随机变量的函数及其分布学习教案

1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)的函数及其分的函数及其分布布第一页，共57页。引引 言言 随机变量(su j bin lin)的函数的分布:若X是随机变量(su j bin lin)，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数).第1页/共57页第二页，共57页。一、离散一、离散(lsn)型随机变量型随机变量 X X的的分布律为分布律为 Y=g(X)P (Y=g(xi)g(x1) g(x2) g(xi) p1 p2 pi g(x)g(x)是一个已知函数是一个已知函数，Y=g(X)Y=g(X)是随机变量是随机变量X X的函数，的函数，则随机变量则随机变量Y Y的

2、分布律为的分布律为XPx1 x2 xi p1 p2 pi 第2页/共57页第三页，共57页。一、离散一、离散(lsn)型随机变量型随机变量 一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，求出Y的取值yi=g(xi)，i=1，2 如果诸yi都不相同，则由PY=yi=PX=xi可得 Y的分布律； 如果诸yi中有某些(mu xi)取值相同，则把相应的X的取值 的概率相加。 注注：第3页/共57页第四页，共57页。一、离散一、离散(lsn)型随机变量型随机变量例例: : 设离散型随机变量设离散型随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 2

3、5/2 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 求求 (1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X(1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X2 2 的分布律的分布律 第4页/共57页第五页，共57页。一、离散一、离散(lsn)型随机变量型随机变量 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 5/2 X -1 0 1 2 5/2解解: : 由由X X的分布的分布(fnb)(fnb)律可得下表律可得下表X-1 -2 -1 0 1 3/2X-1 -2 -1 0 1 3/2-2X 2 0 -2

4、 -4 -5-2X 2 0 -2 -4 -5 X X2 2 1 0 1 4 25/4 1 0 1 4 25/4第5页/共57页第六页，共57页。一、离散一、离散(lsn)型随机变量型随机变量Y -2 -1 0 1 3/2 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 (2) Y=-2X(2) Y=-2X的分布律为的分布律为 Y 2 0 -2 -4 -5 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 (3) Y=X(3) Y=X2 2的分布律为的分布律为 Y 0 1 4 25/4 P 1/10 3/10 3/10 3/10 第6页/共57页第七页，共57页。一、离散一、离散(lsn)

5、型随机变量型随机变量例例 设设 求求 的分布的分布(fnb)律律解：解：Y的分布的分布(fnb)律律X -1 1 2 P 1/6 2/6 3/652XYY -4 -1P 1/2 1/2 第7页/共57页第八页，共57页。 yxgXIXgYdxxfdxxfIXPyFg)()()(二、连续型随机变量二、连续型随机变量(su j bin lin) 设X为连续型随机变量，其概率密度函数(hnsh)为fx(x)，g(x)是一个已知的连续函数(hnsh)，Y=g(X)是随机变量X的函数(hnsh)，考虑求出Y的分布函数(hnsh)FY(y)及密度函数(hnsh)fY(y). 1 1一般方法一般方法 可先求

6、出可先求出Y Y的分布函数的分布函数F FY Y(y)(y)：因为因为F FY Y(y)=PYy=Pg(X)y(y)=PYy=Pg(X)y，设，设I Ig g=x|g(x)y=x|g(x)y则则再由再由F FY Y(y)(y)进一步求出进一步求出Y Y的概率密度的概率密度 )(yFyfYY 第8页/共57页第九页，共57页。二、连续型随机变量二、连续型随机变量(su j bin lin)解解 例：设随机变量例：设随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X服从区间服从区间(0(0，1)1)上上的均匀分布的均匀分布. .试求试求Y=X2Y=X2的密度函数的密度函数. .当

7、当y0y0 (x)0 或恒有或恒有g g (x)0) (x)0(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )严严格单调增加，它的反函数格单调增加，它的反函数h(y)h(y)存在存在(cnzi)(cnzi)，且在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求严格单调增加，可导，现在先来求Y Y的分布函数的分布函数FY(y)FY(y)。因为因为Y=g(X)Y=g(X)在在(，)取值，故当取值，故当yy时，时， F FY Y(y)=PYy=0(y)=PYy=0；当当yy时，时， F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1；当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g (x)

8、0)(x)0)，此时此时 )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)1212)=1-P(X)=1-P(X1212) )16. 084. 01) 1 (1)11112(1 P(Y=-1)=P(Y=-1)= P(XP(X10)i,Y=i,i=0,1,2,3. PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3. U U的分布律为的分布律为 V 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08

9、2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05U=0U=1U=2U=3第36页/共57页第三十七页，共57页。(3) W=X+Y(3) W=X+Y的可能的可能(knng)(knng)取值为：取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8. 0,1,2,3,4,5,6,7,8. ikkiYkXPiWP0,W W的分布的分布(fnb)(fnb)律为律为 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01

10、0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05W=0W=1W=2W=3W=4W=5W=6W=7W=8第37页/共57页第三十八页，共57页。 ikkiYkXPiYXP0,证证: X+Y: X+Y可能可能(knng)(knng)取的值为取的值为0,1,20,1,2)0,() 1, 1(), 0( YiXPiYXPiYXP)0()() 1() 1()()0( YPiXPiYPXPiYPXP212121!)!1(!11212

11、 eieieeieeiii!112111212)(21iiiiiiiCCie ,.)2 , 1 , 0()(!21)(21 iie 从而从而(cng r)X+Y(cng r)X+Y服从服从P(1+2).P(1+2).第38页/共57页第三十九页，共57页。 kiikYiXPkYXPkZP0,knnkiikninCCC22210 因因为为knnkknnkiiknikikniniinqpCqpCqpC 212122110所所以以 kiiknikikniniinkiqpCqpCikYPiXP002211解解: Z: Z的可能取值为的可能取值为0,1, n1+ n20,1, n1+ n2，固定，固定(

12、gdng)k(gdng)k于上述范围内于上述范围内, ,由独立性有由独立性有第39页/共57页第四十页，共57页。 可见，Zb(n1+n2,p). 这个结果很容易推广至多个(du )的情形:若Xib(ni,p),i=1,2,m,且X1,Xm独立,则X1+X2+Xmb(n1+n2+nm,p)。 直观上，按二项分布的定义,若Xib(ni,p),则Xi表示ni次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率均为p,i=1,2,m,而X1,Xm独立,可知Y=X1+X2+Xm是n1+n2+nm次独立试验中A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得 Yb(n1+n2+nm,p)。

13、第40页/共57页第四十一页，共57页。二、二、(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量(su j (su j bin lin)bin lin) 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合概率密度f(x,y), g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y) 是二维随机变量 (X,Y)的函数.一般的方法(fngf)是先求出Z的分布函数Fz(z), zyxgDDzzZzzdxdyyxfdxdyyxfzyxgDDYXPzYXgPzZPzF),(:),(),(),(:|),(),()(然后由然后由F FZ Z( (z z) )求出求出Z Z的概率密度的概率密度f fZ Z( (z z).

14、 ). )()(zFzfZZ 第41页/共57页第四十二页，共57页。例例1: 1: 设设X X和和Y Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, ,它们它们(t men)(t men)的概率密度的概率密度函数依次为函数依次为 yeyfxexfyYxX,21)(;,21)(2222 求求 Z=X+YZ=X+Y的概率密度的概率密度. 解解: (X,Y): (X,Y)的密度的密度(md)(md)函数为函数为 )(212221)()(),(yxYXeyfxfyxf 将上面的二重积分化为二次积分将上面的二重积分化为二次积分, ,然后然后(rnhu)(rnhu)作代换作代换 y=-x y=-x

15、 得得 dedyxfzYXPzFyxDDZzz)(212221),()()( x=z-yxydxdvedxdyezFxvxzyxxzZ2121)()(21)(212222 dvdxeyxvxz21)22(2122 1 1和的分布：和的分布： Z=X+YZ=X+Y第42页/共57页第四十三页，共57页。dvedveduezFzvvvuzZ 442)21(212222122121)(再令再令 xu2 因此，因此，X+YX+Y的分布的分布(fnb)(fnb)密度为密度为 4221)(zZezf 即即Z Z服从服从(fcng)N(0(fcng)N(0，2)2)分布分布. . 第43页/共57页第四十四

16、页，共57页。 zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()(积分区域积分区域(qy)(qy)如图如图, ,化成累次积分化成累次积分, ,得得 yzZdxyxfdyzF),()(固定固定z z和和y y对上式内层对上式内层(ni cn)(ni cn)积分作变量变换积分作变量变换, ,令令x=u-y,x=u-y,得得 zyzduyyufdxyxf),(),(于是于是 zzZdudyyyufdudyyyufdyzF),(),()(x=z-yxy第44页/共57页第四十五页，共57页。由概率密度的定义由概率密度的定义(dngy),(dngy),即得即得Z Z的概率密度为的概率密度为 dyyyzf

17、zfZ),()(由由x x, ,y y的对称性的对称性, ,f fZ Z( (z z) )又可写成又可写成: : dxxzxfzfZ),()(上两式即是两个随机变量上两式即是两个随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)和的概率密度的一般公式和的概率密度的一般公式. . dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()(；这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式, ,记为记为f fx x* *f fY Y, ,即即 dxxzfxfdyyfyzfffYXYXYX)()()()(第45页/共57页第四十六页，共57页。例例1: 1: 设设X X和和Y

18、 Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量, ,它们它们(t men)(t men)的概的概率密度函数依次为率密度函数依次为 yeyfxexfyYxX,21)(;,21)(2222 求求 Z=X+YZ=X+Y的概率密度的概率密度. 解解: : 由公式由公式(gngsh) (gngsh) dxxzfxfzfYXZ)()()(令令t t= =x x-(-(z z/2)/2)，得，得 4442222212121)(zztzZeedxeezf 即即Z Z服从服从(fcng)N(0(fcng)N(0，2)2)分布分布. . dxeedxeezxzxzx2222242)(22121 第46页/共

19、57页第四十七页，共57页。 一般地一般地, ,设设X,YX,Y相互独立且相互独立且X XN(1N(1，12)12)，Y YN(2N(2，22),22),经过经过(jnggu)(jnggu)计算知计算知Z=X+YZ=X+Y仍然服从正态分布仍然服从正态分布, ,且有且有Z ZN(1+2N(1+2，12+22). 12+22). 12+22+.+n2).第47页/共57页第四十八页，共57页。,)(maxzYPzXPzYzXPzMPzF )()()(maxzFzFzFYX 即有即有第48页/共57页第四十九页，共57页。类似类似(li s)(li s)地地, ,可得可得N=min(X,Y)N=mi

20、n(X,Y)的分布函数为的分布函数为 1,11)(minzYPzXPzYzXPzNPzNPzF )(1)(1 1)(minzFzFzFYX 即即 以上结果容易推广到以上结果容易推广到n n 个相互独立个相互独立(dl)(dl)的随机变量的情况的随机变量的情况, ,设设X1,X2,XnX1,X2,Xn是是n n个相互独立个相互独立(dl)(dl)的随机变量的随机变量. .它们的分布函数分它们的分布函数分别为别为 ,i=1,2,n., ,i=1,2,n.,则则M=Max(X1,X2,Xn)M=Max(X1,X2,Xn)及及N=Min(X1,X2,Xn)N=Min(X1,X2,Xn)的分布函数分别为

21、的分布函数分别为 )()()()(21maxzFzFzFzFnXXX)(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX 特别(tbi),当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有Fmax(z)=F(z)n, Fmax(z)=1-1-F(z)n.XiF第49页/共57页第五十页，共57页。例例: : 设系统设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1,L2L1,L2联接而成联接而成, ,联接的方式分联接的方式分别为别为(i)(i)串联串联,(ii),(ii)并联并联,(iii),(iii)备用备用(biyng)(biyng)(当系统当系统L1L1损坏时

22、损坏时, ,系统系统L2L2开始工作开始工作),),设设L1,L2L1,L2的寿命分别为的寿命分别为X,Y,X,Y,已知它们的概率密已知它们的概率密度分别为度分别为 ;000)( xxexfxX 000)(yyeyfyY 其中0,0且，试分别就以上三种联接方式(fngsh)写出L的寿命Z的概率密度. 第50页/共57页第五十一页，共57页。解解: (i): (i)串联的情况串联的情况 由于当由于当L1,L2L1,L2中有一个损坏时中有一个损坏时, ,系统系统L L就停止工作就停止工作, ,所以所以(suy)(suy)这时这时L L的寿命为的寿命为 Z=min(X,Y) Z=min(X,Y)。

23、由指数分布由指数分布X,YX,Y的分布函数分别为的分布函数分别为 ;0001)( xxexFxX 0001)(yyeyFyY 由公式得由公式得Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)的分布的分布(fnb)(fnb)函数为函数为 0001)(1)(1 1)(minzzezFzFzFzYX 000)(minzzezfz第51页/共57页第五十二页，共57页。(ii)(ii)并联的情况并联的情况 由于由于(yuy)(yuy)当且仅当当且仅当L1,L2L1,L2都损坏时都损坏时, ,系统系统L L才停止工作才停止工作, ,所所以这时以这时L L的寿命的寿命Z Z为为Z=max(X,Y),Z=max(X,Y),按公式得按公式得Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)的分布函数的分布函数 00011)()()(maxzzeezFzFzFzzYX于是于是(ysh)Z=max(X,Y)(ysh)Z=max(X,Y)的概率密度为的概率密度为 000)(minzzeeezfzzz 第52页/共57页第五十三页，共57页。(iii)(iii)备用的情况备用的情况(qngkung).(qngkung).