201x届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题理北师大版

1、高考中的导数应用问题高考中的导数应用问题高考专题突破一考点自测考点自测课时作业课时作业题型分类深度剖析题型分类深度剖析内容索引内容索引考点自测12345解析答案解析解析f(x)2cos x2,2，当两函数的切线平行时，xp0，xQ1.2.(2017全国)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为 A.1 B.2e3 31245解析3答案解析解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1.由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1. 所以f(x)(x2x1)ex1，

2、f(x)ex1(x2x2).由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)1. 故选A.12453解析3.(2018西宁质检)若f(x) x2bln(x2)在(1，)上是减少的，则b的取值范围是 A.1，) B.(1，)C.(，1 D.(，1)答案即bx(x2)在(1，)上恒成立.由于g(x)x(x2)在(1，)上是增加的且g(1)1，所以b1.故选C.124534.若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b .解析答案1l

3、n 2解析解析yln x2的切线方程为y xln x11(设切点横坐标为x1).124535.(2017江苏)已知函数f(x)x32xex ，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是 .解析12453答案因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a).3x20，当且仅当x0时“”成立，所以f(x)在R上是增加的，所以2a21a，即2a2a10，12453题型分类深度剖析例例1 (2018沈阳质检)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；题型一利用导数研究函数性质题型一利用导

4、数研究函数性质解答解解由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)，当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)是增加的；所以当a0时，函数g(x)的递增区间为(0，)；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围.解答解解由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)是增加的，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是减少的，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；可得当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)是减少的，不符合题意；

5、当x(1，)时，f(x)0，f(x)是减少的.所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意.利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性，可转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.思维升华思维升华解答跟踪训练跟踪训练1 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex (xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的递增区间；解解当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，

6、即(x22)ex0，因为ex0，解答(2)若函数f(x)在(1,1)上是增加的，求a的取值范围.解解因为函数f(x)在(1,1)上是增加的，所以f(x)0对x(1,1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，题型二利用导数研究函数零点问题题型二利用导数研究函数零点问题例例2 设函数f(x)ln x ，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；解答当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上是增加的，f(x)的极小值为2.解答则(x)

7、x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上是增加的；当x(1，)时，(x)0)，f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，a1，b1.(2)证明：当x1时，f(x)(x1)2；证明证明f(x)x2ln xx1，f(x)(x1)2x2ln xxx2，设g(x)x2ln xxx2(x1)，则g(x)2xln xx1.由(g(x)2ln x10，得g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0，g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0.f(x)(x1)2.证明(3)若当x1时，f(x)m(x1)2恒成立，求实数m的取值范围.解答解解设h(x)

8、x2ln xxm(x1)21(x1)，则h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)知x2ln x(x1)2x1x(x1)，xln xx1，h(x)3(x1)2m(x1)(32m)(x1).h(x)在1，)上是增加的，h(x)h(1)0成立.h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x0 1，当x1，x0)时，h(x)是减少的，则h(x)h(1)0，h(x)在1，x0)上是减少的，h(x)h(1)0，即h(x)0不成立.232em求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求

9、解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解.思维升华思维升华解析跟踪训练跟踪训练3 已知函数f(x)x32x2xa，g(x)2x ，若对任意的x11,2，存在x22,4，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是 .答案解析解析问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，对于f(x)，f(x)3x24x1，x1(1， )1(1,2)2f(x)00 f(x)a4aa2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下：f(x)maxa2，f(x)mina4，课时作业基础保分练基础保分练123456解答解答123456x1f(x)00f(x)0当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况

10、如下表：12e52e1234561234561210,e.2解答2.已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a的值；解解f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.123456证明(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)是增加的，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x).123456h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实

11、根.综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.1234563.(2018长春质检)已知函数f(x)x22exm1，g(x)x (x0).(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；解答要使g(x)m有零点，只需m2e.即当m2e，)时，g(x)m有零点.123456(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根.解答123456解解若g(x)f(x)0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点.f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图像有两个交点，则m1e2

12、2e，即当me22e1时，g(x)f(x)0有两个相异实根.m的取值范围是(e22e1，).1234564.(2017广西质检)已知函数f(x) aln x(a0，aR).(1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；解答令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，由f(x)0，得0 x0，得x1，所以当x1时，f(x)有极小值1，无极大值；f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0,1).123456解答(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围.123456使得f(x0)0成立，即f(x)在区间(0，e上的最小值小于0.即f(x)在区间(0

13、，e上是减少的，123456所以f(x)在区间(0，e上是减少的，则f(x)在区间(0，e上的最小值为显然f(x)在区间(0，e上的最小值小于0不成立；123456xf(x)0f(x)极小值123456得1ln ae，即a(e，).1234565.(2018届珠海二中月考)已知函数f(x)xaln x，aR.(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；解答技能提升练技能提升练123456当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上是增加的，所以f(x)在(0，)上没有极值点.当a0时，由f(x)0，得0 x0，得xa，所以f(x)在(0，a)上是减少的，在(a，)上是增

14、加的，即f(x)在xa处有极小值，无极大值.所以当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.123456(2)设g(x) ，若不等式f(x)g(x)对任意x1，e恒成立，求a的取值范围.解答123456不等式f(x)g(x)对任意x1，e恒成立，123456当1ae，即ae1时，h(x)在1，e上是减少的，所以h(x)的最小值为h(e)，当1a1，即a0时，h(x)在1，e上是增加的，所以h(x)的最小值为h(1)，由h(1)11a0，可得a2，即2a0；当11ae，即0ae1时，可得h(x)的最小值为h(1a)，因为0ln(1a)1，所以0aln(1a)2，即0a0时，求函数F(x)的单调区间；解答拓展冲刺练拓展冲