计算机控制技术第7章

1、第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法最小拍有波纹控制系统的设计最小拍有波纹控制系统的设计Z变换变换 最小拍无波纹控制系统的设计最小拍无波纹控制系统的设计 控制算法在计算机上的实现控制算法在计算机上的实现1/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法2/577.1 Z变换变换 线性系统的动态特性可用常系数线性微分方程来描述，并且可以用拉氏变换来分析它的暂态特性和稳态控制精度。计算机控制系统属于离散系统，输入与输出之间的关系可用差分方程来描述，用Z变换解差分方程，用脉冲传递函数对离散系统的暂态

2、和稳态进行分析。Z变换是研究离散系统的重要数学工具。7.1.1 采样函数的拉氏变换0)()()(kkTtkTftf000*)()()()()()()(kkTskkekTfkTtLkTfkTtkTfLtfLsf（7-1）（7-2）第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法3/577.1.2 采样函数的Z变换 式(7-2)中，s在指数里，给运算带来许多困难。为此引进新的复变量z，令 z=eTs于是，式(7-2)变为0)()(kkzkTfzFF(z)称为采样函数 的Z变换，记作：)()(tfZzF 一般，采样函数的变量直接采用k表示，即 ，记作 ，所以 00*)()()(kkk

3、kkzfzkftfZzF（7-3）（7-4）注意以下几点：第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法4/57（1） 只有采样函数 f*(t)才能定义Z变换。（2） Z变换和离散序列之间有着非常明确的“幅值”和“定时”对应关系。（3） Z变换由采样函数决定的，它反映不了非采样时刻的信息。 在图7-1中 ， f(t)与g(t) 是两个不同的连续函数，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(z) 等于G(z) 。 TT2T3)(tft)(tg)(tf)(tg0图7-1 采样值相同的两个不同的连续函数第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法5/57

4、解 令 f(t)=l(t)，则kzzzzFkTtTtTtttf21*1)()()2()()()(当|z|1 时，上式所示的无穷级数收敛111)(11zzztZ（7-8） 由于Z变换仅是描述采样时刻的特性，所以Z的反变换只能求出采样函数脉冲序列的表达式，而不能求出它的连续函数的时间表达式。与连续函数的拉氏反变换表示法类似，Z反变换用如下符号表示)()(*1tfzFZ例7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法6/5711)( tf)( sF)(zF)( t)(1ts11zzt21s2)1(zTz221t31s32)1(2)1(zzzT

5、TtaaTsln)1 (1azzateas 1aTezzatte2)(1as 2)(aTaTezTzeate1)(1ass)(1()1 (aTaTezzzebtatee)(bsasab)()(bTaTbTaTezezeeztsin22s1cos2sin2TzzTztcos22ss1cos2)cos(2TzzTzz表7-1 常用函数Z变换表第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法7/577.1.3 Z变换的性质1线性定理线性定理 对于任何常数 和 ，若 ，有等式1a2a)()(),()(2211zFtfZzFtfZ)()()()(22112211zFazFatfatfaZ

6、（7-9） 2. 延迟定理延迟定理 )()(zFtfZ)()(zFznTtfZn若则 即离散信号在时域内延迟T，则其Z变换应乘以z-1，所以z-1可看作是滞后一个采样周期的算子。3. 超前定理超前定理若)()(zFtfZ则)()()(10jTfzzFznTtfZnjjnn（7-11）（7-10）)()(),()(2211zFtfZzFtfZ第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法8/57特殊地，如果初始值为零，即)()(0) 1()2() 1 ()0(zFznTtfZnffffn（7-12） 由此，可以进一步明确算子 的物理意义：在满足初始条件为零的前提下， 代表超前一

7、个采样周期。4. 复位移定理复位移定理)()(zeFtfeZaTat（7-13）5. 复微分定理复微分定理)()(zFdzdTzttfZ（7-14）6. 初值定理初值定理若则)()(zFtfZ)(lim) 0 (zFfz （7-15）第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法9/577. 终值定理终值定理若则)()(zFtfZ)() 1(lim)(lim1zFztfzt（7-16） 序序 号号 名名 称称性性 质质1线性定理2延迟定理3超前定理4复位移定理5复微分定理6初值定理7终值定理终值定理)()()()(22112211zFazFatfatfaZ)()(zFznTt

8、fZn10)()()(njjnnjTfZzFznTtfZ)()(zeFtfeZatat)()(zFdzdTzttfZ)(lim)0(zFfz)()1 (lim)() 1(lim)(lim111zFzzFztfzzt表7-2 Z变换重要性质第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法10/577.1.4 用Z变换解线性常系数差分方程1. 差分方程差分方程 在连续控制系统中遇到的都是连续信号，描述它们的内在规律采用微分方程。设系统原为一阶环节，其微分方程形式的数学模型为)()()(0tKrtcdttdcT传递函数为1)(0sTKs（7-17）如图7-2（a）所示。)(s)(tr

9、)(tc)(s)(kr)(kc（a）（b）图7-2 连续系统和离散系统第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 代入式(7-17)，即得)()()() 1(0kKrkckckcTT)()()1 () 1(00krTTKkcTTkc或（7-18）即 Tkckcdttdc)() 1()(即为所求的离散系统的差分方程。2. 用用Z变换法解线性常系数差分方程变换法解线性常系数差分方程)(kkckcc例 7-5 用Z变换解下列差分方程0)(2) 1(3) 2(kckckc 解的过程是先将差分方程经Z变换后成为Z的代数方程，然后 求出未知序列的Z表达式C(z) ,最后查Z变换表或用

10、其它方法求得11/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法初始条件为：1)1(,0)0(cc解 对上式进行Z变换得0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zczCzzCzCCzzCz代入初始条件，并解得21)2)(1(23)(2zzzzzzzzzzzC查表得),2, 1,0()2()1()(kkckk7.1.5 Z反变换 1长除法长除法 在“t”域中的采样函数f*(t)和“Z”域中的Z变换F(z)之间，有着明确的一一对应关系。因此，只要将 F(z)的解析式展开成关于12/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法z-1的幂级数，则F(

11、z)中相应于z-k的系数，就是f*(t)在第k个采样时刻的值f(k) 。例7-6 设 ,求f*(t)15 . 011)(zzF解13/574433322211132110625. 00625. 0125. 0125. 0125. 025. 025. 025. 05 . 05 . 05 . 01125. 025. 05 . 0115 . 01zzzzzzzzzzzzzzz第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法所以321125. 025. 05 . 01)(zzzzF可见)3(125. 0)2(25. 0)(5 . 0)()(TtTtTtttf2部分分式展开法部分分式展开

12、法2115 . 05 . 115 . 0)(zzzzF解 F(z)的特征方程式为0)5 . 01)(1 (5 . 05 . 0-11121zzzz可见特征方程无重根，设111115 .011)5 .01)(1 (5 .0)(zBzAzzzzF所以 例 7-7 求 的Z反变换115.0)()5.01(15.015.05.015.0)()1(21121111111111zzzzzzzFzBzzzFzA14/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法115.01111)(zzzF故其反变换为 ),2, 1,0(5 .01)(kkfk )(1)(693.0tetfTTt也可写

13、为 kTkTtt)()(式中 3. 留数法留数法 实际遇到的Z变换式F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时可以用留数法求Z反变换比较合适。对有理分式也使用。已知Z变换式F(z)，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算ckdzzzFjzFZkTf11)(21)()(（7-19）15/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 其中的积分曲线C是包围原点的反时针封闭曲线，它包围F(z)zk-1 所有的极点。根据柯西留数定理，上式可以表示为ipznikzzFskTf)(Re)(11（7-20） n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk

14、-1的全部极点的留数之和。11)()(lim)(RekiipzipzkzzFpzzzFs（7-21）nikiipzzzFpzkTf11)()(lim)(所以7.1.6 扩展Z变换 前面各节所讨论的Z变换，只处理采样时刻的信息，无法求出控制系统的输出量或某个环节的输出量在两次采样之间的过渡过程；另外，控制对象往往包含延迟环节，如果延迟时间是采样周期的整数倍，可以借助延迟定理处理。但是16/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法如果延迟时间不是采样周期的整数倍，前面介绍的Z变换法也就无能为力了。所以有必要对Z变换进行改进，这就是扩展Z变换。 1对象具有延迟环节的系统的

15、对象具有延迟环节的系统的Z变换变换 这里所讨论的具有延迟环节的系统，是指延迟环节的延迟时间不是采样周期的整数倍的系统。 例7-10 求图所示系统的闭环脉冲传递函数。T)(zR)(zE)(zD)(zX),(0mzG)(zc)(tcseTs-1Tseasa8 . 1图7-4 例7-10的系统图解 )()1 ()()1(1),(3 . 0113 . 03 . 10TsTsTsTsTsTseassaZzzeassaeeZesaaseZmzG)(3.0TseassaZ现在求17/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 由于l=0.3，所以m=0.7 ，因此是求 ， ，m=0

16、.7的扩展Z变换，可查表，从而)()(assasF),()(),()(),()()(),(11)1(),(117.01111mzGzDmzCzRmzGzDzEmzCzezezzzzmzGaTaT),()(1),()(),(mzGzDmzGzDmz所以 2连续环节采样时刻之间的输出连续环节采样时刻之间的输出 为了求取采样瞬间之间的信息，在输出端加上一个假想的延迟环节e-lTs如图7-5所示，使输出c(t)产生延迟，成为c(t-lT)，于是在采样时刻得到的信号，不再是A、B、.点的值c(T)、c(2T)、 ，而是对应于 的值，显然是输出信号在采样瞬间之间的信息。若延迟时间 改为 ，则可获得 、 、

17、的信息如图7-6所示。当 从0变到1时，则可以获得采样瞬间的全部信息。)(TlTc)2(TlTc18/57、)2 ()(lTTclTTcTl第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法TT)(zDseTs-1)(zR),(mz),(mzG)(zG)(zClTse),(mzC)(0sG图7-5 例7-5计算采样瞬间之间的输出响应的方块图CBAt3T2TT0)(tc（a）没有延迟0lTlTTT2TT3t)(lTtcTlT2(b)产生延迟图7-6 输出 产生延迟19/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法20/577.2 数字控制器的离散化设计方法数

18、字控制器的离散化设计方法7.2.1 离散化设计方法 所谓数字控制器的离散化设计方法，是指从被控对象的特性出发，把计算机控制系统变成纯粹的离散系统，直接根据采样系统理论来设计数字控制器，这种方法称为离散化设计方法，也称为直接设计方法。与之对应的模拟化设计方法也称为间接设计方法。7.2.2 离散化设计法的基本原理 假设被控对象的传递函数为： ，零阶保持器的传递函数为： ，广义对象的脉冲传递函数为： ，数字控制器为： ，闭环脉冲传递函数为： 。)(SWPSeTS1)(W1)(P1SSeZzWTS)(zD)(zWB系统的标准框架如图7-8所示。第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设

19、计方法图7-8 采样控制系统的结构图则，闭环系统的脉冲传递函数为：)()(1)()()()()(11zWzDzWzDzRzCzWB（7-27） 系统的设计目标，是设计一个数字控制器的脉冲传递函数 D(z)，利用它来控制被控对象，达到期望的性能指标。由 解得 为)(zWB)(zD)(1)()()(1zWzWzWzDBB（7-28）21/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法7.2.3 设计步骤设计步骤 设计步骤如下： （1）求广义被控对象的脉冲传递函数 。 （2） 根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环脉 冲传递函数 。 （3） 确定数字控制器的脉冲传递函

20、数 。 （4） 由 确定控制算法并编制程序。)(1zW)(zWB)(zD)(zD7.2.4 系统的性能指标 系统的结构与参数决定着系统的性能，而性能可以用性能指标来描述，性能指标就是系统性能的量的度量。因此说，数字控制器能够改变系统性能的根本原因就在于它改变了对象的特性，即改变了对象的数学模型，从而改变了性能指标。 将系统的性能指标描述成：22/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法max%CteNttevNrsss动态降落：恢复时间：对干扰的动态性能指标：稳态误差对干扰的稳态性能指标对干扰信号的性能指标振荡次数阻尼比上升时间调节时间超调量对输入的动态性能指标：稳

21、态误差对输入的稳态性能指标对输入信号的性能指标性能指标7.3 最小拍有波纹控制系统设计最小拍有波纹控制系统设计 最小拍系统，是指系统在典型的输入信号作用下能在最少个采样周期内达到稳态无静差的系统。23/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法7.3.1 确定闭环脉冲传递函数确定闭环脉冲传递函数 WB(z)的方法的方法假定广义被控对象的脉冲传递函数 W1(z)是稳定的，满足如下的三个假设条件：（1）在z单位圆上或圆外极点，而且没有纯滞后。（2）在z单位圆上或圆外无零点。（3）没有纯滞后。对最小拍系统设计性能指标要求为：1.由准确性要求确定由准确性要求确定WB(z) 偏

22、差的Z变换为：)()()()(ZRzCzRzE)()(1 )()(zRzWzRzWBB（7-29）从Z变换终定理，得出：)()(1)1 (lim)()1 (lim)(lim1111zRzWzzEzteBzzt（7-30） 由此无稳态误差的条件是上式为零。要想求出 ，还和输入信号的性质有关，下面我们分析计算不同的输入信号R(z)时的WB(z)。24/57WB(z)。第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 1）单位阶跃输入111)(),( 1)(zzRttR11111)(1)1 (lim)(limzzWzteBzt（7-31）很明显，11)(.1zzWB时，上式等于零，由

23、此得出无稳态误差的条件为：11)(.1zzWB1)( zzWB（7-32）现在考察稳态误差：111)1 ()()(1 )(11zzzRzWzEB210001zzz由上式可知，误差只差一拍，即调整时间为一个采样周期 T，在25/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 第二个采样周期以后误差恒等于零。单位阶跃输入时误差的波形如图7-9所示，系统的阶跃响应如图7-10所示。0T1T2T3T4T5T6kTt 1)(kE.2 , 1 , 0k 2）单位速度输入图7-9 单位阶跃输入时误差的波形211)1 ()()(zTzzRttR，21111)1 ()(1)1 (lim)(

24、limzTzzWzteBzt（7-33）26/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法当21)1 ()(1zzWB时，上式为零，得出无稳态误差的条件为21)1 ()(1zzWB212)(zzzWB（7-34）此时e(t)误差 的Z变换为：121121)1 ()1 ()()(1 )(TzzTzzzRzWzEB21000zTzz单位速度输入时误差的波形如图7-3所示。0T1T2T3T4T5T6TkTt .2 , 1 , 0k)(kE图7-10 单位速度输入时误差的波形27/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 3）单位加速度输入31112

25、2)1 (2)1 ()(,2)(zzzTzRttR3111211)1 (2)1 ()(1)1 (lim)(limzzzTzWzteBzt（7-35）当31)1 ()(1zzWB，上式为零，因此无稳态误差的条件为：31)1 ()(1zzWB32133)(zzzzWB（7-36）此时误差e(t)的Z变换为：3111231)1 ( 2)1 ()1 ()()(1 )(zzzTzzRzWzEB322120021210zzTzTz单位加速度输入时误差的波形如图7-11所示。28/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法0TT2T3T4T5T6.2 , 1 , 0kkTt )(k

26、E22T图7-11 单位加速度输入时误差的波形比较三种典型输入信号的情况，不难得到：单位阶跃输入 m=1 误差的传递函数 单位速度输入 m=2 误差的传递函数 单位加速度输入 m=3 误差的传递函数11)(.1zzWB1)( zzWB21)1 ()(1zzWB212)(zzzWB31)1 ()(1zzWB32133)(zzzzWB29/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法30/57闭环脉冲传递函数WB(z) 由上式求出。它的一般形式为：)()1 (1)(1zFzzWmB)(2211mmzfzfzf（7-38）式中，mfff,21为待定系数。)(zWB中1z多项式

27、的项数m，与输入函数)(zR分母中)1 (1z因子的阶数m相等。确定系数mfff,21的方程式为：1)(1zBzW0)(1zBdzzdW0)(111zmBmdzzWd（7-39）第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法2. 由快速性要求确定由快速性要求确定WB(z) 快速性要求系统以最少的采样周期达到稳态值，这就要求WB(z)中多项式的项数尽可能少， WB(z)的项数与1-WB(z)的项数是等值的。 因子是用作满足无稳态偏差条件的，所以不能变动。那么减小1-WB(z)的项数，就只能减少F(z)多项式的项数，其最少项数是F(z)=1 。mz )1 (13. 由稳定性要求确

28、定由稳定性要求确定WB(z) 在讨论如何确定闭环脉冲传递函数WB(z)时，一开始为了简单起见，对广义被控对象的脉冲传递函数W1(z)加了假设条件，即在单位圆上（1，0）点除外，或单位圆圆外无零点、极点，还无纯滞后环节。下面讨论这些条件不满足时，应如何确定WB(z) 。（1）为了保证闭环系统稳定（2） 中有位于单位圆上或圆外的零点（3） 中包括纯滞后环节 的多次方式31/57)(1zW)(1zW1z第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 考虑上述三种情况，WB(z)的一般形式为：) 1(12211)(mmmmBzfzfzfzfzWNqpmpmzzzzf)1 ()1 (1

29、11)(（7-42） 式中 为W1(z)在单位圆上圆外的零点， 各项为W1(z)在单位圆上或圆外极点在WB(z)中的反映。Z-N为纯滞后环节，N为纯滞后时间，以q, 2, 1)()1(1pmpmmmzfzf上式的系数可由下式求出：1)(1zBzW0)(1zBdzzdW0)(111zmBmdzzWd1)(1zBzW1)(pzBzW（7-43）32/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 实际上，这三种情况不一定同时全部存在。当W1(z)没有纯滞后环节时。可令N=0，z-N=1；当W1(z)中没有单位圆上或单位圆外极点时， ；如果W1(z)中没有单位圆上或单位圆外零点

30、时，则 ；如果三种情况都不存在，则 。 021p021qmmBzfzfzfzW2211)(7.3.2 最小拍有波纹系统设计举例例7-13 已知对象的传递函数为：) 1(10)(ssSWP,采样周期T=1s，输入ttR)(试设计单位速度输入时的最小拍有波纹系统。（提示： ， ， ）11ZZSZ2211ZTZSZaTeZZaSZ1解：（1）广义对象的脉冲传递函数) 1(101)(1ssseZzWs1111)1 (1021SSSZz33/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法)368.01)(1 ()718.01 (68.31)1()1 (101111121zzzzez

31、zzzzzz（2）确定闭环脉冲传递函数111)(zzR，m=12211)(zfzfzWB由1)(1zBzW得121 ff02)(211ffdzzdWzB21f12f)5.01(22)(1121zzzzzWB2121)(1zzzWB34/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法21)1(z（3）控制器D(z)718. 01)(1 ()368. 01)(5 . 01 (544. 0)1 ()368. 01)(1 ()718. 01 (68. 3)5 . 01 (2)(1)()()(1111211111111zzzzzzzzzzzzWzWzWzDBB（4）系统的响应211

32、11)1()5.01(2)()()(zzzzzRzWzCB35/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法43210213243200212zzzzzzzzz系统的响应曲线如图7-12所示。T4T5期望值输出值.2 , 1 , 0kkTt 0TT2T31)(kCT6357T4T5图7-12 系统的响应曲线（5）控制量36/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法控制量曲线如图7-13所示。37/57B1111111 211123121230123( ) ( )( )( )2(1 0.5)3.68(1 0.718) (1)(1)(1 0.36

33、8)0.5440.4720.11 0.2820.7180.5440.3190.400.5440.3190.4W z R zU zW zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法0TT2T3T4T5T6.2 , 1 , 0kkTt )(ku2.04 . 02.04.06.0图7-13 控制量曲线例7-14 已知被控对象的传递函数为 ，采样周期T=0.2秒，试设计单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统。)105.0)(11 .0(10sss解：（1）广义被控对象的脉冲传递函数)(W1)(P1SSeZzWTS38/57第第7章章 数字控制器的

34、离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法)0183. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(045. 01 (76. 0) 105. 0)(11 . 0(1011111112 . 0zzzzzzSSsSeZS（2）闭环脉冲传递函数111)(zzR，m=1)14.11()(111zzfzWB由1)(1zBzW得47.01f)14.11 (47.0)(11zzzWB)53. 01)(1 ()(111zzzWB（3）控制器D(z)(1)()()(1zWzWzWzDBB39/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法40/57)53.01)(045.01 ()01

35、83.01)(135.01 (62.01111zzzz（4）系统的响应321011147.001)14.11(47.0)()()(zzzzzzzzRzWzCB系统的阶跃响应曲线如图7-14所示。10TT2T3T4T5T6.2 , 1 , 0kkTt )(kC图7-14 系统的阶跃响应第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法例7-15 在某计算机控制系统中，被控对象的传递函数由一个积分环节 和一个纯滞后环节 串联而成，采样周期T=1秒。 s1TSe2（1）采用零阶保持器法写出广义对象的脉冲传递函数。（2）写出单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统的闭环脉冲传递函数。（3）设计单

36、位阶跃输入时的最小拍有波纹系统数字控制器。（4）求单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统的响应。 解：（1）采用零阶保持器法写出广义对象的脉冲传递函数132P111)(W1)(zzseSeZSSeZzWTSTSTS（2）闭环脉冲传递函数41/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法111)(zzR，m=1211)(zzfzWB由1)(1zBzW得11f3)( zzWB)1)(1 (1)(12113zzzzzWB（3）控制器D(z)21111)(1)()()(zzzWzWzWzDBB（4）系统的响应42/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法5

37、43131)()()(zzzzzzRzWzCB7.3.3 最小拍有波纹系统的局限性1. 系统的适应性差系统的适应性差 最小拍系统数字控制器的设计是根据某类典型输入信号设计的，对其他类型的输入信号就不一定是最小拍，甚至会长生很大的超调和静差。2. 对参数变化灵敏度大对参数变化灵敏度大 最小拍设计是在结构和参数不变的条件下得到的理想结果，系统在z=0处有多重极点，理论上可以证明，这些z=0的重极点对系统参数变化的灵敏度可以为无穷大。因此，当系统的结构和参数变化是，系统的性能指标受到严重影响。3. 控制作用已超出限定范围控制作用已超出限定范围43/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器

38、的离散化设计方法4. 在采样点之间存在波纹在采样点之间存在波纹7.4 最小拍无波纹控制系统的设计最小拍无波纹控制系统的设计7.4.1 最小拍系统产生波纹的原因 由于 ，广义对象W1(z)中稳定的零点是控制量 的极点，控制量虽然是稳定的，但存在剧烈的振荡，这样一个控制量作用在保持器的输入端，保持器的输出也会波动，所以，系统的响应有波纹。简单地说，控制量有波动，系统响应有波纹。)(zu7.4.2 最小拍无波纹系统WB(z)的确定方法 最小拍无波纹系统WB(z)的一般形式为：NnpmpmmmmmBzzzzfzfzfzfzfzW)1 ()1 ()(111)()1(12211（7-44）7.4.3 最小

39、无波纹系统设计举例例7-16 某计算机控制系统如下图所示，已知，k=10,Tm=1s，采样周期T=1s，44/57B1( ) ( )( )( )Wz R zU zW z第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法试设计单位阶跃输入时的最小拍无波纹系统。图7-17 例7-3计算机控制系统（1）采用零阶保持器法计算广义对象的脉冲传递函数。（2）求系统的闭环脉冲传递函数。（3）设计单位阶跃输入时的最小拍无波纹系统数字控制器。（4）求控制量。（5）求系统的响应。（提示： ， ， ）11ZZSZ2211ZTZSZaTeZZaSZ145/57 )(1zW )(zc ( )c t)(zE

40、 T - 1Tses- P( )(1)mkWss T s )(tr + )(zR )(zD B( )W z 第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法解：（1）广义对象的脉冲传递函数)368.01)(1()718.01(68.3)1(101)(11111zzzzssseZzWs（2）闭环脉冲传递函数111)(zzR，m=1)718.01()(111zzfzWB由1)(1zBzW得582.01f)718. 01 (582. 0)(11zzzWB)418. 01)(1 ()718. 01 (582. 01)(11111zzzzzWB（3）控制器D(z)46/57第第7章章 数

41、字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法111418.01)368.01(158.0)(1)()()(zzzWzWzWzDBB（4）控制量控制量曲线如图7-18所示。47/57B1111111110123( ) ( )( )( )0.582(10.718)13.68(10.718) (1)(1)(10.368)0.158(10.368)0.1580.05800Wz R zU zW zzzzzzzzzzzzz第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法0TT2T3T4T5T6kTt .2 , 1 , 0k)(ku1 . 02 . 01 . 0图7-18 控制量曲线（

42、5）系统的相应3210111582. 001)718. 01 (582. 0)()()(zzzzzzzzRzWzCB48/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法系统的响应曲线如图7-19所示。0TT2T3T4T5T6kTt .2 , 1 , 0k)(kC1图7-19 系统的响应曲线7.5 控制算法在计算机上的实现控制算法在计算机上的实现D(z)可以写成 z-1有理式：nnmmzazazazbzbzbbzD2211221101)(mn（7-45）程序设计方法可分为直接程序法、串行程序法和并行程序法。7.5.1 直接程序法 49/57第第7章章 数字控制器的离散化设计

43、方法数字控制器的离散化设计方法50/57将上式交叉乘得：)()1 (2211zuzazazannmmzbzbzbb22110)(ze（7-46）在零初始条件下，对上式取z反变换：njjmiijkuaikEbku10)()(（7-47） 上式表明，计算机得k次的输出 取决于以前的输出 和偏差信号 ，这是个迭代运算式。)() 1(nkuku )()(mkeke例7-17 控制器 ，试用直接程序法写出控制算法的程序公式。)593. 01)(1 ()586. 01)(368. 01 ()()()(1111zzzzzEzuzD解：由)593. 01)(1 ()586. 01)(368. 01 ()()(

44、)(1111zzzzzEzuzD得到 )()586. 01)(368. 01 ()593. 01)(1)(1111zEzzzzzu整理得： 第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法)()216. 0954. 01 ()()593. 0407. 01 (2121zEzzzuzz控制算法的程序公式为：)2(593. 0) 1(407. 0)2(216. 0) 1(954. 0)()(kukukEkEkEku7.5.2 串行程序法串行程序法 数字控制器D(z)有时可写成n个一阶环节串联形式。)(*)(*)(*)(*1111*11*)1 ()1)(1 ()1 ()1)(1 ()(32101112121111011211112110zDzDzDzDbzzzzzzbzzzzzzbzDnnnnn（7-48）11111111)()()(zzzEzuzD121212211)()()(zzzuzuzD（7-49）（7-50）51/57第第7章章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的离散化设计方法 11111)()()(zzzuzuzDnnnnn（7-51）程序设计框图如图7-20所示。)(2zD)(1zD)(zE)(zDn0b)(zu图7-20 串行程序框图) 1() 1()()(