（整理版）第9模块第5节

1、第9模块 第5节知能演练一、选择题1用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1)在验证n1时，左端计算所得的项为()a1 b1ac1aa2 d1aa2a3解析：当n1时，左端1aa2.答案：c2用数学归纳法证明“1<n(nn，n>1)时，由nk(k>1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()a2k1 b2k1c2k d2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：c3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除第二步归纳假设应该写成()a假设当nk(kn*)时，xkyk能被xy整除b假设当n2k(kn*)时，xkyk能被xy整除c假设当

2、n2k1(kn*)时，xkyk能被xy整除d假设当n2k1(kn*)时，xnyn能被xy整除答案：dn有关，假设nk(kn*nkn()a当nb当nc当nd当nnk(knnknknk答案：c二、填空题5猜测11,14(12),149123，第n个式子为_答案：149(1)n1n2(1)n1(123n)6如下列图，这是一个正六边形的序列：那么第n个图形的边数为_解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，其边数构成等差数列，那么第(n)图的边数为an6(n1)×55n1.答案：5n1三、解答题7在数列an中，a1a(a>1)，且an1(nn*)，求证：an

3、>1(nn)证明：当n1时，a1a>1，不等式成立假设nk(k1)时，不等式成立，即ak>1，那么当nk1时，ak111.ak>1，>0.ak1>1，即当nk1时，不等式也成立综合知，对一切nn*，都有an>1.8点pn(an，bn)满足an1an·bn1，bn1(nn*)且点p1的坐标为(1，1)(1)求过点p1，p2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nn，点pn都在(1)中的直线l上解：(1)由p1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2.a2a1·b2.点p2的坐标为(，)直线l的方程为2xy1.(2)当n1时，2

4、a1b12×1(1)1成立假设nk(kn*，k1)时，2akbk1成立，那么2ak1bk12ak·bk1bk1(2ak1)1，当nk由知，对nn，都有2anbn1，即点pn在直线l上高考·模拟·预测1(·山东高考)等比数列an的前n项和为sn，对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b、r均为常数)的图象上(1)求r的值(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)证明：对任意的nn，不等式···>成立解：(1)因为对任意的nn，点(n，sn)均在函数ybxr(b>0且

5、b1，b，r均为常数)，所以得snbnr，当n1时，a1s1br，当n2时，ansnsn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，那么，所以·······.下面用数学归纳法证明不等式·······>成立当n1时，左边，右边，因为>，所以不等式成立假设当nk时不等式成立，即·&#

6、183;·····>成立那么当nk1时，左边·········>·>所以当nk1时，不等式也成立由、可得不等式恒成立2(高考预测题)正项数列an中，对于一切的nn均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论解：(1)由aanan1得an1ana.在数列an中，an>0，an1>0，ana>0，0<an<1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)解法一：由(1)知0<an<1，那么a2a1a(a1)2<，由此猜测：an<.下面用数学归纳法证明：当n2，nn时猜测正确当n2时，显然成立；假设当nk(k2，kn)时，有ak<成立那么ak1aka(ak)2<()2<，当nk1时，猜测也正确综上所述，对于一切nn*，都有an&l