第二型曲线积分ppt课件

1、东南大学数学系 HECHUANFU东南大学数学系 HECHUANFU解解： Cyxbydxaxdy 2: yxC代代入入 Cbydxaxdy21 公公式式Green. )(4)(21 Dbadxdyba)ba( 4东南大学数学系 HECHUANFUxQyxfxyyP )(222， 曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关， 取取AB：20:, 0, 0 xdyy作作为为积积分分路路径径。 20222)()(xdxxfydyxdxyxfABC. 2)(21402 duufxu令令东南大学数学系 HECHUANFU分分析析：若若化化为为定定积积分分计计算算，则则会会出出现现 112dxex的的项项，无

2、无法法 积积分分，故故应应该该用用Green公公式式。 oyx)1 , 1( A)1 , 1(B解解：添添加加辅辅助助线线段段BA：1 y，11 : x， 则则BAC 构构成成正正向向封封闭闭曲曲线线。 xyePy12 ，yxeQycos ， xeyPy12 ，yexQ ， .12xyPxQ BABACyydyyxedxxyeI)cos()12(.2110)12(1211eexdxxexdxdyD 东南大学数学系 HECHUANFU解解：时时当当)0 , 0(),( yx， oyx0) ,( aA 0) ,(aBCoC1上上半半椭椭圆圆)0( 12222 ybyax到到达达点点)0 ,(aB的

3、的弧弧段段，且且ab 0。 添添加加辅辅助助线线, 0 , :2221 yayxC方方向向是是从从点点)0 ,(aB 到到点点)0 ,( aA ，则则 东南大学数学系 HECHUANFU 11,2222CCCCdyyxyxdxyxyxI, 0)(12222 xyDCCdxdyyPxQdyyxyxdxyxyx1C的的参参数数方方程程为为taxcos ，taysin ， 0: t， dyyxyxdxyxyxC22221 02)cos)(sincos()sin)(sincos(1dttatatatatataa.0 dt 故故 0I。 东南大学数学系 HECHUANFUxyO)0 , 1(A)0 ,

4、1( B)2, 1( E解解：224yxyP ，224yxxdyQ ， C xQyxxyyP 22222)4(4， 0 yPxQ，)0 , 0(),( yx。 东南大学数学系 HECHUANFU添添加加线线段段EA：1 x，y：02 ，则则EAC 为为正正向向封封闭闭 曲曲线线。在在EAC 内内作作正正向向椭椭圆圆 C：2224 yx，则则在在由由 EAC 与与 C所所围围成成的的复复连连通通区区域域 D 内内，由由Green公公式式得得： 0)(422 dxdyyPxQyxxdyydxDCEAC CEAC, EACC dyyxdyydxyxxdyydxCEACC 0222224114 .87

5、842122202arctan21222 ydxdyD东南大学数学系 HECHUANFU解解：2xyP ，)(xyQ ， 曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，)(2xyxQxyyP ， xx2)( ，Cxx 2)(， 代代入入0)0( ，得得0 C，2)(xx 。 取取xy ，10: x作作为为积积分分路路径径，则则 .212)(1032)1 , 1()0 , 0(2)1 , 1()0 , 0(2 dxxdyyxdxxydyxydxxy东南大学数学系 HECHUANFU注： 由由 于于 本本 题题 并并 未未 要要 求求)( x ， 故故 可可 沿沿 先先 铅铅 直直 后后 水水 平平 的的

6、 折折 线线 计计 算算 ： ),(21 2222yxddyyxdxxyQdyPdxdu 或或.21)0 , 0()1 , 1()(21222)1 , 1()0 , 0(2 yxdyyxdxxy.211)0()(10102)1 , 1()0 , 0(2 dxxdyydyxydxxyyox) 1 , 0() 1 , 1 (东南大学数学系 HECHUANFU证证明明： （1）)(1 12xyfyyP ， ,)(1)(222yxxyxfxyfyyxQ xQxyfxyxyfyyP )()(12， 东南大学数学系 HECHUANFU曲曲线线积积分分 I 与与路路径径无无关关。 解解： （2）I 与与路路

7、径径无无关关， 可可取取从从点点),(ba到到点点),(ca再再到到点点),( dc的的路路径径， dyyccycfdxbxfbbIdcca)()(1 122 dyyccydcyfbxdbxfdxbdcdccaca 2)()()()(1bcdcuduftdtfbabccdbcbcab )()()()(. )()(badccdabtdtfbadccdab 东南大学数学系 HECHUANFU另另解解：xQyP ，),(yxu ， dyxyfyyxdxxyfyydu 1)()(1 1 222 使使得得dyyxdyxyxfdxxyyfdxy2)()(1 )()()()(xyFyxdxydxyfyxd

8、). )()( (的一个原函数的一个原函数是是ufuF),(),(xyFyxyxu ),(),(2221)()(11dcbadyxyfyyxdxxyfyyI ),(),()(badcxyFyx .)()(badcabFbacdFdc 东南大学数学系 HECHUANFUOyx1C2C3C解解： （1）在在不不包包含含原原点点的的单单连连通通区区域域内内， 任任取取两两条条具具有有相相同同起起点点与与终终点点的的曲曲线线 21CC 和和，再再补补上上一一条条光光滑滑曲曲线线3C，使使 东南大学数学系 HECHUANFU31CC 和和32CC 成成为为围围绕绕原原点点的的正正向向闭闭曲曲线线，由由题

9、题意意知知 3231)(2)(222CCCCxyydxxdyxyydxxdy 1)(22Cxyydxxdy 2)(22Cxyydxxdy即即在在任任一一不不包包含含原原点点的的单单连连通通区区域域内内，曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关。 （2）)(22xyyP ，)(22xyxQ ， ,)(2)(2222xyxyyP ,)(2)()(2222xyxxxyxQ 东南大学数学系 HECHUANFU由由（1）知知，当当)0 , 0(),( yx时时， xQyP)()(2)(222xxxyxy ,)(0)(2)(2Cxxxxx 由由1)1( 得得1 C，即即2)(xx 。 取取 C 为为正正向向椭

10、椭圆圆1222 yx，则则 CDCdxdyydxxdyyxydxxdyA2222.22112 东南大学数学系 HECHUANFU解解： （1）由由xQyPdyxxfydxxC 0)(43。 yxP34 ，)(xxfQ ，34xyP ，)()(xfxxfxQ ， 从从而而24)(1)(xxfxxf ， 东南大学数学系 HECHUANFU4)(121Cdxexexfdxxdxx .4133xxCCdxxx 由由2)1( f，得得1 C，故故31)(xxxf 。 （2） )(3)(4ABCdyxxfydxx )(43)1(4ABCdyxydxx.246)811(30 dy东南大学数学系 HECHUANFUoxy)2 , 0(B)0 ,( A解解: ,2222yxyxQyxyxP .)(222222yxxyxyyPxQ 故故在在不不含含原原点点的的任任一一单单连连通通区区域域内