【2019最新】精选高中数学人教A版选修1-1习题：第三章导数及其应用检测(A)

1、【 2019 最新】精选高中数学人教A 版选修 1-1 习题：第三章导数及其应用检测（A）( 时间 :90 分钟满分 :120 分)一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的)1. 物体运动的方程为 sA.5B.25C.125D.625解析 : v=s'=t3,t=5 时的瞬时速度为125.答案 :C2. 函数 y=x2cos x 的导数为 ()A.y'=2xcos x-x2sin x B.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin x D.y&

2、#39;=xcos x-x2sin x解析 :y'=2xcos x-x2sin x.答案 :A欢迎下载。3. 函数 f(x)=A. 是减函数B. 是增函数C.有极大值D.有极小值解析 :f'(x)=-x2+3x当 x(0,3) 时 ,x(3-x)>0,即 f'(x)>0.故 f(x) 在(0,3) 内是增函数 .答案 :B4. 已知曲线 y=x4+ax2+1 在点 (-1,a+2) 处切线的斜率为8, 则 a=()A.9B.6C.-9D.-6解析 : 由题意知 y'|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6. 故选 D.答

3、案 :D5. 若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直 , 则 l 的方程为 ()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=02【2019最新】精选高中数学人教版选修1-习题：第三章导数及其应用检测（）解析 : 与直线 x+4y-8=0 垂直的直线 l 为 4x-y+m=0,即 y=x4 在某一点处的导数为 4, 而 y'=4x3, 故 y=x4 在点 (1,1) 处的导数为 4, 曲线 y=x4 在此点的切线方程为 4x-y-3=0.答案 :A6. 若函数 f(x)=x2+axA.-1,0B.- 1,+ )C.0,3D.3,

4、+ )解析 :f'(x)=2x+a f(x),当 x,f'(x)0 恒成立 ,即 a, 令 g(x) g'(x)= g(x), a答案 :D3/153/157. 设函数 f(x) 在定义域内可导 ,y=f(x) 的图象如图 , 则导函数 y=f'(x) 的图象可能为 ()解析 : 函数 f(x) 在(- ,0) 内为增函数 , 导数值为正 ; 函数 f(x) 在(0,+ ) 内是先增后减再增 , 故导数值的符号为正、负、正, 根据这些信息不难得出答案.答案 :D8. 已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上的两点 , 点 P,Q 的横坐标分别为4,-2, 过 P,

5、Q分别作抛物线的切线 , 两切线交于点A, 则点 A 的纵坐标为 ()A.1B.3C.-4D.-8解析 : 如图 , 由已知可得点P(4,8), 点 Q(-2,2).抛物线方程可化为y y'=x,过点 P 的切线斜率为y过点 P 的切线方程为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8.4【2019最新】精选高中数学人教版选修1-习题：第三章导数及其应用检测（）又过点 Q的切线斜率为 y过点 Q的切线方程为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2. 联解得 x=1,y=-4, 故点 A的纵坐标为 -4.答案 :C9. 设函数 f(x)=ex(sin x-cos x)(0 x2 016

6、), 则函数 f(x) 的各极小值之和为 ()A.C.解析 :f'(x)=2exsin x,令 f'(x)<0,则 x(+2k ,2 +2k)(k Z),令 f'(x)>0, 则 x(2k +2,2k +3)(k Z),当 x=2k+2 时,f(x) 取极小值为f(2 +2k)=e2k +2sin(2+2k)-cos(2 +2k)=-e2k +2,故函数 f(x) 的各极小值之和为S=-e2-e4-e2 014 =5/155/15( 注:f(x)在 2 016 处不符合极值定义 , 故不存在极小值 )答案 :D10. 定义在 (0,+ ) 内的可导函数f(x

7、) 满足 f'(x)·x<f(x),且 f(2)=0,A.(0,2)B.(0,2) (2,+ )C.(2,+ )D.?解析 : 令 g(x)g'(x) f'(x) ·x<f(x), xf'(x)-f(x)<0. g'(x)<0, g(x) 在(0,+ ) 内是减函数 . f(2)=0, g(2)=0,当 0<x<2 时,g(x)>0.(0,2).答案 :A二、填空题 ( 本大题共 5 小题 , 每小题 5 分, 共 25 分. 把答案填在题中的横线上 )11. 若抛物线 y=x2-x+c 上一

8、点 P 的横坐标为 -2, 抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点 , 则 c 的值为.6【2019最新】精选高中数学人教版选修1-习题：第三章导数及其应用检测（）解析 : y'=2x - 1, y'|x= -2=-5.又 P(-2,6+c),答案 :412. 设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不等的常数 ),解析 : f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b), f'(a)=(a-b)(a-c),同理 f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),代入原式中得

9、值为0.答案 :013. 若曲线 f(x)=ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线 , 则实数 a 的取值范围是.解析 :f'(x)=3ax2y轴的切线 , 即 3ax2故 a= x>0, 答案 :(- ,0)7/157/1514. 若曲线 C:y=x3-2ax2+2ax 上任意点处的切线的倾斜角都为锐角 , 则整数a 的值为.解析 : 由题意 , 知 y'=3x2-4ax+2a>0 恒成立 , 故=(-4a)2- 4×3×2a=16a2-24a<0, 解得 0<a因为 a 为整数 , 所以 a=1.答案 :115. 已知函数 f

10、(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论 :f(x)>0的解集是 x|0<x<2;f(f(x) 没有最小值 , 也没有最大值 ;f(x) 有最大值 , 没有最小值 .其中判断正确的是.解析 :f(x)>0? 2x-x2>0 ? 0<x<2, 故正确 .由 f(x)=(2x-x2)ex,得 f'(x)=(2-x2)ex.令 f'(x)=0, 得 x1=在 (- ,f'(x)<0,f(x)单调递减 ; 在(f'(x)>0,f(x)单调递增 ,8【2019最新】精选高中数学人教版选修1-习题：第三章导数及其应用

11、检测（） f(,f, 故正确 .由题意知 ,f, 且无最小值 , 故错误 , 正确 .答案 : 三、解答题 ( 本大题共 5 小题 , 共 45 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16.(8 分) 已知函数 f(x)=ax3+x2(aR)在 x=(1) 确定 a 的值 ;(2) 若 g(x)=f(x)ex, 讨论 g(x) 的单调性 .解:(1) 对 f(x) 求导得 f'(x)=3ax2+2x,因为 f(x) 在 x=,所以 f即 3a·解得 a(2) 由(1) 得 g(x)故 g'(x)9/159/15令 g'(x)=0, 解得 x=0,x

12、=-1 或 x=-4.当 x<-4 时,g'(x)<0,故 g(x) 为减函数 ;当 -4<x<-1 时,g'(x)>0,故 g(x) 为增函数 ;当 -1<x<0 时,g'(x)<0,故 g(x) 为减函数 ;当 x>0 时,g'(x)>0, 故 g(x) 为增函数 .综上知 g(x) 在(- ,-4) 和(-1,0)内为减函数 , 在(-4,-1)和(0,+ ) 内为增函数 .17.(8 分) 设 L 为曲线 C:y(1) 求 L的方程;(2) 证明 : 除切点 (1,0) 之外 , 曲线 C在直线

13、 L 的下方 .(1) 解: 设 f(x)f'(x)因为 f'(1)=1,所以 L 的方程为 y=x-1.(2) 证明令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外 , 曲线 C在直线 L 的下方等价于g(x)>0( ? x>0,x 1).g(x) 满足 g(1)=0, 且 g'(x)=1-f'(x)10【2019最新】精选高中数学人教版选修1-习题：第三章导数及其应用检测（）当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,则 g'(x)<0, 即 g(x) 单调递减 ;当 x>1 时,x2-1>0,l

14、n x>0,则 g'(x)>0, 即 g(x) 单调递增 .因此 g(x)>g(1)=0(? x>0,x 1).故除切点之外 , 曲线 C在直线 L 的下方 .18.(9 分) 已知 f(x)=-ax+x3,x R.(1) 当 x=1 时,f(x)取得极值 , 证明 : 对任意 x1,x2 -1,1,不等式 |f(x1)-f(x2)|4恒成立 ;(2) 若 f(x) 是1,+ ) 内的单调函数 , 求实数 a 的取值范围 .(1) 证明 f'(x)=3x2-a, 且 x=1 是 y=f(x) 的一个极值点 , f'(1)=3-a=0, a=3.

15、f'(x)=3x2-3,f(x)=x3-3x.当 -1<x<1 时,f'(x)=3(x+1)(x-1)<0,即 f(x) 在(-1,1)内是减函数 ;11/1511/15当 - 1x1时,f(x)min=f(1)=-2,f(x)max=f(-1)=2,故对任意 x1,x2 -1,1,|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=|2-(-2)|=4,即 |f(x1)- f(x2)| 4恒成立 .(2) 解:f'(x)=3x2-a, 若 f(x) 在1,+ ) 内是减函数 , 则 3x2- a0在1,+ ) 内恒成立 ,即 a3x2 在1,

16、+ ) 内恒成立 .满足条件的 a 不存在 .若 f(x) 在1,+ ) 内是增函数 ,则 3x2- a0在1,+ ) 内恒成立 ,即 a3x2 在1,+ ) 内恒成立 .当 x1,+ ) 时,3x2 的最小值为 3, a3 符合题意 .所求实数 a 的取值范围为 (- ,3.19.(10 分 ) 设函数 f(x)=ax2-a-ln x,g(x)R,e=2.718 为自然对数的底数.12【2019最新】精选高中数学人教版选修1-习题：第三章导数及其应用检测（）(1) 讨论 f(x) 的单调性 ;(2) 证明 : 当 x>1 时,g(x)>0;(3)确定 a 的所有可能取值 , 使得

17、 f(x)>g(x)在区间 (1,+ ) 内恒成立 .(1)解:f'(x)=2ax当 a0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+ ) 内单调递减 .当 a>0 时, 由 f'(x)=0有 x当 x,f'(x)<0,f(x)单调递减 ;当 x,f'(x)> 0,f(x) 单调递增 .(2) 证明令 s(x)=ex-1-x, 则 s'(x)=ex-1-1.当 x>1 时,s'(x)>0,所以 ex-1>x,从而 g(x)(3) 解: 由(2), 当 x>1 时,g(x)>0.当 a0

18、,x>1 时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.故当 f(x)>g(x)在区间 (1,+ ) 内恒成立时 , 必有 a>0.当 0<a13/1513/15由 (1)所以此时 f(x)>g(x)在区间 (1,+ ) 内不恒成立 .当 a, 令 h(x)=f(x)-g(x)(x 1).当 x>1 时,h'(x)=2ax因此 ,h(x) 在区间 (1,+ ) 单调递增 .又因为 h(1)=0, 所以当 x>1 时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即 f(x)>g(x)恒成立.综上 ,a 20.(10 分 ) 已知函数 f(x)=-2a2ln x R).(1) 讨论函数 f(x) 的单调