D7-微分方程-二阶线性方程10-11-2辅ppt课件

1、 第二章 微分方程(二)高阶线性微分方程知识要点知识要点典型例题典型例题机动 目录 上页 下页 返回 完毕 01定理定理1 设(即是齐次微分方程的两个线性无关的特解12( ),( )y xyx( )( )0y P x y+Q x y12( )( )y xyx (1) 线性微分方程解的结构定理常数),那么1122( )+( )Y = c y xc yx是此方程的通解.为任意常数)12c ,c(定理定理2 设 y是非齐次微分方程( )( )( )y P x y+Q x yf x一个特解,1 122( )+( )Y=c y xc y x是对应的齐次方程的通y= y +Y1122( )+( )= y

2、+c y xc yx是非齐次方程的通解.的解,那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 02 知识要点知识要点设定理定理3的两个特解,分别是非齐次方程1( )( )( )y+P x y+Q x y= f x 与12( ),( )y xyx那么12( )+( )y= y xyx2( )( )( )y+P x y+Q x y= fx的特解.的两个不同的特解, 那么是非齐次方程对应的齐次方程的解.12( )( )( )+( )y+P x y+Q x y= f xfx定理定理4 设12( ),( )y xyx是非齐次方程( )( )( )y+P x y+Q x y= f x12( )( )( )y x

3、= y xyx是方程机动 目录 上页 下页 返回 完毕 03(2) 二阶常系数齐次方程的解法:的特征方程为当方程的通解为:时,20rprq.0ypyqy特征方程有两个相异实根240pq(特征方程法)12,r r1212=r xr xyc ec e.当240pq时,特征方程有两个相同实根1,2=ri方程的通解为:112= ()r xycc x e .当240pq时,特征方程有一对共轭复根12=rr方程的通解为:12=( cossin)xyecxcx .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 04(3) 二阶常系数非齐次方程的通解Y.再求非齐次方程先求对应的齐次方程的求法 待定系数法.的一个特解即为非

4、齐次方程的通解.特解自由项为=( )y+ py+qyf x= 0y+ py+qy=( )y+ py+qyf xy .y=Y+y=( )y+ py+qyf xy( )( )xnf xe P x时,可设:( ),kxnyx e Q xk 按不是特征根是特征单根是特征重根而取012( )nQ x是系数待定的n次多项式:的解法其中0( ) =Q xA1( ) =Q xA+Bx22( ) =Q xA+Bx+Cx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 05123,y yy设线性无关的函数( )( )( )yp x yq x yf x都是二阶非齐次线性方程解解的解,11223( ) ;A C yC yy为任意常

5、数,123,y yy例例1 (89.3分分)1323,yyyy12,C C则该非齐次方程的通解是( ) .1122123( ) ();B C yC yCCy1122123( ) (1);CC yC yCCy1122123() +(1)D C yC yCCy .根据线性方程解的结构知:假设是非齐次线性方程的解,那么是对应的齐次线性方程的解,又线性无关,1323yyyy与所以该非齐次方程的通解为1132233)()+yC ( yyCyyy .即为:1122123=+(1)yC yC yCCy .故选项(D)正确.D(8 - 3)题型题型1 高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构机动 目录

6、 上页 下页 返回 完毕 16例例1 (96.3分分) 微分方程的通解为_.特征根为:解解故可设由于 = 1 不是特征方程的根,2220rr.特征方程为1,21ri. 12(cossin ).xYe CxCxxyae .将22xxxxaeaeaee22xyyye对应的齐次方程的解为:代入原方程得:则a = 1 .,xxxyaey aey ae方程的特解为:xye .原方程的通解为:12(cossin )+.xxyYye CxCxe应填:12(cossin )+.xxye CxCxe12(cossin )+xxye CxCxe注释注释 本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.那么机动 目录 上页

7、 下页 返回 完毕 7题型题型2 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程解解求微分方程的通解.例例2 (10.10分分)322xyyyxe2320rr.特征根(1)(2)0rr.121 ,2rr.()xyx axb e .特征方程为:212xxYC eC e .对应的齐次方程的解为:(),xyx axb e由于 = 1 是特征方程的单根,故可设将代入原方程解得:(2)xyx xe . 注释注释特解为本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.所给方程的通解为:212(2)xxxyC eC ex xe .(8 - 37)2(2)xy axab xb e2(4)22 xy axab xab e1

8、,2ab. 为:及机动 目录 上页 下页 返回 完毕 8例例3 (09.4分分)若二阶常系数齐次微分方程满足条件则非齐次方程解解12(),xyCC x e的通解为(0)2,(0)0yy0y ay by的解为_.由于121 ,rr是方程1,2,AB的通解,yAxB,注释注释 本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.2yyyx2 ,1ab. 该方程的两个特征根为yaybyx12()xyCC x e0yayby故设非齐次方程的特解为代入方程得其通解为12()2xyCC x ex.(0)2,(0)0yy由可得120,1CC. 所以2xyxex. 2xyxex (8 - 36)将其机动 目录 上页 下页 返回 完毕 9例例4 (97.7分分)求 f (u) .设函数 f (u) 具有二阶连续导数, 而(sin )xzf ey满足方程分析分析22222,xzze zxysin ,xuey( )sin ,xzf u eyx是一个偏微分方程,本题给出的若令解解 令可得关于f (u)的常微分方程, 从而可求得 f (u) .则z = f (u) , 求出二阶偏导后代入原方程22222xzze zxy2222( )sin( )sinxxzf u eyf u ey.x( )cos ,xzf u eyy2222( )cos( )