整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧

1、1.整式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的 式子叫代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.只含有数与字母的积的代数式叫单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：41a2b这种表示就是错误的，应写成：13a2b. 一个单项式中，33所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如：5a 3b2c是六次单项式.几个单项式的和叫多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项. 多项式中 不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次 数.单项式和多项式统称整式.用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计

2、算出的结果，叫代 数式的值.注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入.2 .同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.注意：（1）同类项与系数大小没有关系；（2）同类项与它们所含字母的顺序没有关系.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字 母的指数不变.去括号法则1:括号前是“ + ”，把括号和它前面的“ 十 ”号一起去掉，括号里各项都不变号.去括号法则2:括号前是“”，把括号和

3、它前面的“”号一起去掉， 括号里各项都变号.整式的加减法运算的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项.同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.如： am an amn（m,n都是正整数）.幕的乘方法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘.如：am n amn（m,n都是正整数）.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所有的幕 相乘.如：ab n anbn（n为正整数）.单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式.单项式与多项式相乘的

4、运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如： m a b c ma mb mc(m,a,b,c都是单项式).注意：单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式 的项数相同.计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同 时还要注意单项式的符号.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加.注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项.平方差公式：(a b)(a b) a2 b2;完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2, (a b)2 a2 2ab b

5、2 ;立方和公式：(ab)(a2ab b2)a3b3立方差公式：(ab)(a2ab b2)a3b3;(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac .注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式.同底数幕的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减.如： am an amn(m, n 为正整数，a 0).注意：a0 1( a 0)； a pp(a 0,p为正整数). ap单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幕分别相除，作为商的因 式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项

6、除以这个单项式，再把所得的商相加.注意：这个法则的适用围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的3 .因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式.例 如：8a3b 4ab 2a2;-一- 工a 1等，都不是因式分解.a a(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.例如：2a 2b c 2ab c,不是因式分解.(3)因式分解和整式乘法是互逆变形.(4)因式分解必须在指定的围分解到不能再分解为止.如： a4 25b4 在有理数围应分解为：a2 5b2

7、a2 5b2 ;而在实数围则应分解为： a2 5b2 a <5b a 75b .1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式 法.提公因式法的关键在于准确的找到公因式， 而公因式并不都是单项式；公因 式的系数应取多项式整数系数的最大公约数； 字母取多项式各项相同的字母；各 字母指数取次数最低的.2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因 式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.平方差公式：a2 b2 a b a b .完全平方公式：a2 2ab b2 a b 2 ； a2 2

8、ab b2 a b 2 .立方和公式：a3b3a ba2ab b2 .立方差公式：a3b3a ba2ab b2 .注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符 号进行观察，判断符合哪个公式的条件.公式中的字母可表示数，字母，单项式 或多项式.3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法 的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因 式或直接运用公式.4、十字相乘法：x2 pqxpq xpxq.5、求根法：当二次三项式ax2 bx c不易或不能写成用公式法或十字相乘 法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程 ax2 bx

9、c 0的两个根 x1,x2,然后写成：ax2 bx c a x x1 x x2 .运用求根法时，必须注意这个 一元二次方程ax2 bx c 。要有两个实数根.因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下， 观察多项式的次数： 二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法 或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止.4 .分式一般的，用A, B表示两个整式，A B就可以表示成分的形式.如果B中含B有字母，式子A就叫做分式

10、.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.分 B式和整式通称为有理式.注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式 的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零.若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零.把一个分式的分子与分母的公因式约去， 把分式化成最简分式，叫做分式的 约分.一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式

11、，叫做分式的通分.取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：A A-M-（其中M是不等于零的整式）.B B M B M分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.如: A A A AB B B B分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适 当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数.当分子、分母中的系 数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最 小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数” 一

12、般是 10n, 其中n等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数.例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数， 且使各项系数绝对值最小.11.a b(1) 2-3-；1 1.a - b340.4x23 2 y101 22-x2 0.6y2 4分析：第（1）题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数 所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可 把系数化为整数；第（2）题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小 数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数.解:1a 1b3b121a -b1b126a 4b4a 3b0.

13、4x23 y 101x20.6y20.4x2 0.3y2 10022(0.25x2 0.6y2) 10040x2 30y22225x2 60y25 8x2 6y2225 5x2 12y28x2 6y25x2 12y21、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用 式子表示是：a b2、分式的乘方法则:c ac a c d bd ' b da d adb c bc分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示是:n a bn（n为整数）.3、分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用

14、式子表示是:a bc c异分母的分式相加减，先通分, 子表示是：a b；c变为同分母的分式，然后再加减.用式ad bcbd分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是 先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号的.x 2 x 4 x 6 x 8例、计算.x 1 x 3 x 5 x 7分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与 和，所以可以采取“裂项法” .解：原式 x3 131x 31x1x 51x 77 171x 72x 1 x 32x5x7x 5 x 72x1x3x 1

15、 x 3 x 5 x 716x 64x 1 x 3 x 5 x 7要认真分析题目特点,找出简便点评：本题考查在分式运算中的技巧问题, 的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到.5 .二次根式式子va(a 0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号被开方数a必须是非负数.如 斯，V(a b)2 , JO(a 3)都是二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如J3x 2y2 , v a2 b2 是最简二次根式，而,>/a一,J48ab2 , 就不 ;bx是最简二次根式.化二次根式为最简二次根式的

16、方法和步骤：如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把 它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简.如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来.几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根式 叫同类二次根式.注意：当几个二次根式的被开方数相同时， 也可以直接看出它们是同类二次 根式.如J24和3J24 一定是同类二次根式.合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式. 合并同类 二次根式的方法和合并同类项类似， 把根号外面的因式相加，根式指数和被开方 数都不变.1把分母中的根号化去，叫分母有理化

17、.如,3 1,3 1(.3 1)( . 3 1)3 12两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两J3J2 和 J3J2 ；ja 和 /a 个代数式互为有理化因式.如 於1和遮1; a bJa和a bW都是互为有理化因式.注意：二次根式的除法，往往是先,3 (3(、a)2337a(a来3(3 .7)写成分子、运分母的形式，然后利用分母有3. 321,a2.ab(3 .7)(3 ,7)32 (、7)20) .a(a 0), a(a 0).& Nb(a 0,b 0).ab二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式；(3

18、)再把同类二次根式分别合并.二次根式的乘法法则：次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.Va显 v,ab ( a,b 0).此法则可以推广到多个二次根式的情况. 二次根式的除法法则：次根式相除，被开方数相除，根指数不变，宠 Ja( a 0,b 0).此法则可以推广到多个二次根式的情况.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样， 先乘方，再乘除，最后加减, 有括号的先算括号里的(或先去掉括号).例1、计算:1. 23. 6 1. 2. 36分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于1 母有理化比较麻烦，我们应注意到1 V2 J3 髭1,2,3,62 1解：.31 ,2.36V3 1 ,这样

19、做起来就比较简便.21.2.3 . 622,2 1 ,3 12 2 13 12 1、,3 12 . 2 13 12 .323例2、计算:21.2 1 .3 112 .52.732.3 .3 . 5、35 5 .7.5 .7 .分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则3”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零” ab的性质来化简.解:.5.2原式例3、已知x3 一 a是x的整数部分,.7 2b是x的小数部分，求a4的2,3. 3 ,51化分析:先将x分母有理化，求出a,b的值，再求代数式的值.解:x 37.7 2又 2 77 3,4 x 5 .a 4,b.

20、7 2a b 4. 7行2 .6 .76 .77 27 272,728.7 193次根式的化简技巧巧用公式法例 1 计算 a 2"ba_ b 二 ba a v' b - ab b分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为ja与成立，且分式也成立，故有a>0, b>0,jajb0而同时公式：a b2 = a2-2ab+b2, a 2 - b2 = a b a b ,可以帮助我们将 a 2v ab b 和a b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式=.而2 +抬处7a近=-6+ «新=2« -2而.

21、a .b .a 、b二、适当配方法。例2 .计算:3 2 23612,3分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，二.分母含有1+J2 J3其分子必有含21+J2 J3的因式，于是可以发现 3+272 = 1 <2 ，且J3庭展1 22 ,通过因式分解，分子所含的1+<2 «3的因式就出来了。解：原式=3 2ML花=16、1八1 X 2312,31+ -. 2三、正确设元化简法。例3:化简分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法,通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：<2 a,册 c, <3 b,

22、ab <6 ,正好与分子吻合。对于分子，我们发现a2 b2 c2所222222以a b c 0,于是在分子上可加 a b c 0 ,因此可能能使分子也有望化为含有a b c因式的积，这样便于约分化简。解：设 J2 a, 33 b, %/5 c则 2 ab 2/6且 a2 b2 c2 0所以：2,22,22百V* = 2ab 2ab a b c a b c a b c a b c一 一 一取队a b c 235a b c a b ca bca b c四、拆项变形法例4,计算7 2 65.5 .667分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简,如转化成：a

23、_b 1 1再化简，便可知其答案。aba b. 67566.7解：原式=566 7-.56 .6 ,71,5.6y二庭斯 <7 展币展 ,6. 7五、整体倒数法。例5、计算,5 .3 3 15 2 3 1a b 11分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：ab 1 1 ,化简但还要通过ab a b折项变形，使其具有公因式。到、八人 533 1解：设A=5 2.3 1则 1,5 2 3 1533 1 =113 153A 53 3 1. 53,31.3 1.5.322 ,2所以A=_2.5 1六、借用整数“ 1”处理法。例6、计算分析：本例运用很多方面的知识如：1= <3 版 v

24、,3 V2 和.a b x22a b a b ,然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。解：原式=73 12 6 &3亚2J38 & V3 J6V3&、2 .362%3 .6(3-2)(-326)3 % 2. 6七、包等变形整体代入结合法分析：本例运用整体代入把 x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法 将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行包等变形使题中含有x+y与xy的因式,如x2 xy+y 2 =(x+y) 2 3xy,然后再约分化简。例7：已知x=1 ( " V5), y =1( J7J5),求下列各式的值。22(1)

25、 x2 - xy+y 2 ; (2) + y xxy=2。275 ), y =1( <7.15 ),所以：x+y= 77 ,2(1)x 2 xy+y 2 = (x+y)2 一 ，、-3 xy=(")2-3x2=11222 c 天+ y = xy = x y 2xyy x xyxy八、降次收募法：(7)2 2 1 2 1212例8、已知x=2+於,3x2 2x 5”古的值。2x 7分析：本例运用了使题中 2次募项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式 x2 4x 1转化为4x-1,这样进行低次哥运算就容易了。解：由 x=2+,3，得 x 2=百。(x-2) 2 =3 整理得：x

26、2=4x1。所以：3x22 x+5=3 (4 x1) - 2 x+5=10 (2+春)+2=22+10322 x-7 (2+43) -7=2、后3,所以原式=22 1032、3 3=42+笠分式运算的几点技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的 几点技巧。一.分段分步法例1.计算：解：原式 说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分 段分步法，则可使问题简单化。同类方法练习题：计算 （答案:）分裂整数法例2.计算： 解：原式x + 1

27、1 s + 2+1 落-4-1 x- 3-11_-s + 1 x + 2 忘一4 z- 31X +说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多 6,圆圆的卡片比这些多 2,且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少卡片？（答 案：团团8,圆圆4） 三.拆项法1111h -h -+ -例3.计算：宜+笈 戈+五+2%-+ 5戈4口 丁+7+121 1 1 1 =!1-解：原式x(k + 1) (K + 】)(这 +2) 保 +

28、 2)(s + 3)(戈+ 3XX + 4)说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部 分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。11111A14-4- +4-A + 同类方法练习题：计算：- - 一二-一 一 -'二'（答案:）四.活用乘法公式+ 3）* + 4rx妙4 4）（- -i）（x1；1例4.计算： k 笈 篮 X X解：当且时,= (z)一+与泮+与冒+_ 1")原式： ：一 .-!-:=(X2 - 3)依工十 4)(7 十乂7 十*)(/' + 4)&? 一 ° 十三二X慕X1Kx区

29、二一4rK说明：在本题中，原式乘以同一代数式， 之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。同类方法练习题：计算：(答案:)五.巧选运算顺序例5.计算：解：原式说明：此题若按两数和(差)的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式 的和(差)的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号的。同类方法练习题：解方程(答案:)六.见繁化简例6.计算：解：原式说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。同类方法练习题：解方程(答案：)因式分解的常见变形技巧0技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不

30、太清晰的情况下，可考虑变 换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题 1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津y-x= -(x-y)体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题1分解因式：-a2-2ab-b2技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时 可考虑进行系数变换。体验题2分解因式4x2-12xy+9y2体验过程原式二(2x) 2-2(2x)(3y)+(3y) 2=(2x-3y) 2小结系数变化

31、常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。2实践题2分解因式-x2 a l439技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题3分解因式x4-y4指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2) 2,然后用平方差公式。体验过程原式=(x2) 2-(y 2) 2=(x 2+y2)(x 2-y 2)=(x 2+y2)(x+y)(x-y)小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项I可的关系。实践题3分解因式a4-2a4b4+b4技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要

32、将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题 4 a(a+2)+b(b+2)+2ab指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2abo然后分组。体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。实践题 4x(x-1)-y(y-1)技巧五拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。 这类问题直接进行分解往往较为困难， 往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间 的项。体验题5分解因式3a3-4a+1指点迷津本题最高次是三次，缺

33、二次项。三次项的系数为3,而一次项的系数为-4,提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3aa试试体验过程原式=3a3-3a-a+1=3a(a 2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1=(a-1)(3a 2+3a-1)另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。原式=3a3-4a+4-3=3(a 3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a 2+3a+3-4)=(a-1)( 3a 2+3a-1)小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1 ,最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆

34、项的目的是将各项的系数调整趋于一 致。实践题5分解因式3a 3+5a2-2巧六添项变换有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。体验题6 分解因式x2+4x-12指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将 其配成完全平方式再说。体验过程原式：x2+4x+4-4-12=(x+2) 2-16=(x+2) 2-4 2=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题6 分解因式x2-6x+8实践题7分解因式a4+4技巧七换兀变换有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构 就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题 7分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些