CH112第二型曲线积分ppt课件

1、第二节一、第二型曲线积分的概念与性质一、第二型曲线积分的概念与性质二、二、 第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分的计算法 第二型曲线积分 第十一章 一、一、 第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xOy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, 求移求移cosABFW “大化小大化小” “常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.ABF

2、 ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代变常代变”L把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替近似代替, ),(kk则有则有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功为所做的功为,kWF 沿沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1那么那么用有向线段用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点上任取一点在在kykxO3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中

3、其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2. 定义定义.设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条有向光的一条有向光滑滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或第二类曲线积分或第二类曲线积分. 其中其中, ),(yxPL 称为积分弧段称为积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为被

4、积函数称为被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ假设假设 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd)

5、,(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，的方向有关，对同一曲线，当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时，每一小曲线段的时，每一小曲线段的方向都改变，从而小曲线段的投影方向都改变，从而小曲线段的投影iiyx ,也随之也随之改变符号，故有改变符号，故有dy),(d),(dy),(d),(yxQxyxPyxQxyxPBAAB 而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线乘积，它与曲线 L 的方向无关的方向无关. 这是两类曲

6、线积分的这是两类曲线积分的一个重要区别一个重要区别. 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例. 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续连续,存在存在, 且有且有二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)

7、()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例1. 计算计算,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1 取取 x 为参数为参数, 那那么么OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023

8、xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 为参数为参数, 那那么么11:,:2yyxL54d2114yy从点从点xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( AyxO例例2. 计算计算其中其中 L 为为,:, 0aaxyBAaa(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyL

9、d2ttadsin2203332a(2) 取取 L 的方程为的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00那那么么那么那么例例3. 计算计算,dd22yxxyxL其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xxxx d4103(2) 原式原式yyy222yy d5104(3) 原式原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO1.

10、 定义定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质性质(1) L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光

11、滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz1. 知知为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd思考与练习思考与练习2. 设曲线设曲线C为曲面为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzx