,正确的ADA.B.C.D.例4. （2009年湘西自治州）13.在下列命题中，是真命题的是（）A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是

5、菱形C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形热点三 动态与操作类例1. （ 2009年甘肃庆阳）如图7,将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度.例2. （2009年温州）在所名的9X9方格中，每个小正方形的边长都是 1.按要求画平行四边 形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上.（1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；（2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数.（注：图甲、图乙在答题纸上 ）【答案】解：（1）图甲f州长是将数）图甲（周长是整数1(2)用乙f网K不是整数1例3.

6、（2009年湖北荆州）如图，将边长为8 cm的正方形 ABCD折叠，使点 D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN,则线段CN的长是（）A. 3cmB. 4cm例4. (2009年山东青岛市)如图，在梯形ABCD中，AD / BC , AD = 6cm , CD = 4cm , BC =BD =10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段EF由 DC出发沿DA方向匀速运动，速度为 1cm/s,交BD于Q,连接PE .若设运动时间为t ( s) (0 <t <5) .解答下列问题：(1)当t为何值时，PE/AB? ( 2)设4PEQ的面积为y (c

7、m2),求y与t之间的函数关系式；2(3)是否存在某一时刻t,使S. PEQ =SAbcd ?右存在，求出此时t的值；右不存在,25说明理由.(4)连接PF ,在上述运动过程中，五边形 PFCDE的面积是否发生变化？说明理由.BC例5. ( 2009桂林百色)如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按 A-B-C-D-A滑动到A止，同时点 R从B点 出发，沿图中所示方向按 B- C-D-A-B滑动到B止，在这个 过程中，线段 QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为().A. 2 B. 4 冗 C.九 D.冗

8、一1热点四规律类例1. (2009年北京市)如图，正方形纸片 ABCD的边长为1, M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点 B的直线折叠，使 A落在MN上，落点记为A',折痕交AD 于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则 A' N=;若M、N分别是AD、BC边的 上距DC最近的n等分点(n 2 2,且n为整数)，则 A N= (用含有n的式子表 示)BN例2. （2009年中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12, AC=20, 两条对角线相交于点O .以OB、OC为邻边作第 1个平行四边形OBBiC,对角线相交于点 A ,再以AB、AC为邻边作第2个平行

9、四 边形AB1cle ,对角线相交于点 01 ；再以O1B、01cl为邻边作第3个平 行四边形O1B1B2G,依次类推.（1）求矩形ABCD的面积;（2）求第1个平行四边形 OBB1C、第2个平行四边形 ABC1c和第6个平行四边形的面积.例3.（2009年安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为 1米，一个微型机器人由 A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 点°例4. （2009年重庆市江津区）在 ABC中，BC=10, B1、C1分别是图中 AB、AC的中点，在图中，B1、B2、C1、C2分别是AB, AC的三等分点，在图（3

10、）中&B9；C? C2C9分别是AB、AC的10等分点，贝U B1C1 +B2c2+B9c9D.60例5. （2009湖北省荆门市） 向运动，当它的运动路程为 点P的运动路程为 如图，正方形 ABCD边长为1 ,动，沿正方形的边按逆时针方 2009时，点P所在位置为 ;当点P所在位置为D点时,（用含自然数n的式子表示）.热点五证明类例1. (2009年莆田)已知：如图在 丫 ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点 E、M、N、F。(1)观察图形并找出一对全等三角形：0 ，请加以证明；AA(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形，其中一

11、个三角形可由另一个三角形经过怎样的 变换得到？例2. ( 2009肇庆)如图 ，ABCD是正方形.G是BC上的一点，DELAG于E, BF(1)求证： ABF DAE ;(2)求证：DE =EF +FB .例3. ( 2009临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形， 点E是边BC的中点./AEF =90 ;且EF交正方形外角/ DCG的平行线CF于点F,求 证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点M,连接ME,则AM = EC, 易证 zAME ECF，所以 AE =EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如

12、果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论" AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正 确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图 3,点E是BC的延长线上(除 C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论" AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 如果不正确，请说明理由.例4. （ 2009年烟台市） 如图，直角梯形ABCD中，AD / BC , /BCD =90° ,且CD =2 AD, tan/ ABC = 2,过点D作DE / AB ,交/

13、BCD的平分线于点E,连接BE.（1）求证：BC =CD ；（2）将 BCE绕点C,顺时针旋转90°得至U ADCG ,连接EG.求证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点.例 5. （ 2009 眉山）在直角梯形 ABCD 中，AB/DC, ABXBC, / A=60° , AB=2CD, E、F分别为 AB、AD 的中点，连结 EF、EC、BF、CF。判断四边形 AECD的形状（不证明）；在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“0”表示，并证明。若CD=2,求四边形BCFE的面积。热点六 综合类例 1. （ 2009年中山）在

14、 丫 ABCD 中，AB =10, AD=m, /D =60° , 以AB为直径作OO ,（1）求圆心。到CD的距离（用含 m的代数式来表示）；（2）当m取何值时，CD与OO相切.k八例2. （2009泰女）如图，双曲线 y = （k>0）经过矩形QABC的边BC的中点E,交AB于 x点D。若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为(C)例3.（2009年北京市）在 YABCD中，过点 C作CELCD交AD于点 巳将线段EC绕点E逆时针旋转90福到线段EF （如图1） （1）在图1中画图探究:当P为射线CD上任意一点（Pi不与C重合）时，连结EPi绕点E逆时针旋转90“得 到

15、线段ECi.判断直线FCi与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90二得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=4 ,AE=i,在的条件下，设 CPi=X, SYRFC产y ,求y与X之间 的函数关系式，并写出自变量X的取值范围.例4. （2009年铁岭市） ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不 与点B、C重合），4ADE是以AD为边的等边三角形，过点 E作BC的平行线，分别交 射线AB、AC于点F、G ,连接BE .（1）如图（a）所

16、示，当点D在线段BC上时.求证：AEBzXADC;探究四边形 BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成 立？（3）在（2）的情况下，当点 D运动到什么位置时，四边形 BCGE是菱形？并说明理由.青（b）例S （2009江西）如图1,在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , E是AB的中点，过点E作EF / BC 交 CD 于点 F . AB=4, BC=6, /B=60©（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM _L EF交BC于点M，过M作MN / AB 交折线ADC于点

17、N ,连结PN ,设EP =x.当点N在线段AD上时（如图2） , FMN的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点 P ,使4PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 X的值；若不存在，请说明理由图5 （备用）真题训练一.填空题1. （ 2009年哈尔滨）如图，在 DABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD.BD的中点, 连接EF.若EF=3,则CD的长为.2. （09湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了 ：等边三角形；等腰梯形;又是中平行四边形；等腰三角形；圆.在以上五种几何图形中，既是轴对称图形, 心

18、对称图形的是 .3. （2009年山西省）如图，DABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点, ABD的周长为16cm,则 DOE的周长是ABDC 中，/ABD=120°, AB ± AC , BD ± CD ,5. ( 2009AB=4, CD =553,则该四边形的面积是A如图所示，矩形 ABCD中，AB=8, BC=6, P是线段BC上一点（P不（第17题图）与B重合），M是DB上一点，且 BP=DM,设BP=x, MBP的面积为y,则y与x之间的函数关系式为6. （2009江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的距离

19、AB =BC =16cm,则/1 =度.7.形,（2009年烟台市）如图，将两张长为 8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值8. （2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若一个四边形 ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是.9. （2009年牡丹江市）矩形ABCD中，对角线 AC、BD交于点O , AE _L BD于E,若 OE ： ED =1 ：3, AE = 73,则 BD =.3 人10. （ 2009年甘肃庆阳） 如图，菱形 ABCD的边长为10cm,

20、DE ±AB , Sin A =,则这个5菱形的面积=cm2.11. （2009年长春）如图，l / m,矩形ABCD的顶点B在直线m上，则=度.12. （2009年长春）如图，方格纸中 4个小正方形的边长均为 1,则图中阴影部分三个小扇 形的面积和为 （结果保留 九）.13. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，在R3OAB中，/OAB =90", OA = AB = 6 ,将AOAB绕点O沿逆时针方向旋转 90©得到AOAB .（1）线段OA的长是,/AOB的度数是；（2）连结AA，求证：四边形 。人八31是平行四边形;（3）求四边形OAAB1的面积.

21、14. （09湖北宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个 图形只能是.15. （ 2009年莆田）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件： ,使得该菱形为正方形.16 .（2009年上海市）17.在四边形 ABCD中，对角线 AC与BD互相平分，交点为 O.在 不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是.17 .（2009成都）如图，将矩形 ABCD沿BE折叠，若/ CBA ' =30°贝U/ BEA' =.18 .（2009年安顺）若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，

22、并使面积为矩形 面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是 度。19、（2009 年鄂州）如图，四边形 ABCD 中，AD / BC 已知 BC= CD = AC=2<3, AB= J6 , 则BD的长为.20. （2009年崇左）如图，正方形 ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为 半径的半圆与以 A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则 sin/EAB的值为.21. （2009年宁波市）如图，梯形ABCD中，AD/BC,/B = 70°, /C=40°,作 DE A=3, BC =10,则CD的长是22. （2009东营）如图，在四边形 ABCD中，已知 A

23、B与CD不平行，/ ABD = / ACD,请AO（第15题图）你添加一个条件： ,使得加上这个条件后能够推出AD / BC且AB= CD.23. （2009 年济宁市）在等腰梯形 ABCD 中，AD/ BC, AD = 3cm, AB=4cm, ZB=60° ,则卜底BC的长为cm .24. （2009年达州）如图1,在等腰梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD 相交于点O,以下四个结论：NABC=NDCB ,OA=OD ,/BCD =/BDC ,Saob=S#oc，其中正确的是A.B.C.D.25. （2009年四川省内江市）如图，梯形 ABCD中，AD/BC ,两

24、腰BA与CD的延长线相交于P, PEXBC, AD=2, BC=5, EF=3,贝U PF 二26.（2009 年陕西省）14.如图，在梯形 ABCD中，DC/ AB, DA= CB,若AB=10, DC = 4, tanA=2,则这个梯形的面积是.选择题1.（2009年济南）如图，矩形ABCD中，AB=3,交AD于E,则AE的长是（）A. 1.6 B, 2.5 C. 3 D, 3.42. （2009年凉山州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C'处，BC交AD于E ,则下列结论不一定成立的是（A. AD =BC.一.一AEC. ABEszCBD D. sin/ABE =

25、ED3. （2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一 “赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖 （假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上） ，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是A.B.-4C.D.1044. （2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm, DE LAB,垂足为E, COSA = ,5则下列结论中正确的个数为（）2DE=3cm； EB=1cm； 冬形ABCD =15cm .A. 3个 B. 2个 C.1个D.0个5. （2009年衡阳市）如图，

26、矩形纸片 ABCD中，AB=4, AD=3,折叠纸片使 AD边与对角线BD重合，折痕为 DG,则AG的长为（）A. 1B. 4 C. - D. 2326. （2009年广西南宁）如图2,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片 对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的 菱形的面积为（）2222A. 10cmB. 20cm C. 40cm D. 80cm7. （2009年宁波市）如图，菱形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O, M、N分别是 边AB、AD的中点，连接 OM、ON、MN,则下列叙述正确的是（）A. AOM和4AON都是等边三角形B,四边形 MBON和

27、四边形 MODN都是菱形C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO者B是 等腰梯形8. （2009河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm ,则菱形的面积为（2A. 3cmB. 4cm2 C.33 cm2D. 273 cm29. （2009年杭州市）如图，在菱形EPXCD 于点 P,则/ FPC=（ABCD 中, )C. 50°/A=110°, E, F分别是边AB和BC的中点,D. 55°10.（2009年义乌）如图，一块砖的外侧面积为X ,那么图中残留部分墙面的面积为A. 4xA. 12xA. 8xA. 16x11

28、. （2009年台湾）如图（八），长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分NBAC。BC若BE =4, AC =15,则 AEC面积为何?(A) 15(B) 30 (C) 45(D) 60 。12. （2009年台湾）图（十二）中，过P点的两直线将矩形 ABCD分成甲、乙、丙、了四个矩形，其中 P在AC上，且AP： PC = AD： AB =4： 3。（A）甲、乙不相似 （B）甲、丁不相似 （C）丙、乙相似（D）丙、丁相似。13. （2009年滨州）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A.矩形B.直角梯形C.菱形 D.正方形14. （2009仙桃）将矩形纸片 ABCD

29、按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，/ BAE =30° , AB= 73,折叠后，点 C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处.则A、忌 B、2 C、3 D、2V315. （2009年林B州市）如图 2是一张矩形纸片 ABCD, AD=10cm,若将纸片沿 DE折叠, 使DC落在DA上，点C的对应点为点 F,若BE=6cm,则CD=（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cmA.他1)B. (1,肉C.(点 + 1,1)D. (1,72+1)17. （2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等腰梯形B.平行四边形C.正

30、三角形D.矩形18. （ 2009年甘肃庆阳） 如图4,在平行四边形 ABCD中，E是AB的中点，CE和BD 交于点O,设OCD的面积为m, AOEB的面积为 J5 ,则下列结论中正确的是（）A. m = 5 B. m = 4祁C. m=3，5D. m=1019. （2009年烟台市）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图方式放置， 再交换两木块的位置，按图方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（）D. 76cm20. （2009年南宁市）如图2,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）2A. 10cm

31、222B. 20cm C. 40cm D. 80cm21. （2009年重庆市江津区）如图：在菱形 ABCD中, ）AC = 6, BD=8,则菱形的边长为A. 5B. 10C. 6D.822. （2009年长沙）如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点O ,/AOB =60°, AB = 2 ,则矩形的对角线 AC的长是（）A. 2B. 4 C, 23D, 47323. （2009年莆田）如图1,在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N-P-Q-M方向运动至点 M处停止.设点 R运动的路程为x, AMNR的面积为y ,如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）

32、A. N处B. P处C. Q处D. M处26. （ 2009眉山）下列命题中正确的是A.矩形的对角线相互垂直C.平行四边形是轴对称图形B.27. （2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿）菱形的对角线相等D.等腰梯形的对角线相等EF折叠后，点D, C分别落在D' , C'的位置.若/ EFB = 65° ,则/ AED'等于 （）(B) 65°(C) 50°(D) 25°(A) 7028.（2009年抚顺市）如图所示，正方形ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线 AC上有一点P ,使PD

33、 +PE的和最小，则这个最小值为（ ）A. 2mB. 276C. 3D. 66DC29. (2009 威海)在梯形 ABCD 中，AB / CD , Z A=60° , / B=30° , AD=CD=6,则 AB 的长度为（）A. 9B. 12C. 18 D. 6 + 3630.1. （2009湖北省荆门市）等腰梯形 ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形 EFGH的形状是（）A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形三解答题1. （2009年南宁市）25.如图13-1 ,在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、 DC边上的点，且AE _ EF

34、, BE -2.（1）求EC ： CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线 CP于点P （如图13-2）,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB边上是否存在一点 M ,使得四边形 DMEP是平行四边形？若存在， 请给予证明；若不存在，请说明理由.一22. （2009年包头）已知二次函数 y=ax +bx + c（a=0）的图象经过点 A（1,0） , B（2,0）,C（0, -2）,直线x = m （ m >2 ）与x轴交于点D .（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x = m （m>2）上有一点E （点E在第四象限），使得 E、D、B为顶点的 三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求 E点坐标（用含 m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF为平行四边形？ 若存在，请求出 m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由.y+II I I I I #Ox3. （2009年宁德市）（本题满分 8分）如图：点 A.D.B.E在同一直线上，AD=BE, AC=DF ,AC/ DF,请从图中找出一个与/ E相等