专题3.2利用导数研究函数的单调性-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

1、第三篇 导数及其应用专题 3.02 利用导数研究函数的单调性【考试要求】1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式 函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值；体会导数与单调性、极值、最大(小 )值的关系 .【知识梳理】1. 函数的单调性与导数的关系函数 y f(x)在某个区间内可导，则：(1) 若 fx()>0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2) 若 fx()&l

2、t;0，则 f(x)在这个区间内单调递减；(3) 若 fx()0，则 f(x)在这个区间内是常数函数 .2. 函数的极值与导数条件fx(0) 0x0 附近的左侧 fx()>0，右侧 fx()<0x0 附近的左侧 fx()<0 ，右侧 f x()>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0 为极大值点x0 为极小值点3. 函数的最值与导数(1) 函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间 a，b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2) 求 yf(x)在 a， b上的最大 (小)值的步骤求函数 yf(

3、x)在 (a， b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 值.【微点提示】1. 函数 f( x)在区间 (a，b)上递增，则 fx() 0， “fx()>0在(a， b)上成立 ”是“f( x)在(a，b)上单调递增 ”的充分不必 要条件 .2. 对于可导函数 f(x)，“f(x0)0”是“函数 f(x)在 xx0 处有极值 ”的必要不充分条件 .3. 求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是 最值 .4. 函数最值是 “整体 ”概念，而函数极值是 “局部

4、”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【疑误辨析】1. 判断下列结论正误 (在括号内打 “或”“×”)(1) 若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 fx()>0.()(2) 如果函数 f(x)在某个区间内恒有 fx()0，则 f(x)在此区间内没有单调性 .( )(3) 函数的极大值一定大于其极小值 .( )(4) 对可导函数 f(x)，fx(0)0 是 x0 为极值点的充要条件 .( )(5) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )教材衍化】2. (选修 2 2P32A4 改编 )如图是 f(x)的导函数 fx()的图象，则 f

5、(x)的极小值点的个数为 (A. 1 B.2 C.3 D.43. (选修 2 2P32A5(4)改编)函数 f(x)2xxln x的极值是 ( )1 2 2A. B. C.eD.e2ee真题体验】4. (2019 青·岛月考 )函数 f(x)cos xx 在(0，上)的单调性是 ( )A. 先增后减B.先减后增C.单调递增D. 单调递减5. (2017 浙·江卷 )函数 y f(x)的导函数 y fx()的图象如图所示，则函数 y f( x)的图象可能是 ( )6. (2019 豫·南九校考评 )若函数 f (x) x(x c)2在 x2处有极小值，则常数 c的值

6、为 ( ) A.4B.2 或 6C.2D.6【考点聚焦】考点一 求函数的单调区间【例 1】 已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x 34处取得极值 .3(1)确定 a 的值；(2) 若 g( x) f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间 .规律方法】1.求函数单调区间的步骤：(4) 在定义域内解(1) 确定函数 f(x)的定义域； (2)求 fx()；(3)在定义域内解不等式 fx()>0，得单调递增区间； 不等式 fx()<0 ，得单调递减区间 .2. 若所求函数的单调区间不止一个时，用 “，”与“和”连接 .【训练 1】 (1)已知函数 f(x)xln x，则 f(x)

7、( )A. 在(0， )上递增B.在(0， )上递减11C.在 0， 上递增D. 在 0， 上递减ee(2)已知定义在区间 ( ， 上)的函数 f( x) xsin xcos x，则 f(x)的单调递增区间为 【例 2】 (2017·全国卷改编 )已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a 0.(1) 讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x) 0，求 a 的取值范围 .规律方法】 1.(1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0 的点和函数的间断点 .2. 个别导数为 0 的点

8、不影响所在区间的单调性，如f(x) x3， fx() 3x2 0f(x() 0 在 x0 时取到 )，f(x)在 R上是增函数 .训练 2】 已知 f(x)x2 aln x，aR，求 f(x)的单调区间考点三 函数单调性的简单应用角度 1 比较大小或解不等式【例 3 1】 (1)已知函数 y f(x)对于任意的 x 0，2 满足 fx()cos x f(x)sin x1ln x，其中 f x()是函数 f(x) 的导函数，则下列不等式成立的是 ( ) A. 2f 3 <f 4 B. 2f 3 >f 4A.（ ， 1）C.（1 ， e）f ( x)(2) 已知函数 fx()是函数 f

9、(x)的导函数， f(1)eF(x)<e12的解集为 ()eB. （1 ， ）D.（e， ），对任意实数都有 f(x) fx()>0 ，设 F(x) (ex)，则不等式 ee角度 2 根据函数单调性求参数1 【例 32】 (2019·日照质检 )已知函数 f(x) ln x， g(x) 2ax2 2x.(1)若函数 h(x) f (x) g(x)存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 h(x) f (x) g(x)在1 ， 4上单调递减，求实数 a 的取值范围【规律方法】 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先

10、利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小 .2.根据函数单调性求参数的一般思路(1) 利用集合间的包含关系处理： yf(x)在(a，b)上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集 .(2) f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x (a， b)都有 fx() 0且在 (a，b)内的任一非空子区间上， f x()不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 .(3) 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 .【训练 3】 (1)已知 f(x)是定义在区间 (0， )内的函数，其导函数为 fx()，且不等式 xfx()<2f(x)恒成立，则 ()A.4f(1)&l

11、t;f(2)B.4f(1)> f(2)C.f(1)<4f(2)D. f(1)>4 f (2)(2)(2019 淄·博模拟 )若函数 f(x)kxln x在区间 (2， )上单调递增，则 k的取值范围是 ( ) 1A.( ， 2 B. 2，C.2 ， )D. ，【反思与感悟】1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求fx()>0， fx()<0 的解区间，并注意函数 f(x)的定义域 .2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性 .3. 已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思 路

12、解决 .【易错防范】1.求单调区间应遵循定义域优先的原则 .2.注意两种表述 “函数 f(x)在(a，b)上为减函数 ”与“函数 f(x)的减区间为 (a，b) ”的区别 .3. 在某区间内 fx()>0(fx()<0) 是函数 f(x)在此区间上为增 (减)函数的充分不必要条件 .4. 可导函数 f(x)在(a，b)上是增 (减)函数的充要条件是：对 ?x(a，b)，都有 fx() 0f( x() 0，)且 fx()在(a， b) 的任何子区间内都不恒为零 .【分层训练】【基础巩固题组】 (建议用时： 40分钟 )一、选择题1.函数 y f(x)的图象如图所示，则 y fx()的

13、图象可能是 ( )2.函数 f（x） x·ex ex 1 的单调递增区间是 （ ）A.（ ，e）B.（1，e）C. （e， ）D.（e1， ）k 的取值范围是3.（2019 青·岛二中调研 ）若函数 f（x）x312x 在区间 （k1， k 1）上不是单调函数，则实数 （）A.k3或1k1或 k3B. 不存在这样的实数 kC. 2<k<2D. 3<k< 1 或 1<k<3ln x4. 已知 f(x) x ，则 ( )B.f(3)>f(e)>f(2)D.f(e)>f(3)>f(2)A. f(2)> f(e)&g

14、t;f(3)C.f(3)>f(2)>f(e)5. (2019 济·宁一中模拟 )函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 x R， fx()>2，则 f(x)>2x4 的解集为 （）A.（ 1，1）B.（1， ）C.（， 1）D.（ ， ）二、填空题6. 已知函数 f(x)(x12 8. 若函数 f(x) 1x31x22ax 在 23， 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是 2x)ex(xR，e 为自然对数的底数 )，则函数 f(x)的单调递增区间为 7. 若函数 f(x)ax233x2x 恰好有三个单调区间，则实数 a 的取值范围是 三、解答题x

15、 a 3 19. 已知函数 f(x)4 xln x2，其中 a R ，且曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y2x(1)求 a 的值；(2) 求函数 f(x)的单调区间 .1e10. (2019 成·都七中检测 )设函数 f(x) ax2aln x，g(x)xex，其中 aR ， e 2.718 为自然对数的底数(1) 讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x>1 时， g(x)>0.能力提升题组】 (建议用时： 20分钟 )11.(2017 山·东卷 )若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有 M 性质 . 下列函数中具有 M 性质的是 ()xA.f(x)2 xB.f(x)x2C.f(x)3xD.f(x)cos x112. (2019 上·海静安区调研 )已知函数 f( x) xsin x cos xx2，则不等式 f(ln x)f ln x <2f(1)的解集为 ( )B.（0，e）D. 1e，A.（e ， ）1C. 0，1e （1， e）113. 若函数 f (x) x 3sin 2 xasin x在(， )单调递增，则 a的取值范围是