[经济学]第四章--根轨迹-ma

1、第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 4.4 4.4 根轨迹法分析根轨迹法分析 4.1 4.1 根轨迹法基本概念根轨迹法基本概念 4.2 4.2 绘制根轨迹图的基本规则绘制根轨迹图的基本规则 4.3 4.3 控制系统的根轨迹绘制控制系统的根轨迹绘制 第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理4.14.1根轨迹法基本概念根轨迹法基本概念 根轨迹法基本概念 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系幅角条件和幅值条件 第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹法基本概念根轨迹法基本概念 !系统特征根的图

2、解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到。?希望按性能要求置于合适的位置。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性?系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便。第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理闭环零、极点与开环零、极点间的关系闭环零、极点与开环零、极点间的关系q1iif1iiG222221222221G)ps ()zs (K) 1sTsT

3、)(1sT(s) 1ss)(1s(K) s (G前向通道根轨迹增益221221TTKKGGh1jjl1jjH)ps ()zs (K) s (H反馈通道根轨迹增益前向通道增益h1jjl1jjq1iif1ii)ps ()zs ()ps ()zs (K) s (H) s (GHGKKK izjzipjp开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点f1il1jjiq1ih1jjif1ih1jjiG)zs ()zs (K)ps ()ps ()ps ()zs (K) s (H) s (G1) s (G) s (m个零点(m=f + l )n个极点(n= q + h)m个零点(m=f

4、+ l )n个极点(n= q + h)第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs111111)()()()()()()(3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关； ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。HGKKK 第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹

5、分析法自动控制原理自动控制原理幅角条件和幅值条件幅角条件和幅值条件0) s (H) s (G1) s (D1) s (H) s (G根轨迹方程m个零点n个极点（nm）1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii1pszsKn1iim1ii幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件： n1iim1ii) 1k2()ps ()zs (幅角条件（k=0,1,2, ） 1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件： ！用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K的值。第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理

6、4.24.2绘制根轨迹图的基本规则绘制根轨迹图的基本规则根轨迹的起点和终点根轨迹分支数根轨迹的连续性和对称性实轴上的根轨迹根轨迹的渐近线根轨迹的分离点 根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程根之和与根之积2）“”、 “”3）加粗线及箭头1）实轴、虚轴相同的刻度4）关键点的标注！绘制注意点第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件miiniizspsK110Ks值必须趋近于某个开环极点根轨迹起始于开环极点Ks值必须趋近于某个开环零点根轨迹终止于开环零点第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹

7、分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹分支数根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即 n m。m条终止于开环零点（有限值零点)；（nm）条根轨迹分支终止于（nm）个无限 远零点。1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根 K变化(0到 ),n个根随着变化n条根轨迹。第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。！仅需先购画出S平面上

8、半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹51ii11ii11)ps ()zs ()s (H)s (G180) 12()()(11ksHsG开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段p2，p3上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180； ？第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析

9、法自动控制原理自动控制原理根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线mnka180) 12(mnzpm1iin1iia当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，） ：渐近线与实轴交点的坐标值：证明证明第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理1）当k值取不同值时，a 有（nm）个值，而a不变；mnka180) 12(2）根轨迹在s时的渐近线为（nm）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。mnzpm1iin1iia第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨

10、迹的分离点根轨迹的分离点分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。0dsdKn1iibm1iibp1z11、b坐标值由分式方程解出解析法试凑法例例2、由 极值点求解b 坐标值由 解出b 4/1 KK2/121 ss例例必要条件：!当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。0) s ( K0) K, s (D第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理3、重根法求解b证明) s (B) s (AK) s (BK) s (A) K, s (D由 解出b 0ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B第四章

11、第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）l) 1k2(b会合（或分离）的根轨迹的条数分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理0) s (D)s () s (BK) s (A) K, s (D) s (D1rb0ds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B0ds) s (dD)s () s (rD)s (ds) s (BKds) s (dAds) s (dD1b11rbr重根 r1ds) s (dD含1rb)s (0| ds) s (BKds) s (

12、dA|ds) s (dDbbss) s (B) s (AK两边求导b必要条件：!当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理b坐标值由分式方程解出niimiipszsKsHsG11)()()()(miiniizsKpssD110)()()(根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有 miiniizsKpssD111110)()()(0)()()(1111111miiniizsKpsdsdsDdsdmiiniizsKps1111)()(miiniizsdsdKpsdsd111111)()(或miimiinii

13、niizszsdsdpspsdsd1111111111)()()()(miiniizsdsdpsdsd111111)(ln)(ln两式相除miiniizsdsdpsdsd111111)ln()ln(或niimiipszs111111即得解出s1，即为分离点b第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始角p :从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0360 )nji1iijm1iijjp)pp()zp() 1k2(k0，1， 证明证明 终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的

14、切线与实轴之间的夹角。mji1iijn1iijjz)zz()pz() 1k2(根轨迹终止角一般计算式(0360 ) 例例第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K， 由K值求出相应的值例例2）代数法js 0)()(1jHjG0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG代入特征方程联立求解，根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K值。例例第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理闭环特征方程根之和与根之积闭环特征方程根之和

15、与根之积系统闭环特征多项式ninnnnnimiiniiasasasassszsKps11221111)()()(zi 开环零点si闭环极点pi开环极点11asniinnniias) 1(1闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：niiniips111）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K无关，是个常数， 且有2）根之和不变K增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。例例第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理)Bs (s) 1s (K) s (H) s (G2分别绘B

16、=4 4、9 9、1212、时闭环系统的根轨迹的大致形状。16)4s(sK) s (H) s (G2分别绘如下闭环系统的根轨迹的大致形状。 1)4s(sK) s (H) s (G2 3) 3s(sK) s (H) s (G2 4.3 4.3 控制系统的根轨迹绘制控制系统的根轨迹绘制 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大 致形状。)2s2s)(3s ( sK) s (G2一 单回路系统第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理二二 参量参量根轨迹 控制系统开环传递函数 ，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。 )(1()()(sssKsHsG0)(1(

17、1)()(1sssKsHsG0) 1() 1(2Kssss以为参变量的根轨迹方程00) 1(12ssK1) 1() 1(2Kssss第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理1) 1() 1(2Kssss不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇0123ssssKaKaaa!) 1(110Ka0) 1(K根轨迹与虚轴交点2411K以为参变量的根轨迹方程第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理0) s (H) s (G1) s (D1) s (H) s (Gm个零点n个极点（nm）1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii1psz

18、sKn1iim1ii幅值条件“+”“+”“-”“-”“1 1”n1iim1ii) 1k2()ps ()zs (幅角条件（k =0, 1, 2, ） “ 2k2k”三三 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹的分支数根轨迹的分支数 ( (相同相同) )根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 ( (相同相同) )根轨迹的对称性根轨迹的对称性 ( (相同相同) )实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧( (实轴上实轴上) )开开 环实零、极点数目之和相应为偶数环实零、极点数目之和相应为偶数(0(0也

19、视为偶数也视为偶数) )。根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点 (相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分离点根轨迹的会合点和分离点 ( (相同相同) )根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角离开开环极点出射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 ( (相同相同) )闭环极点的和与积闭环极点的和与积 ( (相同相同) )mnk2anji1iijm1iijjp)pp()zp(k2mji1iijn1iijjz)zz()pz(k2正反馈系统的根轨迹的基本规则正反馈系统的根轨迹的基本规则例例第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理

20、自动控制原理0) s (H) s (G1) s (Dm个零点n个极点（nm）1e)ps ()zs (K) s (H) s (Gsn1iim1iise ) s ( H) s ( G) s (H) s (G1epszsKsn1iim1ii幅值条件3 .57) 1k2()ps ()zs (n1iim1ii幅角条件（k =0, 1, 2, ） 1s1es很小迟滞系统的根轨迹迟滞系统的根轨迹第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理4.5 4.5 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析 根轨迹图上希望闭环极点的位置开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响)/(1cps 增加一

21、个惯性环节增加开环零点的影响加入一阶微分环节（szc）)/()(ccpszs加入环节增加一对开环零极点的影响开环偶极子|zc|pc|第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理根轨迹图上希望闭环极点的位置根轨迹图上希望闭环极点的位置二阶系统的等Mp线（即等线）二阶系统的等ts线第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理开环传递函数上增加极点降低了系统的相对稳定性)(180) 12(mnka渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小根轨迹向右方向弯曲)()(mnzpiia渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点 。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法自动控制原理自动控制原理增加开环极点的影响增加开环极点的影响1cp右移极点2cp增加