2019年河北省保定市高考数学二模试卷(理科)

1、2019 年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）|（3+4i）i|（）A4B52（5 分）已知集合 Ax|y，BC7             D25，则 AB（   ）Ax|0x1Bx|x1Cx|x0Dx|x

2、13（5 分）等比数列an中，若 an0，a2a41，a1+a2+a37，则公比 q（）ABC2D44（5 分）已知随机变量  服从正态分布 N（ ，2），若 P（2）P（6）0.1，则P（24）为（）A0.7B0.5C0.4D0.355（5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升），则输入 k 的值为（）

3、A4.5B6C7.56（5 分）把点 A（3，2）按向量 （1，4）移到点 B，若则 C 点坐标为（）第 1 页（共 23 页）2D9（O 为坐标原点），A（1，1）B（ ，1）C（2，3）D（1， ）7（5 分）已知一几何体的三视图如图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（）A8（5 分）函数B         

4、0;     C              D的图象大致是（   ）ABCD（9 5 分）ABC 中，内角 A、B、C 的对边 a、b、c 依次成等差数列，且 B，则ABC的形状为（）A等边三角形B直角边不相等的直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形（y105 分）设变量 x，&

5、#160;满足约束条件，则目标函数 zx2+y2 的最大值是（）ABC1D11（5 分）设点 P 为直线 l：x+y40 上的动点，点 A（2，0），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值为（）ABCD12（5 分）设函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 N 则下列结论中：第 2 页（共 23 页）MN ，M+N4，MN1其中一定成立的有（）A0 个B1 个，C2 个 &

6、#160;         D3 个二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于14（5 分）若正数 a，b 满足 ab+a+b3，则 a+b 的最小值为15（5 分）已知函数 f（x）ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且&#

7、160;x00，则 a 的取值范围是16（5 分）已知点 M 在以 A，B 为焦点的椭圆上，点 C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：；则该椭圆的离心率为三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考（题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 一）必考题：共 60 分17（12 分）已知ABC 中，A，cosB ，AC8

8、（）求ABC 的面积；（2）求 AB 边上的中线 CD 的长18（12 分）如图，已知四棱锥中，四边形 ABCD 为矩形，AB2，BCSCSD2，BCSD（1）求证：SC平面 SAD；（2）设，求平面 SEC 与平面 SBC 所成的二面角的正弦值第 3 页（共 23 页）19（12 分）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算

9、笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关，假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为 ，面试两科每科优秀的概率均为（1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为 ，求  的分布列与数学期望20（12 分）已知抛物线 E：y28x，直线 l：ykx4（1）若直线 l 与抛物线 E 相切，求直线 l 的方程；（2）设 Q（4，0），直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 A（

10、x1，y1），B（x2，y2），若存在点 C，满足，且线段 OC 与 AB 互相平分（O 为原点），求 x2 的取值范围21（12 分）已知函数 f（x）xlnx+ax+1a（1）求证：对任意实数 a，都有f（x）min1；（2）若 a2，是否存在整数 k，使得在 x（2，+）上，恒有 f（x）（k+1）x2k1 成立？若存在，请求出 k 的最大值；若不存在，请说明理由（e2.71828）（二）选考题：共 

11、10 分请考生从第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为（1）写出直线 l 的普通方程与曲线 

12、C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 上的定点 P，在曲线 C 外且其到 C 上的点的最短距离为第 4 页（共 23 页），试求点P 的坐标选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）|x+a|+|x2|1（1）若 a1，求不等式 f（x）2 的解集；（2）若 x1，2时，f（x）+x4 恒成立，求 a 的取值范围第 5 页（共 23 

13、页）2019 年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）|（3+4i）i|（）A4B5C7D25【分析】根据题意，由复数乘积的公式可得（3+4i）i4+3i，由复数模的公式计算可得答案【解答】解：根据题意，（3+4i）i4+3i，则|（3+4i）i|4+3i|5；故选：B【点评】本题考查复数的计算，涉及复数模的计算，属于基础题2（5 分）已知集合 Ax|y，B，

14、则 AB（   ）Ax|0x1Bx|x1Cx|x0Dx|x1【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax|yx|x1，Bx|x0 或 x1，ABx|x1故选：D【点评】本题考查了不等式的解法，交集的基本运算，注意解集为整数集，属于基础题3（5 分）等比数列an中，若 an0，a2a41，a1+a2+a37，则公比 q（）ABC2D4【分析】由 an0，a2a41，可得其性质即可得出【解答】解：an0，a2a41，1，解得 a31a1+a

15、2+a37，1，解得 a3根据 a1+a2+a37，利用通项公式及第 6 页（共 23 页）+ +17，化为：6q2q10，q0，解得 q 故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5 分）已知随机变量  服从正态分布 N（ ，2），若 P（2）P（6）0.1，则P（24）为（）A0.7B0.5C0.4D0.35【分析】随机变量  服从正态分布 N（ ，2

16、），由 P（2）P（6）0.1，得到曲线关于 x4 对称，根据曲线的对称性从而得到所求【解答】解：由 P（2）P（6）0.1，可得 4，且 P（24），故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题5（5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S1.5（单位：升），则输入 k 的值

17、为（）第 7 页（共 23 页）A4.5B6C7.5D9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n4 时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为 ，即可解得 k 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，Sk满足条件 n4，执行循环体，n2，Sk ，满足条件 n4，执行循环体，n3，S ，满足条件 n4，执行循环体，n4，S ，此时，不满足条件 n4，退出

18、循环，输出 S 的值为 ，由题意可得： 1.5，解得：k6故选：B【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题6（5 分）把点 A（3，2）按向量 （1，4）移到点 B，若则 C 点坐标为（）A（1，1）B（ ，1）C（2，3）2  （O 为坐标原点），D（1， ）【分析】可设 B（x，y），据题意知，从而可求出，得 B（4，6），然后设 C（s，

19、t），则根据即可求出 s，t，即得出 C 点的坐标【解答】解：设 B（x，y），据题意得：（x3，y2）（1，4）；B（4，6）；设 C（s，t），则根据得：（4，6）2（s4，t6）；第 8 页（共 23 页）；解得；C（2，3）故选：C【点评】考查向量平移的概念，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数乘运算7（5 分）已知一几何体的三视图如图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的体积为（）ABCD【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三

20、棱柱，求出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱，棱锥的底面三角形的边长为 2，高为 1，故棱柱的体积 VSh故选：C  ，【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键8（5 分）函数的图象大致是（）ABCD【分析】判断函数奇偶性和对称性，结合极限思想进行判断即可第 9 页（共 23 页）【解答】解：f（x） xsinx（ x+sinx）f（x），则 f（x

21、）是奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D，当 x0，且 x0，f（x）0 且 f（x）0，排除 A，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性以及利用极限思想是解决本题的关键（9 5 分）ABC 中，内角 A、B、C 的对边 a、b、c 依次成等差数列，且 B的形状为（）A等边三角形B直角边不相等的直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形，则ABC【分析】求出 A+CsinA+sinC，解得 cos【解答

22、】解：B，据 a、b、c 成等差数列，得 2ba+c，由正弦定理可得1，从而得到 AC，可得 ABC 为等边三角形，A+Ca、b、c 成等差数列，2ba+c，由正弦定理可得 2sinBsinA+sinC2sin   cos     cos   ，cos又1，AC   ，AC0，故ABC 为等边三角形，故选：A【点评】本题考查等差数列的定义，正弦定理，和差化积公式，根据

23、三角函数的值求角，求出 cos1，是解题的关键第 10 页（共 23 页）（105 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx2+y2 的最大值是（）ABC 1              D【分析】作出可行域，zx2+y2 表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件

24、，所对应的可行域，而 zx2+y2 表示可行域内的点 A 到原点距离的平方，由：，解得 A （ ，）2数形结合可得最大值为：（ ）2+ （） ，故选：D 【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题11（5 分）设点 P 为直线 l：x+y40 上的动点，点 A （2，0），B （2，0），则|PA |+|PB |的最小值为（）ABCD【分析】利用点关于直线对称即可【

25、解答】解：如图所示，设点 C （x，y）为点 B 关于直线 x+y40 的对称点则有点 C 的坐标为（4，2）|PA |+|PB |第 11 页（共 23 页）故选：A【点评】求两条线段之和的最小值时，三点共线时最小，这是解题关键12（5 分）设函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 N 则下列结论中：MN ，M+N4，MN1，其中一定成立的有（）A0 个B1 个C2 

26、;个D3 个【分析】构造函数 g（x），判断函数 g（x）的奇偶性和单调性，可得 g（x）的最值，进而得到 f（x）的 M，N，即可判断结论【解答】解：函数 f（x），即 f（x）1+，设 g（x），可得 g（x）g（x），即有 g（x）为奇函数，可得 g（x）的最大值和最小值互为相反数当 x0 时，g（x），导数为 g（x），当 x1 时，g（x）递减；x1 时，g（x）递增，可得 x1 时，g

27、（x）取得极大值，且为最大值 ；当 x0 时，g（x）的最小值为 ，可得 M1+ ，N1 ，即有 MN ，M+N2，MN1，第 12 页（共 23 页）则正确，错误故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值，考查导数的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13 5 分）展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于1

28、80【分析】如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定 n 的值，进而利用展开式，即可求得常数项【解答】解：如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大展开式中只有第六项的二项式系数最大，n10展开式的通项为令0，可得 r2展开式中的常数项等于180故答案为：180【点评】本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键14（5 分）若正数&

29、#160;a，b 满足 ab+a+b3，则 a+b 的最小值为2【分析】根据题意，由基本不等式可得 ab解可得（a+b）的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，a、b 是正数，则 ab，进而可得       +（a+b）3，又由 ab+a+b3，则+（a+b）3，变形可得：（a+b）2+4（a+b）120，解可得：a+b2 或 a+b6，第 13 页（共 23 页）又由 a

30、、b 是正数，则 a+b2，即 a+b 的最小值为 2；故答案为：2【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是构造不等式，属于基础题15（5 分）已知函数 f（x）ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是a2【分析】对 a 进行分类讨论，再由题意可知 f（ ）0，从而求出 a【解答】解：当 a0 时，函数 f（x）3x2+1 有两个零点，

31、不满足情况，当 a0 时，令 f（x）3ax26x0，解得：x0，或 x ，f（0）1，f（x）存在唯一的零点 x°，a0 时，函数的极小值 f（）0，解得：a2；但此时 x°0a0 时，函数的极大值 f（）0，解得：a2；此时 x°0故答案为：a2【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题16（5 分）已知点 M 在以 A，B 为焦点的椭圆上，点 C 为该椭圆所在平面内的

32、一点，且满足以下两个条件：；则该椭圆的离心率为【分析】根据椭圆的定义和性质，建系后得到 M 的坐标代入椭圆方程可得【解答】解：由知：C 为 AB 的中点，即椭圆的中心，以 C 为原点，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则设椭圆的标准方程为：1，根据椭圆的定义知：|+|2a，再结合可得|a，|，第 14 页（共 23 页）+ M （，±）， 将 M 的 坐 标 

33、;代 入 椭 圆 方 程 得 ：+1，结合 b2a2c2 化简得 3c22a2，所以离心率 e 故答案为：【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考（题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 一）必考题：共 60 分17（12 分）已知ABC 中，A，cosB 

34、，AC8（）求ABC 的面积；（2）求 AB 边上的中线 CD 的长【分析】法 1：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用两角和的正弦函数公式可求 sinC，由正弦定理可求 AB 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解；（2）求得，由余弦定理可求 CD 的值法 2：（1）同法 1；（2）由，可得，结合     ，可求 C 为锐角，可求 cos

35、C 的值，由的值2+        ，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求得 CD【解答】解：法 1：（1），且 B（0，），sinCsin（AB）sin（A+B）在ABC 中，由正弦定理得：，即，解得：，所以，ABC 的面积为：（）在ACD 中，第 15 页（共 23 页）所以由余弦定理得：，所以法 2：（1），且 B（0，），sinCsin（AB）sin（A+B）在ABC

36、0;中，由正弦定理得，即，解得，所以，ABC 的面积为，（2）因为，C 为锐角故（或），所以【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12 分）如图，已知四棱锥中，四边形 ABCD 为矩形，AB2，BCSCSD2，BCSD（1）求证：SC平面 SAD；（2）设，求平面 SEC 与平面 SBC 所成的二面角的正弦值第 16 页（共 23

37、60;页）（【分析】 1）推导出 BCSD，BCCD，从而 BC平面 SDC，进而 AD平面 SDC，SCAD，SCSD，由此能证明 SC平面 SAD（2）作 SOCD 于 O，以点 O 为原点，建立坐标系，利用向量法能求出平面 SEC 与平面 SBC 所成的二面角的正弦值【解答】证明：（1）BCSD，BCCD，BC平面 SDC，AD平面 SDC，SCAD，又在SDC 中，SCSD2，DCAB，S

38、C2+SD2DC2，SCSD，ADSDD，SC平面 SAD解：（2）作 SOCD 于 O，BC平面 SDC，平面 ABCD平面 SDC，SO平面 ABCD以点 O 为原点，建立坐标系如图，则 S（0，0，），C（0，0），A（2，设 E（2，y，0），0），B（2，  ，0），      ，即 E（2，    ，0），设平面 SEC

39、60;的法向量 （x，y，z），平面 SBC 的法向量 （a，b，c），则，取 z3，得 （2，3，3），取 z1，得 （0，1，1），平面 SEC 与平面 SBC 所成的二面角的正弦值为第 17 页（共 23 页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19（12 分）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关

40、者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关，假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为 ，面试两科每科优秀的概率均为（1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为 ，求  的分布列与数学期望（【分析】 1）根据相互独立事件的概率公式计算；（2） 的取值有 3，5，求出各自的概率得出分布列和数学期望【解答】解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关所以 P（2）易得  

41、;的可能取值为 3，5P（3），                       P3             5【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分别列与数学期望，属于中档题20（12 分）已知

42、抛物线 E：y28x，直线 l：ykx4（1）若直线 l 与抛物线 E 相切，求直线 l 的方程；（2）设 Q（4，0），直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），若存在点 C，满足，且线段 OC 与 AB 互相平分（O 为原点），求 x2 的取第 18 页（共 23 页）值范围（【分析】 1）

43、联立方程组，令判别式等于 0 求出 k 的值；（2）根据根与系数的关系和四边形 OACB 为平行四边形求出 C 点坐标，根据 CQAC列方程得出 x2 关于 k 的函数，根据 k 的范围得出 x2 的范围【解答】解：（1）由得 k2x28（k+1）x+160，显然 k，64（k+1）264k20，解得 k 所以，直线 l 的方程为：（2）由得 k2x28（k

44、+1）x+160，（k+1）264k20，且 k0，且 k0，因为线段 OC 与 AB 互相平分，所以四边形 OACB 为平行四边形，由得，ACQC，即 C             ，所以 kACkQC1又 kQC，所以若 k0，则k+ +22，所以+2，当且仅当 k，时取等号，0x24（若 k0，1）k+ 

45、+22  +20，故 x20，不符合题意综上，x2 的范围是（0，4（1）【点评】本题考查了抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）xlnx+ax+1a（1）求证：对任意实数 a，都有f（x）min1；第 19 页（共 23 页）（2）若 a2，是否存在整数 k，使得在 x（2，+）上，恒有 f（x）（k+1）x2k1 成立？若存在，请求出 k 的最大值；若不存在，请说明

46、理由（e2.71828）（）【分析】 1）利用导数可得f（x）minf（e（a+1 ）1ae（a+1 ，令 t（a）f（x）min，则由 t'（a）1+e（a+1）0 得t（a）maxt（1）1+111，即结论成立（2）法 1：由题设化简可得 k，令 h（x）       ，则8x09，且 lnx0，令 g（x）x42lnx设 x42lnx0 并记其零点为 x0，故h可得

47、0;（x）minh（x0）   ，即           ，可得 k 的最大值为 4法 2：由题设化简可得 x+xlnxk（x2）令 t（x）xlnx+（1k）x+2k，所以 t'（x）lnx+2k由 t'（x）lnx+2k0 得 xek2分以下情况讨论：若 ek22，若 ek22，【解答】解：（1）证明：由已知易得

48、60;f（x）a（x1）+xlnx+1，所以 f'（x）a+1+lnx）令 f'（x）a+1+lnx0 得，xe（a+1 ）显然，x（0，e（a+1 ）时，f'（x）0，函数 f（x）单调递减；x（e（a+1 ，+）时，f'（x）0，函数 f（x）单调递增）所以f（x）minf（e（a+1）1ae（a+1 令 t（a）f（x）min，则由 t'（a）1+e（a+1）0 得 a1a（，1）时，t'（a）0，函数 

49、;t（a）单调递增；a（1，+）时，t'（a）0，函数 t（a）单调递减所以t（a）maxt（1）1+111，即结论成立（2）法 1：由题设化简可得 k，令 h（x）       ，则令 g（x）x42lnx又，x2 时，g'（x）0，即 g（x）单调递增，g（8）42ln8lne4ln820，g（9）52ln9lne5ln920第 20 页（共 23 页）设 x42lnx0 并记

50、其零点为 x0，故 8x09，且 lnx0所以当 2xx0 时，g（x）0，即 h（x）0，h（x）单调递减；当 xx0 时，g（x）0 即 h（x）0，h（x）单调递增，所以 h（x）minh（x0），因此 k，由于 kZ 且 8x09，即，所以 k 的最大值为 4法 2：由题设化简可得 x+xlnxk（x2）令 t（x）xlnx+（1k）x+2k，所以 t'（x）l

51、nx+2k由 t'（x）lnx+2k0 得 xek2若 ek22，即 k2+ln2 时，在 x（2，+）上，有 t'（x）0，故函数 t（x）单调递增所以 t（x）t（2）2+2ln20若 ek22，即 k2+ln2 时，在 x（2，ek2）上，有 t'（x）0 故函数 t（x）在 x（2，ek2）上单调递减在 x（ek2，+）上，有 t'（x）0 故函数

52、 t（x）在 x（ek2，+）上单调递增所以，在 x（2，+）上，故欲使 2kek2，只需即可令 m（k）2kek2，m'（k）2ek2故由 m'（k）2ek20，k2+ln2所以，k2+ln2 时，m'（k）0，即 m（k）单调递减又 m（4）2×4e428e282.72287.400，m（5）2×5e5210e3102.731019.70故 k 的最大值为 4【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明难度中等（二）选考题：共 10 分请考生从第