2018年天津市南开区高考数学二模试卷(理科)

1、2018 年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）i 为虚数单位，则复数A1+3iB3+i（   ）C3i           D2+4i（y2 5 分）若实数 x， 满足约束条件，则目标函数 z2x+3y 的最大值为（）A11B24C36D493（5 分）ABC 中，a，b

2、，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 b，c2，cosB ，则 a（）ABC2D34（5 分）函数 f（x）log0.5（2x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A（2，+）B（，2）C（0，2）D（2，0）5 5 分）设 F1，F2 是离心率为 5 的双曲线（且 3|PF1|4|PF2，则PF1F2 的面积等于（）的两个焦点，P 是双曲线上的一点，A4B8C24    &

3、#160;       D486（5 分）下列命题中，正确的是（）A“lnalnb”是“10a10b”的充要条件B命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 且 n0”C存在 x00，使得 x0sinx0D若 cos ，则 7（5 分）已知 Sn 是数列an的前 n 项和，a12，a24，a36，数

4、列an+an+1+an+2是公差为 2 的等差数列，则 S25（）A233B282C466D6508（5 分）设ABC 是边长为 1 的正三角形，M 是ABC 所在平面上的一点，且，则当取最小值时， 的值为（）第 1 页（共 22 页）+2  +ABC2D3二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上.（9 5 分）

5、一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为10（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 N 是 4，则输出 p 的值是11（5 分）二项式（）5 的展开式中的常数项为12（5 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则 a13（5 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin），以极坐标系

6、的极点为直角坐标第 2 页（共 22 页）系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴两种坐标系中的长度单位相同，直线 l：（t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于 E，则|EA|EB|（fx14 5 分）已知函数 （x）（ ） ，函数 g（x）为偶函数且 g（x2）g（x），当 x0，2时，g（x）f若 F（x）g（x

7、） （|x|）a 恰有 4 个零点，则 a 的取值范围是三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13 分）已知 x是函数 f（x）2cos2x+2asinxsin（x+）图象的一条对称轴（）求 a 的值；（）求函数 f（x）在区间0，上的取值范围16（13 分）盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，

8、4 个黑色球规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分现从盒内任取 3 个球（）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（）设 X 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 X 的分布列和数学期望17（13 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2&#

9、160;的正三角形，D 是侧棱 CC1的中点，直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45°（）求此三棱柱的侧棱长；（）求二面角 ABDC 的余弦值；（）求点 C 到平面 ABD 的距离18（13 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1 ，且当 n2 时，（）求数列an的通项公式；第 3 页（共 22 页）  

10、60; +2（）设 bn2（1n）an，证明：b22+b32+b42+.+bn+12 （1914 分）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x24的焦点，离心率等于椭圆 E 的左焦点为 F，过点 M（3，0）任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，点 A 关于 x 轴的对称点为 C（）求椭圆 E&#

11、160;的方程；（）求MBC 面积的最大值20（14 分）已知函数 f（x）xlnx（）若存在 x ，e，使不等式 2f（x）x2+ax3 成立，求实数 a 的取值范围；（）设 0x1x2，证明：2（）证明：（x+1）（1xf（x）（e2+1）ex；第 4 页（共 22 页）2018 年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）i 为虚数单

12、位，则复数A1+3iB3+i（   ）C3i           D2+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：                        故选：B【点评】本题考查了复数代数形

13、式的乘除运算，是基础题（y2 5 分）若实数 x， 满足约束条件，则目标函数 z2x+3y 的最大值为（）A11B24C36D49【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由 z2x+3y 得 y x+ ，平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ ，经过点 A 时，直线 y x+

14、 ，的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即 A（1，3），此时 z2×1+3×311，故选：A第 5 页（共 22 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键3（5 分）ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 b，c2，cosB ，则 a（）ABC2D3【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解【解答】解：b，c2，cos

15、B ，由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得：5a2+42×，整理可得：3a28a30，解得：a3 或 （舍去）故选：D【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题4（5 分）函数 f（x）log0.5（2x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A（2，+）B（，2）C（0，2）D（2，0）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则得，即2x2，即函数的定义域为（2，2），f（x）log0.5（2x）+log0.5（2+x）log0.5（2x

16、）（2+x）log0.5（4x2），设 t4x2，则 ylog0.5t 是减函数，第 6 页（共 22 页）要求函数 f（x）的单调递增区间，等价为求函数 t4x2，的单调递减区间，函数 t4x2，的单调递减区间为0，2），f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C【点评】本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键5 5 分）设 F1，F2 是离心率为 5 的双曲线（的两个焦点，P 是双

17、曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2，则PF1F2 的面积等于（）A4B8C24D48【分析】先由双曲线的离心率求出 a，与 c，可得|F1F2|10，再由 3|PF1|4|PF2|，求出|PF1|8，|PF2|，由此能求出PF1F2 的面积【解答】解：设 F1，F2 是离心率为 5 的双曲线的两个焦点，e 5，解得 a21，c5，|F1F2|2c10，3|PF1|4|PF2|，设|PF2|x，则|PF1|PF2|x，由双曲线的性质知 xx2，解得 x

18、6|PF1|8，|PF2|6，F1PF290°，1F2 的面积 ×6×824故选：C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用6（5 分）下列命题中，正确的是（）A“lnalnb”是“10a10b”的充要条件第 7 页（共 22 页）B命题“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 且 n0”C存在 x00，使得 x0si

19、nx0D若 cos ，则 【分析】A，判断充分性和必要性是否都成立即可；B，根据命题与它的否命题之间的关系，判断即可；C，构造函数 f（x）xsinx，判断单调性，得出 xsinx 在（0，+）上恒成立；从而判断它的否定命题是假命题；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可【解答】解：对于 A，lnalnb 时，ab0，10a10b，充分性成立；10a10b 时，ab，lnalnb 不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要条件，A 错误；对于 B，命题“若 

20、m2+n20，则 m0 且 n0”，它的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0”，B 错误；对于 C，设 f（x）xsinx，则 f（x）1cosx0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）0，即 xsinx 在（0，+）上恒成立；它的否定命题：存在 x00，使得 x0sinx0 是假命题，C 错误；对于 D，时，cos 是真命题，它的逆否命题：若 cos，则&

21、#160;也是真命题，D 正确故选：D【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是综合题7（5 分）已知 Sn 是数列an的前 n 项和，a12，a24，a36，数列an+an+1+an+2是公差为 2 的等差数列，则 S25（）A233B282C466D650【分析】利用等差数列的性质，转化求解数列的排列规律，然后求解数列的和即可【解答】解：Sn 是数列an的前 n 项和，a12，a24，a36，数列an+an+1+an+2是公差为 2 的等差数列，第

22、60;8 页（共 22 页）可知 a44，a56，a68，a76，a88，a910，a108，a1110，a1212，即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，数列an的前 25 项和：2+2×4+3（6+8+10+12+14+16+18）+2030+3×故选：B【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，考查计算能力8（5 分）设ABC 是边长为 1 的正三角形，M 是ABC 所在

23、平面上的一点，且282+2  +，则当    取最小值时， 的值为（   ）ABC2D3【分析】由题意画出图形，把用表示，求得  关于  的函数式，利用换元法及配方法求最值，则  的值可求【解答】解：如图，          ，  +2+    ，得，设，则当 t

24、60;，即故选：A，也就是     时，    取最小值第 9 页（共 22 页）【点评】本题考查平面向量数量积运算，考查数学转化思想方法，属中档题二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上.（9 5 分）一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本已知 B&#

25、160;层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为160【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同，则，即 n160，即总体中的个体数为 160，故答案为：160【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础10（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 N 是 4，则输出 p 的值是24【分析】根据框图的流程依次计算循环的结果，直到不满足条件 k4，跳出循环体，确定输出的 p 值【解答】解：由

26、程序框图知；第一次循环 k1，p111；第二次循环 k2，p122；第三次循环 k3，p236；第四次循环 k4，p4624不满足条件 k4，跳出循环体，输出 p24故答案为：24第 10 页（共 22 页）【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算循环的结果是解答此类问题的常用方法11（5 分）二项式（）5 的展开式中的常数项为80【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 

27、的值，即可求得展开式的常数项【解答】解：二项式（）5 的展开式的通项公式为 Tr+1（2）r，令0，求得 r3，展开式的常数项为×（8）80，故答案为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（5 分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则 a2【分析】将几何体还原，得到几何体为长方体割去一个角，根据图中数据计算体积，解方程即可得到所求值【解答】解：由已知三视图得到几何体为长方体割去一个角，如图所以其体积为解得 a2，故答案为：2  

28、a a       ，第 11 页（共 22 页）【点评】本题考查了几何体的三视图，关键是正确还原几何体，考查体积的计算，属于中档题13（5 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin），以极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴两种坐标系中的长度单位相同，直线 l：（t 为参数）与曲线 C 交于 A，B

29、0;两点，与 y 轴交于 E，则|EA|EB|1【分析】曲线 Cwx 为普通方程得（x1）2+（y1）22把直线 l：（t为参数）代入曲线 C 的方程可得：t23t+10，由此能求出|EA|EB|的值【解答】解：曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin），22cos2sin0，x2+y22x2y0，即（x1）2+（y1）22把直线 l：（t 为参数）代入曲线 C 的方程可得：t23t+10，t1+t23，t1t21|EA|EB|t1t21故答

30、案为：1【点评】本题考查两线段乘积的求法，考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题（fx14 5 分）已知函数 （x）（ ） ，函数 g（x）为偶函数且 g（x2）g（x），当 x0，第 12 页（共 22 页）2时，g（x）f若 F（x）g（x） （|x|）a 恰有 4 个零点，则 a 的取值范围是（2，2.375）【分析】由函数 g（x）为偶函数且&#

31、160;g（x2）g（x），则 g（x）g（x），函数 g|（x）的周期为 4，求得在区间2，0上，g（x）的解析式，作出g（x）和 y（ ）x|+a的图象，通过平移，即可得到所求 a 的范围【解答】解：由函数 g（x）为偶函数且 g（x2）g（x），则 g（x）g（x），g（x+2）g（x），g（x+4）g（x+2）g（x），函数 g（x）的周期为 4，x0，2时，g（x），则在区间2，0上，有 g（x），分别作出函数 yg（x）在2，2的图象，并左右平

32、移 4 个单位，8 个单位，可得 yg（x）的图象，再作 y（ ）|x|+a 的图象，注意上下平移当经过 A（1，2.5）时，a2.50.52，经过 B（3，2.5）时，a2，50.532.375则平移可得 2a2.375 时，图象共有 4 个交点，即 F（x）g（x）f（|x|）a 恰有 4 个零点故答案为：（2，2.375）第 13 页（共 22 页）【点评】本题考查函数的零点的求法

33、，注意运用图象的交点，掌握图象平移和数形结合的思想方法是解题的关键三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13 分）已知 x是函数 f（x）2cos2x+2asinxsin（x+）图象的一条对称轴（）求 a 的值；（）求函数 f（x）在区间0，上的取值范围【分析】（）利用诱导公式，二倍角，辅助角化简，结合三角函数的性质陆毅对称轴即可求 a 的值（）x 在0，上，求解内层函数的范围，即可求解 f（x）的

34、取值范围【解答】解：（）函数 f（x）2cos2x+2asinxsin（x+sin（2x+）+1，tan ）1+cos2x+asin2xx是函数的对称轴，2×k+，kZ那么 tan（ka）tan     ，（）由可知（）函数 f（x）2sin（2x+）+1，x0，2x+上，    上，1sin（2x+）1故得函数 f（x）在区间0，上的取值范围是1，3【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键16（1

35、3 分）盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分现从盒内任第 14 页（共 22 页）取 3 个球（）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（）设 X 为取出的

36、0;3 个球中白色球的个数，求 X 的分布列和数学期望【分析】（）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件为从9 个球中任取 3 个球有 C93 种结果，而满足条件取出的 3 个球得分之和恰为 1 分有两种结果，包括取出 1 个红色球，2 个白色球和取出 2 个红色球，1 个黑色球，它们之间是互斥事件，（）X 为取出的 3 个球中白色球的个数，由题意知 X 

37、可能的取值为 0，1，2，3根据古典概型公式和试验包含的结果，得到白球个数不同是对应的概率，写出分布列，做出期望【解答】解：（）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件为从 9 个球中任取 3 个球有 C93 种结果，而满足条件取出的 3 个球得分之和恰为 1 分有两种种结果，包括取出 1 个红色球，2 个白色球和取出 2 个红色球，1 个黑色球记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事

38、件 B，有 C21C32 种结果“取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 C，有 C22C41 种结果，其中它们之间是互斥事件，P（B+C）P（B）+P（C）（）X 可能的取值为 0，1，2，3P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）X 的分布列为：X01  2            3第 15 页（共

39、0;22 页）PX 的数学期望 EX）1【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17（13 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，D 是侧棱 CC1的中点，直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45°（）求此三棱柱的侧棱长；（）求二面角 ABDC 的余弦值；（）求点 

40、;C 到平面 ABD 的距离【分析】（）由几何体的结构特征与题中条件求出侧棱的长度（），以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 z 轴，建立坐标系分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出二面角的平面角（）求出平面 ABD 的法向量，再求出平面的一条斜线所在的向量量上的射影即可得到答案【解答】解：（）取 BC 的中点为 O，连接 OD由正三棱柱的结构特征得 OA平面 BCC1B1，且 

41、OA所以ADO 是直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角，即ADO45°所以 OD，求出  在法向所以侧棱的长为 2（）如图，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，），B（1，0，0），C（1，0，0），D（1，0），（1，0，），  （1，  ，  ），设 x，y，z）是平面

42、0;ABD 的一个法向量，第 16 页（共 22 页）则由，取 z1，得 （，1），面 BCD 的一个法向量 （0，0，1），cos而所求二面角为锐角，即二面角 ABDC 的余弦值为（）（1，0，），点 C 到面 ABD 的距离为：d【点评】本题考查棱长的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18（13 分）已知

43、数列an的前 n 项和为 Sn，a1 ，且当 n2 时，（）求数列an的通项公式；（）设 bn2（1n）an，证明：b22+b32+b42+.+bn+12     +2（【分析】 I）当 n2 时，    +2可得      2.  2，利用等差数列的通项公式可得1n2 时，anSnSn（II）n2 时，bn

44、2（1n）an n3 时，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出第 17 页（共 22 页）                      ，（【解答】 I）证明：当 n2 时，    +2     &#

45、160;2.  2，数列是等差数列，公差为 2，首项为 22+2（n1）2n，Sn1n2 时，anSnSn        an（II）证明：n2 时，bn2（1n）an n3 时，                 ，b22+b32+b42+.+bn+12+ 【

46、点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、放缩方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（1914 分）已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x24的焦点，离心率等于椭圆 E 的左焦点为 F，过点 M（3，0）任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，点 A 关于 x 轴的对称点为 C（）求椭圆 

47、;E 的方程；（）求MBC 面积的最大值【分析】（）根据抛物线方程求得 b 的值，利用椭圆的离心率公式即可求得 a 的值，求得椭圆方程；（）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，根据直线的共线定理求得 B，F，C 三点共线，利用韦达定理及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质，即可求得MBC 面积的最大值【解答】解：（）设椭圆的方程：（ab0），由抛物线 x24的焦点（0，），则 b  ，第 18 页（共 22 

48、;页）椭圆的离心率 e ，则 a，椭圆 E 的方程：；（）设直线 l 的方程为 yk（x+3）联立，整理得（1+3k2）x2+18k2x+27k260，（k2）24（1+3k2）（27k26）0，解得 k2设点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2y1k（x1+3），y2k（x2+3），x1x2      ，F（2，0），C（x1，y1）（x1+2，y1）， （x2+2，y2）（x1+2）y2（x2+2）（y1）（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）k2x1x2+5（x1+x2）+12，k（+12）0 ，则直线 BC 过椭圆的左焦点 F，由题意可知：S |MF|y1|+ |