线性代数1习题

1、第一章 习题课把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn 全排列逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别

2、计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数计算排列逆序数的方法定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列

3、的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 n阶行列式的定义., 2 , 1;, 2 , 12121列列取取和和的的所所有有排排表表示示对对个个排排列列的的逆逆序序数数为为这这的的一一个个排排列列为为自自然然数数其其中中ntnppppppnn 定义定义1.,)1(21212121的逆序数的逆序数为行标排列为行标排列其中其中亦可定义为亦可定义为阶行列式阶行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn 定义定义2定义定义31 1221212,1122,.( 1)nnnntp qp qp

4、qp ppq qqnnnDDtp ppqqa aa当然 阶行列式 亦可定义为其中 为行标排列和的逆序数和列标q. ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘乘此此行行列列式式等等于于用用数数一一数数中中所所有有的的元元素素都都乘乘以以同同列列行行列列式式的的某某一一行行等等于于零零则则此此行行列列式式完完全全相相同同列列如如果果行行列列式式有有两两行行行行列列式式变变号号列列互互换换行行列列式式的的两两行行即即式式相相等等行行列列式式与与它它的的转转置置行行列列kk n阶行列式的性质., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不变行列式的值不变对应

5、的元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式.,)1(1 的的代代数数余余子子式式叫叫做做元元素素；记记的的余余子子式式，记记作作阶阶行行列列式

6、式叫叫做做元元素素列列划划去去后后，留留下下来来的的行行和和第第所所在在的的第第阶阶行行列列式式中中，把把元元素素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 行列式按行（列）展开）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 克拉默法则., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所所得得到到的的行行列列式式，换换成成常常数数项项列列中中第第）是是把把系系数数行行列列式式（

7、其其中中那那么么它它有有唯唯一一解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值., 0., 22112222212111212111唯唯一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必为为零零解解，则则它它的的系系数数行行列列式式解解或或有有两两个个不不同同的的如如果果上上述述线线性性方方程程组组无无定理定理定理定理对于非齐次来

8、说：对于非齐次来说：., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它它的的系系数数行行列列式式必必为为零零组组有有非非零零解解，则则如如果果上上述述齐齐次次线线性性方方程程定理定理定理定理对于齐次来说：对于齐次来说：一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则典型例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排

9、列中每个元素的逆序数和，即算出排列中每个元素的逆序数 .,并讨论奇偶性并讨论奇偶性的逆序数的逆序数求排列求排列kkkkkk 解解例例一、计算排列的逆序数;0,2故故逆逆序序数数为为排排在在首首位位k; 1),2(11故故逆逆序序数数为为大大的的数数有有一一个个的的前前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序数为逆序数为故故大的数有一个大的数有一个的前面比的前面比kkk ; 2),12 ,2(22 数数为为故故逆逆序序大大的的数数有有两两个个的的前前面面比比 kk; 2),12 ,2(2222 故逆序数为故逆序数为大的数有两个大的数有两个的前面比的前面比 kkkk

10、 ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比;),1, 12 ,2( kkkkkkk故故逆逆序序数数为为个个大大的的数数有有的的前前面面比比 kkkt 1122110 kkk 211122k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列k于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为用定义计算（证明）用定义计算（证明）例例用行列式定义计算用行列式定义计算00000000053

11、5243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 二、计算（证明）行列式的的非非零零元元素素分分别别得得到到行行可可能能中中第第那那么么，由由行行的的元元素素分分别别为为中中第第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能组组成成，一一个个在在上上述述可可能能取取的

12、的代代码码中中因因为为利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例3计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，递升至递升至而是由而是由变到变到序排列，但不是从序排列，但不是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是

13、一个中各行元素分别是一个10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例4计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得将将第第1,3,2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDni

14、inniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三

15、角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的，得得提提取取公公因因子子行行中中行行，并并从从第第行行都都加加到到第第、的的第第将将dcbaD 114324用降阶法计算用降阶

16、法计算例例5计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列列，得得列列都都减减去去第第、再再将将第第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展开，得行展开，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再从从第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列列，得得列列减减去去第第再再将将第第12行行展展开开，得得按按第第1)()( )(22cbdadc

17、badcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶

18、数不高的数字行列式比较适用用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算例例6证明证明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 证证. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左边左边用递推法计算用递推法计算例例7计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 从从而而得得列列展展开开第第右右端端

19、的的第第二二个个行行列列式式按按列列加加到到第第倍倍分分别别列列的的将将第第右右端端的的第第一一个个行行列列式式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于于是是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时时

20、，还还可可改改写写成成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 评注评注.1 1 .1,1 1的的递递推推关关系系列列式式更更低低阶阶行行列列式式之之间间阶阶行行，建建立立比比阶阶更更低低阶阶的的行行列列式式表表示示比比用用同同样样形形式式的的阶阶行行列列式式时时，还还可可以以把把给给定定的的有有之之间间的的递递推推关关系系阶阶行行列列式式与与建建立立了了阶阶行行列列式式表表示示出出来来用用同同样样形形式式的的行行列列式式阶阶质质把把所所给给的的本本题题是是利利用用行行列列式式的的性性 nnDnDnDnDnnnnn用数学归纳法用数学归纳法例例8证明证明.coscos21

21、000100000cos210001cos210001cos nDn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结结

22、论论成成立立所所以以对对一一切切自自然然数数n评注评注.,)1(1,)(, 21同同型型的的行行列列式式是是与与不不否否则则所所得得的的低低阶阶行行列列式式展展开开列列或或第第行行按按第第不不能能展展开开列列或或第第行行本本例例必必须须按按第第表表示示展展开开成成能能用用其其同同型型的的为为了了将将DnnDDDnnnn .,.,其其猜猜想想结结果果成成立立然然后后用用数数学学归归纳纳法法证证明明也也可可先先猜猜想想其其结结果果如如果果未未告告诉诉结结果果纳纳法法来来证证明明可可考考虑虑用用数数学学归归结结论论时时证证明明是是与与自自然然数数有有关关的的而而要要我我们们当当行行列列式式已已告告诉

23、诉其其结结果果一一般般来来讲讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计

24、算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解三、克拉默法则 ( ), (1)0,(2)3,( 3)28.f xfff求一个二次多项式使例例9 9解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为,)(2cbxxaxf 由题意得由题意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的的线线性性方方程程组组数数这这是是一一个个关关于于三三个个未未知知cba.20,60,40, 020321 DDDD由克莱姆法则，得由克莱姆

25、法则，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多项式为于是，所求的多项式为. 132)(2 xxxf例例10有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解题题意意得得方方程程组组依依千

26、千克克、各各需需设设甲甲、乙乙、丙丙三三种种化化肥肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx组组有有唯唯一一解解由由克克莱莱姆姆法法则则，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三种种化化肥肥).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210准准确确到到小小数数两两位位时时水水银银密密度度求求由由实实验验测测得得以以下下数数据

27、据的的关关系系为为与与温温度度设设水水银银密密度度 thttatataathth例例1111)1(.52.132700090030,5557 6 .13),(3210321032100 aaaaaaaaaaaaath得得方方程程组组将将测测得得的的数数据据分分别别代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程组组分分别别代代入入其其余余三三个个方方程程将将,12000 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式.0000033.

28、 0,00015. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程组组由由克克莱莱姆姆法法则则,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得将将以以上上四四个个数数代代入入又又),(,60.130tha 由此得由此得.0000033. 000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水水银银密密度度分分别别为为时时当当所所以以 t.46.13)40(,56.13)15( hh第一章 测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列列式式则则行行的的三三个个根根是是方方程程设设行行列列式式 . 3 1000000001