微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面;2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式;4、利用坐标做向量的运算：设a = （ax，ay,az），b = （bx,by,bz）， 则 a - b = （a* - bx, ay - by, az - bz）, a = （ a*, ay, az）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：卜Jx2 + y2 + z2 ；2） 两点间的距离公式：AB| = U（X2 - Xi）2 + （y2 - yj2 +也-乙）23）方向角

2、：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ，4）方向余弦：cosx , COSy, cos?= rcos2 ：cos2cos2 '二 15）投影：P"卫二a cos申，其中®为向量a与U的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a |a | b cose1）a a = a2）a - b = a b = 0a b = axbx ayby azbz2、向量积：c = a b大小：|a丨b sin日，方向：a,b ,c符合右手规则1）a a = 0kazbz2)a / b = a b = 0 -ijaKb=axaybxby运算律：反交换律 b(三) 曲面及其方程1、曲面方程的概念：

3、S : f(x,y,z)二02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, zp 0 ,22绕y轴旋转一周：f (y,- x z)=o绕z轴旋转一周：f(-x2y2, zp 00的柱面3、柱面： F (x, y)=F (x, yp 0表示母线平行于z轴，准线为门I z = 0二次曲面(不考)2x椭圆锥面：7a2x椭球面：子2x2旋转椭球面：oa3)单叶双曲面:4) 双叶双曲面:2b22 y_ b22y2a2x2a2x2az22z2c2z2c2 y_ b22 y_ b22z2c2z2c2 2y_5）椭圆抛物面：a2 匕22X6）双曲抛物面（马鞍面）：T2ab22x+2y二 17）椭圆柱面：2

4、 ab2228）双曲柱面：x2 ay b2二 129）抛物柱面：x = ay（四）空间曲线及其方程F （x, y, z）=1、般方程:.G (x, y,z)二x = x(t)00'x = a cos t2、 参数方程：y二y（t），如螺旋线：y = asin tz = z（t）z 二 bt3、空间曲线在坐标面上的投影F （x, y,z） = 0，消去z，得到曲线在面xoy上的投影G（x, y,z） = 0 ''（五）平面及其方程1、 点法式方程：A（x- x。） B（y- y。） C（z- z。）法向量：n 二（A,B,C），过点（x。，y。，z。）2、一般式方程：Ax

5、 By Cz D =。截距式方程：1a b cH (x, y)=。 z =。二。3、 两平面的夹角：n厂（A,Bi,CJ，山=他月20，|A|A2 B1B2 C1C2cosJA2 + B； + C2 Ja； + B； + C；二二 2 二 AA2 b1b2 gc2 二 0 邑 £A2 B2 C2点P°(x°, y°, z°)到平面Ax By Cz0的距离:A2 B2 C2（六）空间直线及其方程A1X +般式方程：I A2X +1、对称式（点向式）方程:Biy CiZ Di = 0B2 y C2z D2 = 0X - X)目-* _ Z- Z0m

6、 npAx。By。Czg D方向向量：s = (m,n, p)，过点(x0, y°, z°)x = x0 mt参数式方程：yy。 ntz 二 Z。 pt两直线的夹角:q = (卫，P1)，S2 =(口2小2, P2)， |gm2 + nm 2 + P1P2IJm； n 1 pf 、m； n； p；L2 二m1m2mn2p1 p 0m1 _ m _ JL1 / L2 -m2 n2 p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,|Am + Bn 十 Cp|sinB2 C2m2 n2 p2L 二Am Bn Cp = 0ABC第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、

7、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域, 闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z二f （x,y），图形：3、极限：（呵）f（x,y A（x,y）T（Xo,yo）4、连续：（x,y!imU）f（X，y）= f（X0'y0）5、偏导数：fx（Xo,y。）limLX0f（X。X, y。）- f （xp, y。）fy（x°,y。）limcy > 0f（x。，y。y）- f （x。，y。）6、方向导数:f : f: f£COS石cos'其中：；为l的方向角。7、 梯度：z- f（x,y），则 gradf （x°,y。）= fx

8、（x°,y°）i fy（x°,y°）j©zdz8、全微分：设z二f （x,y），则（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理, 微分法定义：复合函数求导：链式法则介值定理)若z 二 f (u,v),u 二 u(x,y),v 二 v(x, y)，则:z:z: uzvzz:u:z : v !< 计& ! ZZ * "t- * x： ux:vx，:y： u:y:v :y3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三) 应用1、极值1)无条件极值：求

9、函数z二f (x, y)的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点(xo,y。)，令A 二 fxx(x°,y°)，B 二 fxy(x°,y°)，C = fyy(xo,yo)， 若AC - B2 0，A 0，函数有极小值，若AC - B2 0 , A 7，函数有极大值； 若AC - B2 7，函数没有极值； 若AC - B2 = 0，不定。2)条件极值：求函数z= f (x, y)在条件(x, y 0下的极值令：L(x, y)二 f(X, y) (x, y) Lagrange 函数解方程组Ly = 0（x,y）=02、几何应用1）曲线的切线与法平面x =

10、x（t）I曲线y二y（t），贝，上一点M（Xo,y°,z。）（对应参数为to）处的Z 二 z(t)X - X°y- y。Z- z0切线方程为：X（to）y （t。）z(t°)法平面方程为x (t°)(x - X。)y (t°)( y - y°) z (t°)( z- z°) = 02)曲面的切平面与法线曲面匕：F (x, y, z) = 0，则匕上一点M (X0,y°,z。)处的切平面方程为：Fx(x0,y°,z)(x-冷)Fy(x°,y°,z0)(y- y°) F

11、z(x°,y0,z°)(z-乙)=0x - Xoy - y°_ z- z0法线方程为：Fx(X0,y°,z°) Fy(Xo,y°,z0) Fz(x°,y0,z0)第三章重积分（一）二重积分1、（一般换元法不考）n定义：f（x, y）d 匚二 lim ' f（, k?ck0 , Dk性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积。计算：直角坐标a乞x乞b，D 二(x, y)f (x, y)dxdy -Dbdxa2(x)i(x)f(x,y)dyD 二(x, y)i(y门c乞2(y)d ，2 (y)1(y)y乞df(x, y)dx

12、dy 二 dy 、f(x,y)dxD2)极坐标D = (P,8)f(x, y)dxdy 二D""2(叫< e < P jPP2佝小f P cos / sin) ' d1、定义：2、性质：3、计算：1)直角坐标) 三重积分nf(x,y,z)dv二 limj f( k, k, k) % °扎TO心f(x,y,z)dv =f(x, y, z)dv柱面坐标二cos 二Z2(x,y)dxdy ) f(x,y,z)dzDZ1(x,y)bdz f(x,y,z)dxdyaDZ先二后一 ”111, f (x, y,z)d v 111, f (' cos，

13、 sin，, z)，d'dr dz球面坐标二 r sinr sinr cos2111, f (x, y, z)d v i i i f (r sin cos, r sin sin , r cos )r sin drd(三) 应用曲面 S: z 二 f (x, y), (x, y) D 的面积：A1 CZ)2(J)2 dxdyD ” c x c y第五章 曲线积分与曲面积分(一) 对弧长的曲线积分n1、定义：L f (x, y)ds 二 lim、f(J sL；;0 i 勻l f(x, y)ds ： Lg(x,y)ds.性质：f (x,y)- (x,y)ds 八l f(x, y)ds 二 f

14、(x, y)ds f (x, y)ds. ( L< L2).LL1L2在 L上，若 f(x,y厂 g(x,y)，则 Lf (x,y)d Lg(x,y)ds.ds = IL计算：f(x, y)x =(t),3、设rm(l为曲线弧L的长度)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为其中(t)/ (t)在:；上具有一阶连续导数，且y = ' (t),2(t)- 2(t)= o，则'(t) J 2(t) '2(t)dt ,)p A,f(X, y)ds 二 f (t),L:(二) 对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数 P(x,y)，nQ(x

15、,y)在 L 上有界，定义 LP(x,y)dx = li叮 P(, Q*，" k =1n,Q(x,y)dy 二 lim/ Q( , k) Tk .向量形式：L F dLP(x，y)dx Q(x, y)dy2、性质：ifrb-用表示L的反向弧,则L_F(x,y) drLF(x,y) dr3、计算：设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为x (t),1 (t"T P)，其中(t) (t)在2上具有一阶连续导数，且y= (t),® "t) +屮"t)式 o，贝y,P(x,y)dx Q(x,y)dy 二P (t),

16、(t)(t) Q (t),(t) (t)dtLCt4、两类曲线积分之间的关系：x=(t)设平面有向曲线弧为L : iyj(t)，L上点(S)处的切向量的方向角为:cos：(t)2(t)cos(t)(t)+屮则丄 Pdx Qdy 二(Pcos： Qcos )ds(三) 格林公式1、格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线 L围成，函数P(x,y),Q(x,y) 在心Q PD上具有连续一阶偏导数，则有仃dxdyqPdx+Qdyd i x y 丿l则:Qx2、G为一个单连通区域，函数P(x, y),Q(x, y)在G上具有连续一阶偏导数，:P.：y =曲线积分-Pdx Qdy在G内与路径无关'

17、; yL二曲线积分口 Pdx Qdy二0L= P(x,y)dx Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分(四) 对面积的曲面积分1、定义：设二为光滑曲面，函数f (x, y, z)是定义在匕上的一个有界函数，n定义(x,y,z)dS“imf( i, i , J Si2、 计算：“一投二换三代入”z(x,y)，(x, y) Dxy，则f(x,y,z)dS二 fx,y,z(x,y)J 1 Zx2(x,y) Zy2(x,y)dxdyDxy"(五) 对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设匕为有向光滑曲面，函数 P(x, y,z),Q(x,

18、 y, z),R(x, y,z)是定义在匕上的有界n函数，定义 J,R(x,y,z)dxdy = 1密 R® J i ,匚"(心人_ i =1n同理，P(x,y,z)dydz= 1叫' P( i, i, J( SJyz' i =1nQ(x,y,z)dzdx= li叫' R( i , i, J( 壮3、性质：1) 一，贝Sf dydz Qdzdx Rdxdy! Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy-122) 厂表示与匕取相反侧的有向曲面，贝_Rdxdy.Rdxdy4、计算：一一一投二代三定号”一 z 二 z(x, y)

19、, (x, y) Dxy 甘 z(x, y)在 Dxy 上具有一阶连续偏导数，R(x, y, z)在匕上连续，则=R(x,y,z)dxdy Rx, y,z(x, y)dxdy匸 为上侧取Dxy“+ :3为下侧取“-”5、两类曲面积分之间的关系：、Pdydz Qdzdx Rdxdy 二、Pcos Qcos Rcos dS其中：-,为有向曲面二在点（x,y,z）处的法向量的方向角。（六）高斯公式cPdQdR+ + $z丿1、高斯公式：设空间闭区域 门由分片光滑的闭曲面匕所围成，匕的方向取外 侧，函数P, Q, R在门上有连续的一阶偏导数，则有dxdydz* Pcos： Qcos： Rcos dSd

20、xd yd z 二-Pd ydz Qd zd x Rdxd y或心或 J ex（七）斯托克斯公式&RdQ.丄fpdydz +dzdx +工yoz丿z£xj< dxBy丿d xd y =jPd x+ Qd y + Rdz1、斯托克斯公式：设光滑曲面3的边界-是分段光滑曲线，3的侧与I的 正向符合右手法则，P（x, y,z）,Q（x, y, z）,R（x,y,z）在包含在内的一个空间域 内具有连续一阶偏导数，则有打z为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：d yd zd zd xd xd y:y Q二 Pdx Qd y Rdz第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数

21、（或微分）的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程 ；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶 .能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解 .如果微分方程的解中含任意常数，且独立的（即不可合并而使个数减少的）任意常 数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解 .不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)dy二f(x)dx或少=h(x)g(y)dx对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解:g(y)dy = f(x)dx2、齐次微分方程：y

22、 = (丫)或者x 八(仝)xy在齐次方程 科二(-)中，令u二丫,可将其化为可分离方程x , xydydu令u 二丄，则y =xu, x u,xdxdx代入微分方程即可。形如 y = f (ax by - c)的方程.F令 u = ax by c,则 u ' = a by ,原方程可化为 u = f (u).(2)形如 y' f(aix)的方程.b可通过坐标平移去去掉常数项。3、一阶线性微分方程型如y亠p(x)y =q(x)称为一阶线性微分方程。 其对应的齐次线性微分方程的解为y二C< p(x)dxo利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解p(x)dx dx+C)

23、。n-p(x)d x目虽(q(x)e4、伯努利方程：y p(x)y=q(x)yn ( n -0,1)将方程两端同除以yn,得=y*y * p(x)y1J =q(x)1 dun dy *dy 1于是uu的通解1为T(i)y匸，y匸T；dx'.(1 -n) p(x)dx(1 -n) p(x)dxu =e( (1 -n)q(x)eC )。n -0,1)u5、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程(1)(2)(3)y(nBf(x)型的微分方程6.4.2 y(n)= f(x,y(n)型的微分方程6.4.3 Bf (y,y )型的微分方程8、线性微分方程解的结构(1 )函数组的线性无关和线性相关(2)线性微分方程的性质和解的结构叠加原