(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)

1、 初中数学竞赛专题配方法 一、内容提要2a1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式2 写成完全平方式±2ab+b2有时需要在代数式中添项、折项、分组才能）. （a±b. 写成完全平方式 常用的有以下三种：2222 +b2ab由a+b配上， 由2 ab配上a， 22. b配上由a±2ab 2.运用配方法解题，初中阶段主要有： 用完全平方式来因式分解 4. +4 因式分解例如：把x242222 +2)4x原式x+44x=(x4x222ab. 配上+b这是由 a这就需要把被开方数 二次根式化简常用公式：，2 a?a. 写成完全平方式. 例如：化简625?3

2、 2写成5我们把2 2326 22232)(2)3(2. ）（3222. a配上2 ab这是由+b- 1 - 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方2 时，当a=00， 是非负数，零就是最小值.即a2. 是最小值的值为a0 2. +2a2 的最值例如：求代数式a2223 2= aa+2a+2a+13=(a+1)2 3. 2有最小值当a=1时, a+2a2 2b2ab配上这是由a± 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 22x, y. +2x-4y+5=0 的解:：求方程x+y例如 220. 4 解：方程x+y+2x-4y+122=

3、0. （x+1）+(y2)配方的可化为0?x?1?. 要使等式成立，必须且只需?0?2y?1x? 解得?2y? 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧. - 2 - 二、例题2222+1. ba+4ab因式分解：例1. ab22222222) baab+2ab+1+(+2abb解：aa+4abb+1 （折项，分组） 22 （ab+1）(ab) （配方）(ab+1-a+b) （ab+1+a-b） （用平方差公式分解）. 本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想 2.例 化简下列二次根式：. ； ； 210?243?32?3?74 解：化简的关键是把被开

4、方数配方 2)?(2334?3223?7?4. 2 33?22)423(323?1? ?23?2222 2)2(3?16? . 22 2)2?1(10?42243?10? ）142（10? 2?2226?4?2?4- 3 - . =222)(2?2= 求下列代数式的最大或最小值：例3.226x+1 . 2x x+5x+1； 22555?22+1 xx+2解：x×+5x+1? 422?2152. ）（x+ 4252. 是最小值0x+，其中）0（ 22152. x=即当+5x+1时，x有最小值 42122 +3x-2（x）2x6x+1 299132) x+=2(x+2×? 44

5、221132 +）2（x+ 2232 是最大值，0（x+，其中）02 21132. 6x+1有最大值时，2xx=当 22 解下列方程：4.例 242 ；+2xy+y xx+1=0 22+4y+10=0. x+2xy+6x+2y 2242 =0 . +2xy+y（折项，分组）解：（x2x）（1x222 （配方） 1) (x+(x+y)=0. - 4 - 根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”. 2?0?x?1? 得 ?0?x?y?x?1x?1,? 或?y?1y?1?222x+2xy+y+6x+6y+9+y2y+1=0 . (折项，分组) 222y+1=0. +9+y(x+y)+6

6、（x+y）22 （配方）(x+y+3)+(y1)0. 0y?3?x?x?4? ?01?y?y?1?2222例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a+b, n=c+d, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. 222222222222 +d解：mn=( a+b)( c)= ac+ +ad +b c+ b d22222222分 c2abcd ( +b= ac+ b d+2abcd+ ad) 组，添项2 2+(ad-bc)=(ac+bd)22例6. 求方程 x+y-4x+10y+16=0的整数解 22) +10y+25=25 (添项解：x-4x+16+y22 （配方）（x4）

7、+(y+5)25 16. 和；9折成两个整数的平方和，只能是250和252222?16?(x?4)x(x?4)?25（?4)?9?x（?4)0? 或或或?2222?9y?5)?16?0?25?y5)?(y5)?(y5)?(?x?4?0x?4? 得由?y?5?5y?0?- 5 - 4x?1?xx?9? 个解同理，共有12?10?y?55y?-y? 三、练习 因式分解：1. 22 4 422 -2xy+y-6x+6y+9 ； x+xy+y；x224+1. +xx-2ax-a 2. 化简下列二次根式：53 ）；（x< 2225?4x?20x94x?12x? 22322x?4?3?xx (1&l

8、t;x<2)；?x?24x? ； ； 212?175?3 ； ；3?2411?45?3?5?32. ； ）（6）÷（3）（142x?53516?8xx? 3求下列代数式的最大或最小值：122+x-1. 2x+10x+1 ； x 2b?a22. 2b+5 . 的值求：4.已知：a+b4a223?222 的值. 求：+c=111, ab+bc+ca=29 . a+b+c5.已知：a+ba+b+c=0, abc=8 . a, b, c 满足等式6.已知：实数111 . 值的正负 试判断代数式? cba432?16xx?23x?6x?2. ,求：7.已知：x= 3?198 215?x?x8 - 6 - 参考答案 2 ）31. （xy2?10 ， 2. 8， 0.5x， 3 22 2 ， 2 310 ）x3 72x 3（， 5235时，有最 x=1时，有最小值 3. 当x= 221 大值 2 324. a=2, b=1 代数式值是22ab+ac+bc<0 得出）=0 （ 6.负数。由a+b+c5. ±13 ，代入分母值为2， 先化简已知为4 可4. 值为5。328x+13