2018-2019学年浙江省湖州市高二(下)期末数学试卷

1、2018-2019 学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4 分）设集合 AxR|0x2，BxR|x|1，则 AB（）A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，2）2（4 分）已知复数 z 满足 z（i 为虚数单位），则|z|（   ）A1B2C3D3（4 分）已知曲线 f（x）x

2、3ax2+2 在点 （1，f （1）处的切线的倾斜角为 ，则实数 a（）A2B1C2D34（4 分）若 90 件产品中有 5 件次品，现从中任取 3 件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）AC CBC CCCDCC                    &

3、#160;            C5（4 分）若定义在a，b上的函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则（）A函数 f （x） 有 1 个极大值，2 个极小值B函数 f （x） 有 2 个极大值，3 个极小值C函数 f （x） 有 3 个极大值，2 个极小值

4、D函数 f （x） 有 4 个极大值，3 个极小值6（4 分）把函数 ysinx（xR）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）第 1 页（共 21 页）Aysin（+）Bysin（2x+）Cysin（ x）Dysin（2x）7（4 分）用数学归纳法证明不等式左端应在 nk 的基础上加上（）（nN*），则当 nk+1&

5、#160;时，ACBD8（4 分）有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A144B216C288D432（9 4 分）ABC 中，C90°，M 是 BC 的中点，若 sinBAM ，则 sinBAC（）ABCD11 6 分）已知多项式 （12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a0 

6、60;  ，a3    12 6 分）已知an是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7 成等比数列，且 2a1+a21，10（4 分）若存在实数 a，b，使不等式 4elnxax+b2x2+2 对一切正数 x 都成立（其中 e为自然对数的底数），则实数 a 的最小值是（）A2eB4CeD2二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6&#

7、160;分，单空题每题 4 分，共 36 分（则 a1，d13（6 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A，b  ，ABC 的面积为，则 c，B（fff（14 6 分）设函数 （x）x3x2已知 a0，且 （x） （a）（xb） xa）2（xR），则实数 a，b15（4 分）今有 4 张卡片上分别写着&#

8、160;1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张的片上的数字之和为奇数的概率是16（4 分）已知两非零向量是满足      ，         ，则向量     夹角的最大值第 2 页（共 21 页）R17（4 分）若函数 f（x）x（lnx

9、1）axb（a，b ）在1，e存在零点（其中 e 为自然对数的底数），则 a2+2b 的最小值是三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14 分）已知函数 f（x）x33ax2x 在 x1 处取到极值（）求实数 a 的值，并求出函数 f（x）的单调区间；（）求函数 f（x）在1，2上的最大值与最小值及相应的 x 的值（1915 分）一个盒

10、子里装有 m 个均匀的红球和 n 个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出 1 个球，取到的球是红球的概率为 ，从盒子里一次随机取出 2 个球，取到的球至少有 1 个是白球的概率为（）求 m，n 的值；（）若一次从盒子里随机取出 3 个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率20（15 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD6，E 在线段 AD 上，DE2，现

11、沿 BE将 ABE 折起，使 A 至位置 A，F 在线段 AC 上，且 CF2FA（）求证：DF平面 ABE；（）若 A 在平面 BCDE 上的射影 O 在直线 BC 上，求直线 AC 与平面 ABE 所成角的正弦值21（15 分）已知 A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线 y216x 上的相异两点，且 x1+x

12、28（）若直线 AB 过 M （2，0），求 AB 的值；（）若直线 AB 的垂直平分线交 x 轴与点 P，求PAB 面积的最大值第 3 页（共 21 页）22（15 分）已知函数 f（x）lnx+2x2mx（mR ）（）若函数 f（x）在其定义域内单调递增，求实数 m 的最大值；（）若存在正实数对（a，b），使得当 f（a）f（b）1 时，ab1 

13、;能成立，求实数 m 的取值范围第 4 页（共 21 页）2018-2019 学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4 分）设集合 AxR|0x2，BxR|x|1，则 AB（）A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，2）【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合

14、 AxR|0x2，BxR|x|1x|1x1，ABx|0x1（0，1）故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4 分）已知复数 z 满足 zA1B2（i 为虚数单位），则|z|（   ）C3             D【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，然后求模即可【解答】解：z   

15、     （i+2i2）2i，故选：D【点评】本题主要考查复数模长的计算，属基础题3（4 分）已知曲线 f（x）x3ax2+2 在点 （1，f （1）处的切线的倾斜角为 ，则实数 a（）A2B1C2             D3【分析】求得导函数，利用 f（x）x3ax2+2 在点（1，f（1）处切线的倾斜角为 ，可得

16、 f（1）1，由此可求 a 的值【解答】解：求导函数可得 f（x）3x22ax函数 f（x）x3ax2+2 在 x1 处的切线倾斜角为 ，f（1）1，32a1，第 5 页（共 21 页）a2故选：C【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题4（4 分）若 90 件产品中有 5 件次品，现从中任取 3 件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）AC CBC C

17、CCDCC                                 C【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从90 件产品中任取 3 件的取法，再排除其中全部为正品的取法，分析可得答案【解答】解：根据题意，用间接法分析：从 

18、;90 件产品中任取 3 件，有 C903 种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有 C853种取法，则至少有一件是次品的取法有 C903C853 种；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题5（4 分）若定义在a，b上的函数 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则（）A函数 f （x） 有 1 个极大值，2 个极小值B函数 f （x） 有

19、60;2 个极大值，3 个极小值C函数 f （x） 有 3 个极大值，2 个极小值D函数 f （x） 有 4 个极大值，3 个极小值【分析】利用函数取得极大值的充分条件即可得出【解答】解：只有一个极大值点 x2当 x1xx2 时，f（x）0，当 x2xx3 时，f（x）0第 6 页（共 21 页）当 x3xx4 时，f（x）0，x4xx5 

20、;时，f（x）0，x5x 时，f（x）0，且 f（x1）0，f（x2）0，f（x3）0，f（x4）0，f（x5）0，函数 f（x）在 xx2xx4 处取得极大值xx1，xx3，xx5 处取得极小值故选：B【点评】熟练掌握函数取得极大值的充分条件是解题的关键6（4 分）把函数 ysinx（xR）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）Aysin（+）Bysin（2x+）Cysin（ x）Dysin（

21、2x）【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的 2 倍时 w 的值变为原来的倍，得到答案【解答】解：向左平移个单位，即以 x+  代 x，得到函数 ysin（x+  ），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，即以x+）故选：A【点评】本题主要考查三角函数的平移变换属基础题7（4 分）用数学归纳法证明不等式左端应在 nk 的基础上加上（）yx 代 x，得到函数：sin（nN*），则当&

22、#160;nk+1 时，ACBD第 7 页（共 21 页）【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明不等式（nN *），当 nk+1 时左端应在 nk 的基础上加上的式子，可以分别使得 nk，和 nk+1 代入等式，然后把 nk+1 时等式的左端减去 nk 时等式的左端，即可得到答案【解答】解：当 nk 时，等式左端，当 nk+1 时，等式左端增加了故选：D【点评】此题主要考查数学归纳法的问

23、题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目8（4 分）有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A144B216C288D432【分析】利用排列组合知识直接求解【解答】解：有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是：432故选：D【点评】本题考查排法总数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运

24、算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题（9 4 分）ABC 中，C90°，M 是 BC 的中点，若 sinBAM ，则 sinBAC（）ABCD【分析】作出图象，设出未知量，在ABM 中，由正弦定理可得 sinAMB，进而可得 cos，在 ACM 中，还可得 cos，建立等式后可得 ab，再由勾股定理可得 cb，即可得出结论【解答】解：如图，设 ACb，ABc，CMMB ，MAC，在ABM

25、60;中，由正弦定理可得，第 8 页（共 21 页）代入数据解得 sinAMB，故 coscos（sinAMBAMC）sinAMCsin（AMB），而在 RTACM 中，cos           ，故可得，化简可得 a44a2b2+4b4（a22b2）20，解之可得 ab，再由勾股定理可得 a2+b2c2，联立可得 cb，故在 RTABC 中，s

26、inBAC故选：D   ，【点评】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题10（4 分）若存在实数 a，b，使不等式 4elnxax+b2x2+2 对一切正数 x 都成立（其中 e为自然对数的底数），则实数 a 的最小值是（）A2eB4CeD2【分析】分别画出 f（x）4elnx 和 g（x）2x2+2 的图象，确定 a0，存在 b0，由基本不等式和导数，得到最值，可得所求最小值【解

27、答】解：分别画出 f（x）4elnx 和 g（x）2x2+2 的图象，可得 a0，若 b0，可得 4elnxax2x2+2，即有 4e由 2x+ 2a2x+ ，4，当且仅当 x1 时，取得最小值 4，第 9 页（共 21 页）由 y4e的导数为 y4e，可得 xe 处 y 取得极大值，且为最大值 4，可得 a 的最小值为

28、0;4故选：B11 6 分）已知多项式 （12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则 a01，a3160【点评】本题考查利用导数分析恒成立问题以及函数单调性问题的方法，注意讨论 a 的取值范围二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分（【分析】由二项式定理及用赋值法求展开式项的系数得：令 x0 得：a0（12×0）60，（12x）6 展开式含 x3 的

29、项为（2x）3160，即 a3160，得解【解答】解：因为（12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，令 x0 得：a0（12×0）60，多项式 （12x）6 展开式含 x3 的项为（2x）3160，12 6 分）已知an是等差数列，公差 d 不为零，若 a2，a3，a7 成等比数列，且 2a1+a21，即 a3160，故答案为：1；160【点评】本题考查了二项式定理及用赋值法求展开式项的系数，属中档题（第 10 

30、页（共 21 页）则 a1，d1【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d a1，再由条件 2a1+a21，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差【解答】解：由 a2，a3，a7 成等比数列，则 a32a2a7，即有（a1+2d）2（a1+d）（a1+6d），即 2d2+3a1d0，由公差 d 不为零，则 d a1，又 2a1+a21，即有 2a1+a1+d1，即 3a1 a11，解得 a1

31、 ，d1故答案为： ，1【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用13（6 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A，b  ，ABC 的面积为，则 c1+，B【分析】由已知利用三角形面积公式可求 c，利用余弦定理可求 a，进而可求 cosB 的值，结合 B 的范围即可求得 B 的值【解答】解：A解得：

32、c1+，b， ， ABC 的面积为      bcsinA      ×c×   ，由余弦定理可得：aB（0，），B2，可得：cosB           ，第 11 页（共 21 页）故答案为：1+，【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在

33、解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题（fff（14 6 分）设函数 （x）x3x2已知 a0，且 （x） （a）（xb） xa）2（xR ），则实数 a，b【分析】函数与方程的综合运用及解方程组得：分别令 x0，令 xb 解方程组可得解【解答】解：因为函数 f（x）x3x2又 f（x）f（a）（xb）（xa）2，令 x0 得：f（0）f（a）ba2a2a3，又 a0，所以 ba1，令 xb

34、 得：f（b）f（a）0，所以 a3a2b3+b20，联立得：3a25a+20，解得：或，经检验得 a1，b0 不合题意，即 a ，b ，故答案为： ， 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用及解方程组，属中档题15（4 分）今有 4 张卡片上分别写着 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张的片上的数字之和为奇数的概率是【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数

35、的情况数占所有情况数的多少即可第 12 页（共 21 页）【解答】解：列树状图得：共有 12 种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为 8 种，所以概率为 故答案为： 【点评】考查用列树状图的方法解决等可能事件的概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比16（4 分）已知两非零向量满足      ，   

36、60;     ，则向量     夹角的最大值是【分析】设向量夹角为 ，由余弦定理求得 cos，再利用基本不等式求得cos 取得最小值，即可求得 的最大值【解答】解：两非零向量由于非零向量以及满足      ，         ，设向量     夹角为

37、0;，构成一个三角形，设| |x，则由余弦定理可得14+x24xcos，解得 cos小值为，       ，当且仅当 x  时，cos 取得最角  取得最大值为，故答案为【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题17（4 分）若函数 f（x）x（lnx1）axb（a，bR ）在1，e存在零点（其中 e 为自然对数的底数），则 a2

38、+2b 的最小值是e2第 13 页（共 21 页）【分析】令 g（x）lnx1，则其与函数在1，e上有交点，由图象观察可知，需满足，可得 bea，则答案可求【解答】解：令 f（x）x（lnx1）axb0 得，x1，e，作函数 g（x）的图象如下图所示，令 g（x）lnx1，要使 a2+2b 取得最小值，则 b0，函数在1，e上为增函数，函数 f（x）x（lnx1）axb（a，bR）在1，e存在零点，函数 g（x）lnx1 与函

39、数在1，e上有交点，则需满足           ，bea，a2+2ba22ea（ae）2e2e2，即 a2+2b 的最小值是e2故答案为：e2【点评】本题考查函数零点及最值问题，考查分析问题解决问题的能力及数形结合思想，是难题三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14 分）已知函数 f（x）x33ax2x 在 x1 处取到极

40、值（）求实数 a 的值，并求出函数 f（x）的单调区间；（）求函数 f（x）在1，2上的最大值与最小值及相应的 x 的值【分析】（）先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出，（）根据导数和函数的最值得关系即可求出【解答】解：（）f（x）x33ax2x，f（x）3x26ax1，第 14 页（共 21 页）f（x）在 x1 取得极值，f（1）26a0，解得 a ，此时 f（x）3x22x1（3x+1）（x1），由 f（x）0，解得

41、60;x 或 x1，由 f（x）0，解得 x1，函数 f（x）在（ ，1）上单调递减，在（， ），（1，+）上单调递增；（）由（）可知函数 f（x）f（x）x3x2x，1f（x）在（1， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，在（ ，2）上单调递增，f（ ），f（2）2，f（1）1，f（1）1，当 x2 时，函数有最大值，最大值为 2，当 x±1 时，函数有最小值，最小值为1【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，

42、最值问题，考查转化思想，属于中档题（1915 分）一个盒子里装有 m 个均匀的红球和 n 个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出 1 个球，取到的球是红球的概率为 ，从盒子里一次随机取出 2 个球，取到的球至少有 1 个是白球的概率为（）求 m，n 的值；（）若一次从盒子里随机取出 3 个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率（【分析】 ）设该盒子里有红球 m 个，白球 

43、n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出 m，n（）设“一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件 A，设“一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数为 3 个”为事件 B，设“一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数为 2 个，红球数为 1 个”为事件 C，则 P（A）P（B）+P（C），由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率【解答】解：（）设该盒子里有红球

44、0;m 个，白球 n 个，第 15 页（共 21 页）根据，解方程组，得 m4，n8（）设“一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件 A，设“一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数为 3 个”为事件 B，则 P（B）设“一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数为 2 个，红球数为 1 个”为事件 C，则 P（C），P（

45、A）P（B）+P（C），取到的白球个数不小于红球个数的概率为【点评】本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，是基础题20（15 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD6，E 在线段 AD 上，DE2，现沿 BE将 ABE 折起，使 A 至位置 A，F 在线段 AC 上，且 CF2FA（）求证：DF平面 ABE；（）若 A

46、0;在平面 BCDE 上的射影 O 在直线 BC 上，求直线 AC 与平面 ABE 所成角的正弦值（【分析】 ）法一：延长 BE，CD，交于点 G，连结 AG，推导出 CD2DG，DFAG，由此能证明 DF平面 ABE法二：在平面 BCDE 内作 DHBE，交 BC 于 H，连结 FH，则四边形 BHDE 是平行四边形，推导出 

47、FHAB，从而 FH平面 ABE，同理 DH平面 ABE，进而平面 FDH第 16 页（共 21 页）平面 ABE，由此能证明 DF平面 ABE（）过 O 作 OMBE 于 M，连结 AM，由三垂线定理得 AMBE，设点 C 到平面ABE 的距离为 d，由 VCABEVACBE，得 d，由此能求出直线 AC 与平面ABE

48、0;所成角的正弦值【解答】证明：（）证法一：延长 BE，CD，交于点 G，连结 AG，DEBC，且 BC3DE6，CD2DG，CF2FA，DFAG，DF平面 ABE，AG平面 ABE，DF平面 ABE证法二：在平面 BCDE 内作 DHBE，交 BC 于 H，连结 FH，则四边形 BHDE 是平行四边形，CH42BH，又 CF2FA，FHAB，FHAB，FH平面 ABE，AB平面 ABE，FH平面 

49、;ABE，同理 DH平面 ABE，又 FHDHH，平面 FDH平面 ABE，DF平面 DFH，DF平面 ABE解：（）过 O 作 OMBE 于 M，连结 AM，由三垂线定理得 AMBE，在 AOBk，OB ，AB3，AO3，设点 C 到平面 ABE 的距离为 d，则由 VCABEVACBE，    ，得解得 d，直线 

50、AC 与平面 ABE 所成角的正弦值 sin     第 17 页（共 21 页）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（15 分）已知 A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线 y216x 上的相异两点，且 x1+x28（）若直线 AB 过 M （2，0），求 AB

51、 的值；（）若直线 AB 的垂直平分线交 x 轴与点 P，求PAB 面积的最大值（【分析】 ）设直线 AB 的方程为 xty+2，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，计算可得所求值；（）设线段 AB 的中点为 M（x0，y0），运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直第 18 页（共 21 页）线方程，可得 P 的坐标，设出直线 AB 的方程代入抛物线方程

52、，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最大值【解答】解：（）设直线 AB 的方程为 xty+2，联立抛物线方程 y216x，可得 y216ty320，可得 y1+y216t，y1y232，由 x1+x28，可得 t（y1+y2）+48，解得 t± ，即有|AB|4；（）设线段 AB 的中点为 M（x0，y0），则 x04，y0，kAB线段 AB 的垂直平分线的方程是 yy0（x4），由题意知