杭电概率论08期中卷与解析

1、1 杭州电子科技大学学生考试卷( 期中)卷与解析 考试课程 概率论与数理统计 考试日期 2008 年 11月 日 成绩 课程号 A0702140 教师号 任课教师姓名 考生姓名 参考答案 学号(8位) 年 级 专业 、选择题(每小题 3分，共12分) 1 .设 A ,B是两个互不相容的事件， P (B)0，则下列各式中一定成立的是( C ) A. P(AB)=1 B. P(A)=1P(B) C. P(A B) =0 D. P(不=0 解析：知识点：1)若 A , B是两个互不相容的事件，贝 U AB =巾，可推 P(AB ) = 0 2)本题还用到 条件概率公式 P(A B) = P(AB)

2、P(B) 设随机事件 A , B满足P(B)=P(BA),则下列结论中正确的是 2. A. P(A B) = P(A)P(B) B. P( A u B) = P(A) + P(B) C. A , B互不相容 D . P(A) = P(B A) 2 3. 解析：由P(B)=P(BA)得 A , B相互独立，则 A , B也相互独立。 而若 A , B是相互独立，贝 U P (AB ) = P (A) P(B) 2 (x -3) 1 随机变重 X 的概率笞度为 f(x)= e 4 ,xW (q，七 C)，则 Y = ( B ) N (0,1) X 3 A. - 2 X 3 2 X 3 C. - 2

3、 解析：正态分布的概率密度函数与参数 卜和d2的关系；及与标准正态分布的关系(转 八、 X 二 化)Y = - N (0,1) 3 4.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX (x)与FY ( y),则随机变量 = max( X ,Y)的分布函数FZ等于 1 B. FX (z) +FY(Z) 2 解析：1)二维随机变量函数的分布 FZ (z) = PZ苴z = PG(X ,Y)壬z; 2) 若为二维离散型 随机变量，则 Z PX = xi ,Y = yj； G( x, y 3) 若为二维连续型随机变量，则 Fz(z) =PZ 北 =PG(X,Y)三 z 二、填空题(每小题 4

4、分，共20分) 4 C. 解析：古典概率 p =工 2.将两信息分别编码为 B被误作 A 的概率为 0.03 , 信息是 A，贝 U 原发信息是 A 信息 A 与信息 B传递的频繁程度为 的概率为 64/65 . (注：还要掌握全概率公式) 3 .某人投篮，投中的概率为 0.6 ,解析：知识点二项公式的应用: 2_2, _ 一 p = C3 0.6 (1 0.6) = 0.432 1 一 ，一 -,则三人中至少有 4 1 1 1 P =1 _(1 )(1 )(1 一) 5 3 4 (以小时记)具有以下的概率密度 大于2500小时的概率为 2/5 . 解析：知识点：一维连续型随机变量的概率密度的

5、性质得： p=PX 2500 = ；、0 炒 =oo 1000- -2500 - 2500 Y 1 .从5双不同的鞋子中任取 4只，这4只鞋子中没有2只配成一双的概率是 21 解析：知识点贝叶斯公式的应用 2 (1 .0.4) P= 3 2 1 一(1 0.04)0.03 3 3 64 65 一人能将此密码译出的概率是 3/5 A. max( FX (z), FY (z) C. FX (Z) FY (Z) D. Fx(z) +FY(Z) FX (z)，FY(Z) FZ (z) = PZ % z =PG(X ,Y) % z f (x, y)dxdy 。 G ( x , y) 4 2 C 4 C2

6、1 A 和 B传递出去，接收站收到时， A 被误作 B的概率为 0.04 ,而 2:1,若接收站收到的 现投了 3次，则此人投中2次的概率为 0.432 4.三人独立地去破译一份密码, 已知各人能译出的概率分别为 f (x)= 1000 松 2 2500 = x 5 4 X (注：作业做过的题型) 三、(本题 8 分)设事件 A , B ,满足 P(A)=0.6,P(B)=0.4 , P(AB)=0.5 ,求 P(B A = B). 解：由条件概率：P (B AB) = P(Bc(AyB) , 2分 又由加法公式:P(AuB) = P(A) + P(B) P(AB) 由题意 P(A B) =0

7、.6 - (1 0.4) 一 0.5 =0.7 而 P(B - (A B) = P(AB ) P(AB) =P(A) P(AB) =0.6 0.5 =0.1 (“减法公式”) 曲、1 一 P(BC(A = B) 0.1 1 所以：P(BAUB)= - = = P (A u B) 0.7 7 四.(本题10分)设随机变量 X 的分布律为： X -1 0 1 P 0.2 0.3 0.5 求(1) X 的分布函数 F (x) ; (2)Y=X2的分布律；(3)概率 PX 1 0 ,x -1 0.2 , 1 苴 x 0 解：(1) X 的分布函数 F (x)= 0.5 , 0 M x 1 、 1 ,

8、x 芝1 (2) Y 的分布律为 Y 0 1 P 0.3 0.7 , 4 分 (3)概率 P X 1 = 0.5 , 2分 解析：知识点 已知一维离散型随机变量的题型。5 1）此题已知分布律，求分布函数、函数的分布律、概率等; 2）反过来，若已知分布函数，如何求分布律、 率）等 3） 一般：一维离散型随机变量分布律的求法 函数的分布律、概率（包括条件概 （1） X的取值；（2）取对应值的概率 kx, 0 壬 x : 1 五.（本题12分）设连续型随机变量 X 的密度函数为f（x）=2x, 1x2, 0,其它 1 (1) 确定常数 k ; (2)求 X 的分布函数 F (x) ; (3)求 P

9、X 2. 2 解：(1)因为址f (x)dx =1 2分 1 2 所以 J。kxdx + 匚(2 x)dx = 1 得 k = 1 . 2 分 X的分布函数 F (x) = f (t) dt .2分 0 ,x 0 x f tdt , 0 x 1 =1 、o x xdx + j(2-t)dt ,1x2 1 , x 芝 2 .2分 0 ,x 0 2 x ，0 x 1 K 22 x 2x -1 ,1 5 2 2 1 ,x _ 2 1 1 1 7 (3) P ：: X _2 =F (2) - F ()=1 一一 = 一 2 2 8 8 解析：知识点已知一维连续型随机变量的题型。 .2分 1） 此题已知

10、概率密度（有未知常数），求分布函数、概率等; 2） 反过来，若已知分布函数，如何求概率密度等； 六.（本题12分）设随机变量（X,Y ）的概率分布律为: 没 0 1 2 -1 0.3 0.1 0.2 1 0.1 0.3 0 求：（1）关于 X , Y 的边缘分布律； （2）关于 Z =XY 的分布律; （3）条件概率PX芝1Y =1. 6 解：（1）关于 X 的边缘分布律为 X 0 1 2 P 0.4 0.4 0.2 . 2分 关于 Y 的边缘分布律为 Y -1 1 P 0.6 0.4 . 2分 因(X ,Y )的取值为(0, 1), (0,1), (1, -1), (1,1), (2, 1)

11、, (2,1) 故 Z = X Y 的取值为：0 0-1 1 -2 2 所以 Z = X Y 的分布律为 Z = X Y -2 -1 0 1 P 0.2 0.1 0.4 0.3 _ , , _ P X N1 Y = 1 , (3)条件概率 PX 芝1Y =1 = . . . . .2 分 P X =1,Y =1 P X = 2,Y =1 0.4 4 （知识点：1）二维离散型随机变量（X ,Y）的边缘分布律、条件概率（条件分布律） 2）二维离散型随机变量（X ,Y）的函数的分布律：取值，概率） 加其他题型（知识点）：1）求二维离散型随机变量（X ,Y）的分布律; 2） 某点处的分布函数的值，如

12、F（1,2）=?； 3） 落在某区域内的概率如 P X +Y 1； 4） 二维离散型随机变量 X 与 Y 的独立性的 条件. J 2 一 ， , _ ，一一， Cxy,0yx1 七.（本题16分）设二维随机变重（X ,Y ）的概率笞度为f（x, y）=* 、 0 ,其它 （1） 求常数 C ； （2） 求关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度； 并问 X 与 Y 是否相互独立？ （3） 求概率 P X +Y 1. 0.3 3 7 解：（1）二| dx J f（x, y）dy =1 .2 分 |*0 *08 即 f dx Cx 2 ydy =1，得 C = 10 0 - 0 (2)关于 X 的边缘

13、概率密度 fx (x) = f(x,y)dy 七 8 QQ fY(y) = f(X,y)dx 显然当 0 y x 0 、一 八.（本题5分）设随机变量 X 具有概率密度fX （x）= 其他 ，求随机变量Y = X 的 概率密度。 解：因 y=x2在 x0 上单调增加，且x = Jj .2分 .1分 r x f 10 x?ydy , 0 x 1 =j J i 0,其它 关于 Y 的边缘概率密度 5x4, 0 x 1 0,其它 .2分 .1分 1 2 10 x ydx , 0 ： y : 1 -y 10 y(1 3 3、 一 y ） , 0 ： 0,其它 P( X Y : 1) = Il f (x

14、, y)dxdy x：fy ：1 1 - 1 -y = .02dy.y 2 10 x ydx .2分 1 x (或=2 dx 10 x? ydy 1 dx 10 x2 ydy = 0 96 .2分 9 故丫的概率密度 fY(y) = * f x (. y)(., y), y o o，其他 -y e ,y o 2, y o ,其他 (知识点：一维连续型随机变量 X 的函数丫 =g(X)的分布)，一般求法: 1)求一维连续型随机变量的函数的分布函数 FY(y) = P丫土 y =Pg(X) y= ggfx(X)dX 2)对分布函数求导，得概率密度。 说明：若函数 y =g(x)是单调函数，可直接用

15、书上公式)；若不是单调函数，则用一般方法 求如书上59页37题 y = sin x在(0,兀)上不单调。 九.(本题5分)设随机变量 (X ,Y)在矩形G =(x,y)0 x2,0 y 1上服从均匀分 1 _ 布，试证：随机变量 Z = X 丫的概率密度为 fz(z) = f；(ln 2 ln z) , 0 z 2 1 证：由题意：(X,Y)的概率密度为 f(x, y)=2 i 0 : x : 2,0 ：: y : 1 0 ,其它 设 Z的分布函数为Fz(z)，则Fz(z)=PXY z ： II f (x, y)dxdy xy :Z 易知：当 z 0 时 Fz (z) =0 ；当 z 芝 2 时 Fz (z) =1 ; 当 0 z 2 时, Fz (z) = P XY z = 1 P XY z 2 =1 一 dx -z 1 1 z dy 二 2 1 =(1 Tn 2 - In z) z 2 1 求导：得 z 的概率密度为 fz (z) = J；(ln 2 in ：)