二重积分基础数学资料

1、第一节 二重积分的概念和性质1、问题的提出2、二重积分的概念3、二重积分的性质4、二重积分的几何意义第七章 二重积分柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积1、问题的提出、问题的提出 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和

2、、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小用若干个小平平顶

3、顶柱体体积之柱体体积之和近似和近似曲顶曲顶柱柱体的体积，体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 2、二重积分的概念性质性质.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （与定积分有类似的性质）与定积分有类似的性质）3、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质.),(),(),(2121 DDDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 DDdd 1.D4、二重

4、积分的几何意义例 求Ddxdy，其中区域D为由直线4, 22, 1yyxx及所围区域。答案：2例 求二重积分Ddxdy2，其中区域D为直线所围成的区域。轴及轴，02 yxyx答案：4例 设区域,1| ),(22yxyxD则二重积分.122dxdyyxD答案：32xzy1o例 设区域,1| ),(22yxyxD则二重积分.)11 (22dxdyyxD答案：3532二重积分的几何意义二重积分的几何意义该曲面向该曲面向xoy面的投影面的投影 ,0zfx y ,Dfx y d 等于等于以曲面以曲面 柱面作为侧面的柱面作为侧面的曲顶柱体曲顶柱体的体积的体积.作为顶、作为顶、D作为底，作为底，Dzxyo

5、,fx y计算二重积分计算二重积分, 0),( yxf不妨设不妨设利用几何意义利用几何意义即求曲顶柱体的体积即求曲顶柱体的体积. . ,Dfx y d Dzxyo ,fx y 我们计算二重积分，首先要考虑积分区域的特征，其次需要考虑被积函数的特点，在积分区域中，最简单的积分区域是矩形域。目的都是将二重积分转化为二次积分即两个定积分来计算。例 计算二重积分(),Dxy dxdy其中区域. 20, 10:yxD一、在直角坐标系下计算1、积分区域为矩形域例例 计算二重积分计算二重积分Dyxdxdye其中其中. 10, 10:yxD答案：答案：2) 1( e二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形是矩

6、形区域区域)y0 xz yabcdDD是矩形是矩形区域区域 a,b ; c,d z=f (x,y) Dyxy,xfId)d(y0 xz yabcdDD是矩形是矩形区域区域 a,b ; c,d z=f (x,y) baxy,xf)d()(yQ yyyxfz),( 问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？Q( y ) =是曲边梯形。是曲边梯形。 Dyxy,xfId)d(.二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形是矩形区域区域). dcyyQ)d(I0 xz yyabcdD dcbaxy,xfy)d(d. baxy,xf)d(Q( y ) = dcyyQ)d(I同理，也可以先对同理，也可以先对

7、 y 积分积分 badcyyxfxId),(d. Dyxy,xfId)d(z=f (x,y)D是矩形是矩形区域区域 a,b ; c,d 二重积分的计算二重积分的计算 (D是矩形是矩形区域区域)例 计算二重积分Ddxdyxyx)2(2，其中D是矩形闭区域：10, 10yx答案：65例 计算二重积分:,DxydxdyD其中区域. 30, 20yx答案：9 调用格式： 计算二重积分 syms x y int(int(二元函数,自变量1,下限,上限), 自变量2,下限,上限)为矩形区域其中DdxdyyxD,)(22例例 求求40, 21),(yxyx输入：输入：syms x yint(int(x2+y

8、2, x, -1,2),y,0,4)输出：输出：ans=76xyzo 例例 计算下列立体的体积计算下列立体的体积623DVxy dxdydyxyxx1010236106 1 3y dy 由四个平面由四个平面0,0,1,1xyxy围成的柱体被平面围成的柱体被平面0,236zxyz及及截得的立体的体积。截得的立体的体积。27235102yy解解 1100623dyxy dx 12:,Dxyxaxb2、 积分区域为X- -型区域型区域axo 2yx y 1yx Db 1yx xoyab 2yx D21( )( )( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 12:,Dyxy

9、cyd3 3、积分区域为、积分区域为Y-Y-型区域型区域cd1( )xy 2( )xy xOyD1( )xy 2( )xy yxODdc21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx 则则例 计算二重积分：其中区域DxydxdyD,由曲线xyxy,2围成。答案：1212,DxydxdyD其中 为直线y=2,y=x,y=2x例例 求求输入：输入：syms x yint(int(2*x*y, x, y/2, y),y,0,2)输出：输出：ans=3所围成的区域。所围成的区域。D例例解：解：围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-

10、型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11例 计算二重积分DdxdyyxD其中区域,)2(是由直线xyxyy2, 2所围成的闭区域。答案：311例例 计算计算 其中其中D是由直线是由直线Dxyd 解法解法1 1 把把D看成看成X型域型域, ,则则211xDxyddxxydy :1,12,Dyxxy=1, x=2 及及 y=x 所围区域所围区域.321()22xxdx 22112xyxdx 42219848xxxy211xy o2x解法解法2 2 把把D D看成看成Y型域，则型域，

11、则221ydyxydx Dxyd xy211xy o2y22212yxydy 321(2)2yydy 4221988yy:2,12,Dyxy 要将按要将按X型域确定的积分限改为按型域确定的积分限改为按Y型型域确定积分限域确定积分限. .为此，应根据定限的方法为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限先将题中所给的积分限还原还原成平面区域成平面区域D，然后再按然后再按Y型域型域重新确立积分限重新确立积分限，得到二，得到二次积分次积分. .4、改变二次积分的次序、改变二次积分的次序由于按不同的积分次序会有不同的计算繁杂程度，这就使得交换积分次序有时成为必要。例 交换积分次序.),(100ydxyx

12、fdy例 交换积分次序dyyxfdxxeln01),( ID:yxy yyxyxfyId),(d.0y x11y = xy = x210 y xd yxxy 联立联立) ( , 得得交交点点 xxyyxf)d,(.例例 将二重积分换序将二重积分换序所围区域所围区域 与与 xyxyDyxxyD : , dd 11y = x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形 Dddyxxy xxyxyd xd xxyyxxdd 1053d)(21xxx241 3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）. Dddyxxyy = x yyxxyd

13、yd241 .例例 用两种顺序计算用两种顺序计算二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分积分区域：圆域、环域、扇形域时或积分区域：圆域、环域、扇形域时或被积函数：被积函数：)(),(22xyfyxf形式时，采用形式时，采用极坐标往往较方便。极坐标往往较方便。= =常数常数, ,（同心圆族）（同心圆族） =常数常数,（从从O出发出发射线族射线族）其中其中 为点为点P到极点到极点O的距离的距离, , Ox( , )P 0,02 是由是由极点极点O和和极轴极轴Ox组成组成, , 为为OA到到OP的夹角的夹角, ,),( 点点P坐标坐标极坐标系极坐标系cossinxy 直角坐标与极坐标的关

14、系为直角坐标与极坐标的关系为：若令极点与若令极点与xoy直角坐标系直角坐标系的原点重合的原点重合, x轴取为极轴，则轴取为极轴，则= =常数常数, ,（同心圆族）（同心圆族） =常数常数,（从从O出发出发射线族射线族）其中其中 为点为点P到极点到极点O的距离的距离, , Ox( , )P 0,02 是由是由极点极点O和和极轴极轴Ox组成组成, , 为为OA到到OP的夹角的夹角, ,),( 点点P坐标坐标极坐标系极坐标系cossinxy 直角坐标与极坐标的关系为直角坐标与极坐标的关系为：若令极点与若令极点与xoy直角坐标系直角坐标系的原点重合的原点重合, x轴取为极轴，则轴取为极轴，则例例 求求

15、输入：输入：syms r t int(int(r*exp(r2), r, 0, 1), t, 0, 2*pi)输出：输出：ans=exp(1)*pi-pi1),2222yxyxDdxdyeDyx（其中例例 计算二重积分计算二重积分 22(),Dxy d其中其中D是是.0, 0, 1),(22yxyxyx例例 计算二重积分计算二重积分dyxD22其中其中D是圆环形闭区域：是圆环形闭区域：.0,),(2222babyxayx例 计算正弦曲线轴上与，在xxy0sin所围成的平面图形的面积。解：2sin0 xdxA定积分应用部分例子例例 求由抛物线 21,2.yxxxx与直线及 轴围成的图形的面积22231117.33Ax dxx例例 求由抛物线 222.yxyx与 =所围成的图形的面积解解 ,2,22xyxy两抛物线的交点为(1,1)和(1,1). 11222112(22)Axxdxxdx112300282222 2 .33x dxxx2yx22yx1-1oxy例