【2019最新】精选高三数学(理)二轮专题复习文档：专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考系列第 1 讲坐标系与参数方程高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 . 以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真题感悟1.(2018 ·全国卷 ) 在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 ( 为参数 ) ，直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ).(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1 ，2) ，求 l 的

2、斜率 .解 (1) 曲线 C的直角坐标方程为 1.当 cos 0时， l 的直角坐标方程为 ytan ·x 2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1.(2) 将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，欢迎下载。整理得关于t 的方程(1 3cos2)t24 (2cossin)t80. 因为曲线 C截直线 l 所得线段的中点 (1 ，2) 在 C内，所以有两个解，设为 t1 ，t2 ，则 t1 t2 0.又由得 t1 t2 ，故 2cos sin0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.2.(2018 ·全国卷 ) 在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的方程为 y

3、k|x|2. 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22cos 3 0.(1) 求 C2 的直角坐标方程；(2) 若 C1 与 C2有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .解 (1) 由 xcos ，ysin ，得 C2的直角坐标方程为x2y2 2x30，即(x 1)2 y24.(2) 由(1) 知 C2是圆心为 A(1，0) ，半径为 2 的圆 .由题设知， C1是过点 B(0，2) 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右边的射线为 l1 ，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C1 与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1

4、 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点 .当 l1 与 C2 只有一个公共点时， A到 l1 所在直线的距离为 2，所以 2，故 k或 k0.【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考系列第讲坐标系与参数方程经检验，当 k0 时， l1 与 C2没有公共点；当 k时， l1 与 C2只有一个公共点， l2 与 C2有两个公共点 . 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A到 l2 所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0 或 k.经检验，当 k0 时， l1 与 C2没有公共点；当 k时

5、， l2 与 C2没有公共点 .综上，所求 C1的方程为 y |x| 2.考点整合1. 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位 . 设 M 是平面内的任x cos，意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x ，y) 和( ，) ，则y sin ，2 x2y2，ytanx（ x0）.2. 直线的极坐标方程若直线过点 M(0，0) ，且极轴到此直线的角为，则它的方程为 sin( ) 0sin( 0).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1) 直线过极点： ；(2) 直线过点 M(a，0)(a>0) 且垂直于极轴： cos a；(3

6、) 直线过 M且平行于极轴： sin b.3/163/163. 圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1) 当圆心位于极点，半径为 r ：r ；(2) 当圆心位于 M(r ，0) ，半径为 r ：2rcos ；(3) 当圆心位于 M，半径为 r ：2rsin .4. 直线的参数方程经过点 P0(x0，y0) ，倾斜角为 的直线的参数方程为 (t 为参数 ).设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段的数量 . 5. 圆、椭圆的参数方程(1) 圆心在点 M(x0，y0) ，半径为 r 的圆的参数方程为 ( 为参数，02).(2) 椭圆 1 的参数方程为 ( 为参数 ).热点一曲线的极

7、坐标方程【例 1】 (2017 ·全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1) 设点 M为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM上，且 |OM|·|OP| 16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2) 设点 A 的极坐标为，点 B在曲线 C2 上，求 OAB面积的最大值 .解 (1) 设 P 的极坐标为 ( ，)( >0) ， M 的极坐标为 ( 1， )( 1>0).由题设知 |OP| ，|OM|1.【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考

8、系列第讲坐标系与参数方程由|OM|·|OP| 16 得 C2的极坐标方程为4cos ( >0).因此 C2的直角坐标方程为 (x 2)2 y24(x 0).(2) 设点 B 的极坐标为 ( B，)( B>0).由题设知 |OA| 2，B4cos ，于是 OAB的面积S|OA| ·B·sin AOB4cos · sin 3 22 .当 时， S 取得最大值 2.所以 OAB面积的最大值为2.探究提高1. 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式： xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x 0) ，要注意 ， 的取值范围及其影

9、响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2. 由极坐标方程求曲线交点、 距离等几何问题时， 如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解 .【训练 1】 (2018 ·江苏卷 ) 在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 2，曲线 C的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C截得的弦长 .解 因为曲线 C的极坐标方程为 4cos ，所以曲线 C是圆心为 (2 ，0) ，直径为 4 的圆 . 因为直线 l 的极坐标方程为 sin 2，则直线 l 过 A(4，0) ，倾斜角为，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 .设另一个交点为B，则 OAB .5/165/16连接 O

10、B.因为 OA为直径，从而 OBA，所以 ABOA·cosOAB 4cos 2.因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2.热点二参数方程及其应用【例 2】 (2017 ·全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数 ) ，直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ).(1) 若 a 1，求 C与 l 的交点坐标；(2) 若 C 上的点到 l 距离的最大值为，求 a.解 (1)a 1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.曲线 C的标准方程是 y21，21x 25，联立方程解得或24y25.则 C与 l 交点坐标是 (3 ，0) 和.(2) 直线

11、 l 的普通方程是 x4y4a0.设曲线 C上点 P(3cos ，sin).则 P 到 l 距离 d，其中 tan .又点 C到直线 l 距离的最大值为 . |5sin( ) 4a| 的最大值为 17.若 a0，则 54a 17， a8.若 a<0，则 54a17， a 16.综上，实数 a 的值为 a 16 或 a8.【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考系列第讲坐标系与参数方程探究提高 1. 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件 .2. 在与直线、圆

12、、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题， 可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解 .【训练 2】 (2018 ·石家庄调研 ) 已知在极坐标系中，点 A，B，C 是线段 AB的中点 . 以极点为原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程是 ( 为参数 ).(1) 求点 C的直角坐标，并求曲线 的普通方程；(2) 设直线 l 过点 C交曲线 于 P，Q两点，求·的值 .解(1) 将点 A，B 的极坐标化为直角坐标，得A(，1) 和 B(， 3).所以

13、点 C的直角坐标为 (0 ，2).将消去参数 ，得 x2(y 2)2 4，曲线 的普通方程为 x2(y 2)2 4.(2) 直线 l 的参数方程为 (t 为参数， 为直线 l 的倾斜角 ) ，代入 x2(y 2)2 4，整理得： t2 8tsin120.设点 P，Q对应的参数值分别为t1 ，t2 ，则 t1t2 12，|t1t2| 12.CP· |热点三极坐标与参数方程的综合应用【例 3】 (2018 ·菏泽模拟 ) 以直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正7/167/16半轴为极轴，建立极坐标系. 已知直线l的参数方程为 (t为参数，0<) ，曲线 C的极坐标方程为

14、cos28sin.(1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(2) 设直线 l 与曲线 C相交于 A，B 两点，当 变化时，求 |AB| 的最小值 .解 (1) 由消去 t 得xsinycos 2cos 0，所以直线 l 的普通方程为 xsinycos 2cos 0.由 cos28sin，得 ( cos )2 8sin，把 xcos ，ysin 代入上式，得 x28y，所以曲线 C的直角坐标方程为 x28y.(2) 将直线 l 的参数方程代入 x2 8y，得 t2cos2 8tsin 160，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1 ，t2 ，则 t1 t2 ， t1t2 ，所以

15、|AB| |t1 t2| （t1t2） 24t1t2 .当 0 时， |AB| 的最小值为 8.探究提高1. 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解. 当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2. 数形结合的应用， 即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考系列第讲坐标系与参数方程用 和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 . 【训练 3】 已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数 ) ，以坐标原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为

16、 sin 4.(1) 写出曲线 C的极坐标方程和直线 l 的普通方程；(2) 若射线 与曲线 C交于 O，A 两点，与直线 l 交于 B 点，射线与曲线 C 交于 O，P 两点，求 PAB的面积 .解 (1) 由( 为参数 ) ，消去 .得普通方程为 (x 2)2 y24.从而曲线 C的极坐标方程为 24cos 0，即 4cos ，因为直线 l 的极坐标方程为 sin 4，即 sincos 4，直线 l 的直角坐标方程为xy80.(2) 依题意，联立射线 与曲线 C的极坐标方程，得 A，B 两点的极坐标分别为，联立射线 与曲线 C的极坐标方程，得 P 点极坐标为， |AB| 2，SPAB

17、15; 2×2sin 2.1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决， 或用极坐标解决较麻烦， 可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 .2. 要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一9/169/16点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答 .3. 过定点 P0(x0，y0) ，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为 (t为参数 ) ，t 的几何意义是的数量，即 |t| 表示 P0 到 P的距离， t 有正负之分 . 使用该式时直线上任意两点 P1，P2 对应的参数分别为 t1 ， t2 ，则 |P1

18、P2| |t1 t2| ，P1P2的中点对应的参数为 (t1 t2).1.(2017 ·江苏卷 ) 在平面坐标系 xOy中，已知直线 l 的参数方程为 (t为参数 ) ，曲线 C的参数方程为 (s 为参数 ). 设 P 为曲线 C上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 .解由消去 t.得 l 的普通方程为 x2y80，因为点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s2，2s).则点 P 到直线 l 的距离 d，所以当 s时， d 有最小值 .因此当 P 的坐标为 (4 ，4) 时，曲线 C上的点 P 到直线 l 的距离取最小值.2. (2017 ·全国卷 ) 在直角坐标系

19、 xOy中，直线 l1 的参数方程为 (t为参数 ) ，直线 l2 的参数方程为 (m 为参数 ). 设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P的轨迹为曲线C.(1) 写出C的普通方程；(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin) 0，M为l3与 C的交点，求M的极径 .【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考系列第讲坐标系与参数方程解 (1) 由 l1 ：(t 为参数 ) 消去 t ，得 l1 的普通方程 yk(x 2) ，同理得直线 l2 的普通方程为 x2ky ，联立，消去 k，得 x2y24(y 0).所以 C的普通

20、方程为 x2y24(y 0).(2) 将直线 l3 化为普通方程为 xy，3 2x 2 ，联立得2y 2 ，2x2y2 5，l3 与 C的交点 M的极径为 .3.(2018 ·安徽联合质检 ) 在平面直角坐标系xOy中，以原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为22sin 20，曲线 C2的极坐标方程为，C1与 C2 相交于 A，B两点 .(1) 把 C1 和 C2的极坐标方程化为直角坐标方程， 并求点 A，B 的直角坐标；(2) 若 P 为 C1 上的动点，求 |PA|2 |PB|2 的取值范围 .解 (1) 由题意知，曲线 C1与曲线 C2的

21、直角坐标方程分别为 C1：(x 1)2 (y 1)2 4，C2：xy0.联立得或x 1，y 1，即 A(1， 1) ，B(1，1) 或 A(1，1) ，B(1， 1).11/1611/16(2) 设 P(12cos ，12sin) ，不妨设 A(1， 1) ，B(1，1) ，则 |PA|2 |PB|2(2cos )2 (2sin2)2 (2cos2)2 (2sin)2168sin8cos168sin，所以 |PA|2|PB|2的取值范围为16 8，168.4.(2018·湖南六校联考) 已知直线l的参数方程为(t为参数 ).在以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

22、C 的极坐标方程为24cos2 sin4.(1) 求直线 l 普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(2) 设直线 l 与曲线 C交于 A，B 两点，求 |OA| ·|OB|.解 (1) 由消去 t ，得 y (x 1) ，即 yx.直线 l 的普通方程为 yx.曲线 C：24cos 2sin4.其直角坐标方程x2y24x2y4，即(x 2)2 (y )2 3.(2) 易由 yx，得直线 l 的极坐标方程为 .代入曲线 C的极坐标方程为 2540，所以 |OA| ·|OB| | A·B| 4.5.(2016 ·全国卷 ) 在直角坐标系xOy中，曲线 C1 的

23、参数方程为 (t为参数， a>0). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos .【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题七选考系列第讲坐标系与参数方程(1) 说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2) 直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1与 C2 的公共点都在 C3上，求 a.解 (1) 消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2(y 1)2 a2，C1是以 (0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆 .将 xcos ，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22

24、 sin 1a20.(2) 曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若 0，由方程组得16cos28sincos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a 1( 舍去 ) ，a1.a1 时，极点也为 C1，C2的公共点，且在 C3上.所以 a1.6.(2018 ·全国卷 ) 在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为 ( 为参数 ) ，过点 (0 ，) 且倾斜角为 的直线 l 与O交于 A，B 两点 .(1) 求 的取值范围；(2) 求 AB中点 P 的轨迹的参数方程 .解 (1) O的直角坐标方程为 x2y21.当 时， l 与

25、O交于两点 .当 时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx.l 与O交于两点当且仅当 <1，解得 k<1 或 k>1，即 或 .13/1613/16综上， 的取值范围是 .(2)l的参数方程为 (t 为参数， <<).设 A，B，P 对应的参数分别为tA ，tB ，tP ，则 tP ，且 tA ，tB 满足 t2 2tsin10.于是 tA tB 2sin，tP sin.x tPcos ，又点 P 的坐标 (x ，y) 满足y2tPsin，所以点 P 的轨迹的参数方程是( 为参数， <<).7.(2018 ·武汉调研 ) 在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ) ，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点.(1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(2) 已知点 P 的极坐标为，求 |PA| ·|PB| 的