一元函数微分学的应用课件

1、一元函数微分学的应用第一节第一节 柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理与）中值定理与 洛必达（洛必达（LHospitalLHospital）法则）法则 第二节第二节 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 及函数的单调性及函数的单调性 *第四节第四节 曲曲 率率 第三节第三节 函数的极值与最值函数的极值与最值 第五节第五节 函数图形的描绘函数图形的描绘 第四章第四章 一元函数微分学的应用一元函数微分学的应用第六节第六节 一元函数微分学在经济上的应用一元函数微分学在经济上的应用一元函数微分学的应用 一、一、 柯西中值定理柯西中值定理 二、二、 洛必达法

2、则洛必达法则 第一节第一节 柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理与洛必）中值定理与洛必达（达（LHospitalLHospital）法则）法则 一元函数微分学的应用定定理理 1 1 （柯柯西西中中值值定定理理） 如如果果函函数数)(xf与与 )(xF满满足足下下列列条条件件： ( (1 1) ) 闭闭区区间间,ba上上连连续续； (2) (2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导； ( (3 3) ) )( xF在在),(ba内内的的每每一一点点均均不不为为零零， 那那么么， 在在),(ba内内至至少少有有一一点点， .f(b)f(a)f ()F(b)F(a)F ()使得使得一、

3、一、 柯西柯西中值定理中值定理一元函数微分学的应用二、二、洛必达洛必达法则法则 把把两两个个无无穷穷小小量量之之比比或或两两个个无无穷穷大大量量之之比比的的极极限限称称为为 00型型或或 型型不不定定式式( (也也称称为为 00型型或或 型型未未定定型型) )的的极极限限, ,洛洛必必达达法法则则就就是是以以导导数数为为工工具具求求不不定定式式的的极极限限方方法法 ( (1 1) ) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； (2) (2) )(xf与与)(xg在在 0 x的某邻域内（点的某邻域内（点 0 x可除外）可除外）可导，且可导，且0)( xg； 定定理理 2 2 ( (洛

4、洛必必达达法法则则) ) 若若 一元函数微分学的应用 ( (3 3) ) Axgxfxx)()(lim0( ( A为为有有限限数数，也也可可为为或或 ) )，则则 证证 由于我们要讨论的是函数在点由于我们要讨论的是函数在点 0 x的极限，的极限，而极限与函数在点而极限与函数在点 0 x的值无关， 所以我们可补充的值无关， 所以我们可补充)(xf与与)(xg在在0 x的定义，而对问题的讨论不会发生任何影的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响令响令0)()(00 xgxf，则，则)(xf与与)(xg在在点点 0 x就连就连续了在续了在 0 x附近任取一点附近任取一点 x，并应用柯西中值定理，并应用

5、柯西中值定理，得得 Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x与 0 x之间) . 一元函数微分学的应用由由于于0 xx 时时，0 x ，所所以以，对对上上式式取取极极限限便便得得要要证证的的结结果果，证证毕毕 注注：上述定理对：上述定理对x时的时的 00未定型同样适用，对于未定型同样适用，对于0 xx 或或x时的未定型时的未定型 ，也有相应的法则，也有相应的法则 一元函数微分学的应用例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2331xxxxxx = 12333lim2

6、21xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim 解解 xxxtancos1lim = xxx2cos1sinlim = 0 一元函数微分学的应用例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx 一元函数微分学的应用例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 这是这是未定型，通过“通分”将其化为未定型，通过“通分”将其化为

7、 00未定型未定型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 除未定型除未定型00与与之外， 还有之外， 还有00,1 ,0 ,0等未等未定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就的书籍，下面就未定型再举一例未定型再举一例 一元函数微分学的应用 在使用洛必达法则时，应注意如下几点：在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于每次使用法则前，必须检验是否属于 00或或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；未定型，若不是未

8、定型，就不能使用该法则； ( (2 2) ) 如如果果有有可可约约因因子子， 或或有有非非零零极极限限值值的的乘乘积积因因子子，则则可可先先约约去去或或提提出出，以以简简化化演演算算步步骤骤； ( (3 3) ) 当当(x)g(x)flim不不存存在在( (不不包包括括 的的情情况况) )时时，并并不不能能断断定定g(x)f(x)lim也也不不存存在在，此此时时应应使使用用其其他他方方法法求求极极限限 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . 一元函数微分学的应用2 2把柯西中值定理中的“把柯西中值定理中的“)(xf与与)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续”换成“上连续

9、”换成“f(x)与与)(xF在开区间在开区间 ),(ba内连续”内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明出函数图象）说明 思思考考题题 1 1用用洛洛必必达达法法则则求求极极限限时时应应注注意意什什么么？ 一元函数微分学的应用 第二节第二节 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值）中值定理及函数的单调性定理及函数的单调性 一、一、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 二、二、 两个重要推论两个重要推论 三、三、 函数的单调性函数的单调性 一元函数微分学的应用定理定理 1 1 如果函数如果函数)(x

10、f满足下列条件：满足下列条件： （1 1） 在在 区间区间,ba上连续；上连续； （2 2） 在开区间在开区间),(ba内可导，那么，在内可导，那么，在),(ba内内至少有一点至少有一点 ，使得，使得 )()()(abfafbf . . 如果令如果令abxax,，则上式为，则上式为 xfxfxxf)( )()( , 其其 中中介介 于于x与与xx之之 间间 ， 如如 果果 将将 表表 是是 成成) 10(xx，上上式式也也可可写写成成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 一一、拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理一元函数微分学的应用推论推论 1 1 如果函数如果函数)(xf在区间在区

11、间),(ba内满足内满足0)( xf，则在，则在),(ba内内Cxf)(（C为常数） 为常数） 证证 设设21,xx是区间是区间),(ba内的任意两点，且内的任意两点，且21xx ，于是在区间，于是在区间,21xx上函数上函数)(xf满足拉格朗日满足拉格朗日中值定理的条件，故得中值定理的条件，故得 由于由于0)( f，所以，所以0)()(12xfxf，即，即)()(21xfxf. . 212112()()( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二、两个重要推论二、两个重要推论一元函数微分学的应用因因为为21

12、,xx是是),(ba内内的的任任意意两两点点，于于是是上上式式表表明明)(xf在在),(ba内内任任意意两两点点的的值值总总是是相相等等的的，即即)(xf在在),(ba内内是是一一个个常常数数，证证毕毕 推推 论论 2 2 如如 果果 对对),(ba内内 任任 意意 x， 均均 有有)()(xgxf，则则在在),(ba 内内)(xf与与)(xg之之间间只只差差一一个个常常数数，即即Cxgxf)()(（C为为常常数数） 证证 令令)()()(xgxfxF，则则0)( xF，由由推推论论 1 1知知 ，)(xF 在在),(ba内内 为为 一一 常常 数数C， 即即),(,)()(baxCxgxf，

13、证证毕毕 一元函数微分学的应用如图观察区间如图观察区间,ba上的单调递上的单调递增函数增函数)(xf的图像，当的图像，当 x增大时，增大时，曲线上任一点处的切线与曲线上任一点处的切线与 x轴正轴正向夹角为锐角，即向夹角为锐角，即0)( xf（个别点（个别点处处( )0fx） ，反过来是否也成立） ，反过来是否也成立呢？我们有如下定理：呢？我们有如下定理： 定定理理 2 2 设设函函数数)(xf在在,ba上上连连续续，在在),(ba内内可可导导，则则有有 （1 1）如如果果在在),(ba内内0)( xf，则则函函数数)(xf在在,ba上上单单调调增增加加； xy0ab三、函数的单调性三、函数的单

14、调性一元函数微分学的应用证证 设设21,xx是是,ba上上任任意意两两点点, ,且且21xx ，由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理有有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如如果果0)( xf，必必有有0)(f，又又012 xx， 于于是是有有0)()(12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由由于于21,xx)(21xx 是是,ba上上任任意意两两点点，所所以以函函数数)(xf在在,ba上上单单调调增增加加 同理可证，如果同理可证，如果0)( xf，则函数，则函数)(xf在在,ba上上单调减少，证毕单调减少，证毕 （2 2）如如果果在在),(ba内内0)( xf，则则

15、函函数数)(xf在在 ,ba上上单单调调减减少少 一元函数微分学的应用函函数数单单调调区区间间的的确确定定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的点 （称这样的点为驻点） ，的点 （称这样的点为驻点） ， （2 2）用用这这些些驻驻点点将将)(xf的的定定义义域域分分成成若若干干个个子子区区间间，再再在在每每个个子子区区间间上上判判断断函函数数的的单单调调性性. . 例例 讨讨论论函函数数323)(xxxf的的单单调调性性 解解 因因为为323)(xxxf, , 所所以以)2(336)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得驻点：得驻点：01x，22x, ,用它们将用它们将)(xf的

16、的定义区间定义区间),(分成三个部分区间分成三个部分区间: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2( . . 一元函数微分学的应用当当)0 ,(x时， 有时， 有0)( xf； 当； 当)2 , 0(x时时0)( xf; ;当当), 2( x时，时，0)( xf， 因此， 由定理， 因此， 由定理 2 2 知， 函数知， 函数)(xf在区间在区间)0 ,(与与), 2( 上单调减少，在区间上单调减少，在区间)2 , 0(单调增单调增加加 一元函数微分学的应用1 1 将将拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理中中的的条条件件)(xf“在在闭闭区区间间,ba上上连连续续”换换为为“在在开开区区),(b

17、a内内连连续续”后后, ,定定理理是是否否还还成成立立? ?试试举举例例( (只只需需画画图图) )说说明明 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理 若若)(xf满足如下满足如下 3 3 条条: : ( (1 1) ) 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续; ; (2) (2) 在开区间在开区间),(ba内可导内可导; ; (3) (3) 在区 间在区 间,ba端 点出的 函数 值相等端 点出的 函数 值相等 , ,即即)()(bfaf, ,则在开区间则在开区间),(ba内至少存在一点内至少存在一点, ,使使得得0)(f 思思考考题题 2 2 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)中

18、值定理是微分中值定理中一中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论的条件与结论, ,并回答所列问题并回答所列问题 一元函数微分学的应用需回答的问题需回答的问题: : ( (1 1) ) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别区别? ? (2) (2) 若将罗尔中值定理中条件若将罗尔中值定理中条件(1)(1)换成“在开区间换成“在开区间),(ba内连续”内连续”, ,定理的结论还成立吗定理的结论还成立吗? ?画图说明画图说明 (3) (3) 不求不求)4)(3)(2)(1

19、()(xxxxxf的导数的导数, ,说明方程说明方程)(xf 有几个实根有几个实根, ,并指出它们所在的区间并指出它们所在的区间 一元函数微分学的应用 第三节第三节 函数的极值与最值函数的极值与最值 一、函数的极值一、函数的极值 二、函数的最值二、函数的最值 一元函数微分学的应用定义定义 设函数设函数)(xf在在 0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义, ,且对且对此邻域内任一点此邻域内任一点)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf的一个极大值的一个极大值; ;同样同样, ,如果对此邻域如果对此邻域内任一点内任一点)(0 xxx, ,均有均

20、有)()(0 xfxf, ,则称则称)(0 xf是函是函数数)(xf的一个极小值函数的极大值与极小值统称为的一个极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点函数的极值使函数取得极值的点 0 x, ,称为极值点称为极值点 一、函数的极值一、函数的极值一元函数微分学的应用定理定理 1 1 ( (极值的必要条件极值的必要条件) ) 设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, , 且在点且在点0 x取得极值取得极值 , ,那么那么0)(0 xf 观察可导函数在取得极值处切线特征，观察可导函数在取得极值处切线特征， 可以看出可以看出, ,可导函数在取得极值处的可导函数在取得极值

21、处的 切线是水平的切线是水平的, ,即极值点即极值点 0 x处处, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 证证 只证只证)(0 xf是极大值的情形由假设是极大值的情形由假设, , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(lim)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyO一元函数微分学的应用因因为为)(0 xf是是)(xf的的一一个个极极大大值值, ,所所以以对对于于 0 x的的某某邻邻域域内内的的一一切切 x, ,只只要要0 xx , ,恒恒有有)()(0 xfxf因因此此, ,当当0 xx 时时, , 有有0)()(0

22、0 xxxfxf于于是是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 当当0 xx 时时, ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,从而得到从而得到0)(0 xf 类似可证类似可证)(0 xf为极小值情形为极小值情形, ,证毕证毕 一元函数微分学的应用函函数数极极值值点点特特征征：对对于于可可导导函函数数由由定定理理 1 1 知知，可可导导函函数数)(xf的的极极值值点点必必是是)(xf的的驻驻点点反反过过来来, ,驻驻点点却却不不一一定定 是是)(xf的极值点如的极值点如0 x是函数是函数3)(xxf的驻点，但的驻点，但不是其极

23、值点对于连续函数不是其极值点对于连续函数, ,它的极值点还可能是它的极值点还可能是使导数不存在的点使导数不存在的点, ,称这种点为尖点 例如称这种点为尖点 例如, ,xxf)(，但但0 x处导数不存在处导数不存在, ,但是，但是，0 x是它的极小值点是它的极小值点 定理定理 （极值的第一充分条件）设（极值的第一充分条件）设)(xf在点在点 0 x连续，在点连续，在点 0 x的某一空心邻域内可导当的某一空心邻域内可导当 x由小由小增大经过增大经过 0 x时，如果时，如果 (1)(1) )(xf 由正变负，那么由正变负，那么 0 x 是极大值点；是极大值点；(2)(2) )(xf 由负变正，那么由

24、负变正，那么 0 x是极小值是极小值点；点；(3) (3) )(xf 不变号，那么不变号，那么 0 x不是极值点不是极值点 一元函数微分学的应用证证 （）由假设知，（）由假设知，)(xf在在 0 x的左侧邻近单调的左侧邻近单调增加增加, , 即当即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf; ;在在0 x的右侧邻近的右侧邻近单调减少，即当单调减少，即当0 xx 时，时，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的极大值点极大值点, , )(0 xf是是)(xf的极大值的极大值 类似可以证明（类似可以证明（2 2） ） ( (3 3) ) 由由假假设设，当当 x在在 0 x 的的某某

25、个个邻邻域域)(0 xx 内内取取值值时时，)0(0)( xf，所所以以，在在这这个个邻邻域域内内是是单单调调增增加加（减减少少）的的，因因此此0 x不不是是极极值值点点，证证毕毕 定理定理 （极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件） 设设)(xf在点在点 0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, ,0)( xf 一元函数微分学的应用( (1 1) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则)(xf在在点点 0 x取取得得极极大大值值； ( (2 2) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则)(xf在在点点 0 x取取得得极极小小值值 证证 （）由由于于0)(0 xf, ,所所以

26、以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某邻域内必有的某邻域内必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因为因为0)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 一元函数微分学的应用从而知道， 当从而知道， 当0 xx 时，时，0)( xf； 当； 当0 xx 时，时，0)( xf, ,由定理知由定理知)(0 xf为为)(xf的极大值类似地可证明的极大值类似地可证明（） ，证毕（） ，证毕. . 例例 求求函函数数xxxxf96)(23的的极极值值. . 解解 一一 因因 为为96)(23xxxf的的

27、 定定 义义 域域 为为( (,) ), ,且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得得驻驻点点11x, ,32x . . 在在) 1 ,(内内，0)( xf，在在)3 , 1 (内内，0)( xf, ,故故由由定定理理2 2 知知，4) 1 (f为为函函数数)(xf的的极极大大值值 一元函数微分学的应用解解二二 因因为为xxxxf96)(23的的定定义义域域为为),(， 且且 9123)(2xxxf, ,126)( xxf 令令0)( xf, ,得得驻驻点点11x, ,32x又又因因为为06) 1 ( f, ,所所以以，4) 1 (f为为极极大大值值 06)3

28、( f, ,所所以以0)3(f为为极极小小值值 例例 2 2 求求函函数数32) 1(2)(xxf的的极极值值 解解 因因 为为32) 1(2)(xxf的的 定定 义义 域域 为为),(, ,且且)(xf在在),(上上连连续续，所所以以 一元函数微分学的应用131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x时时, ,)(xf 不不存存在在 , , 所所 以以1x为为)(xf的的 可可 能能 极极 值值 点点 在在) 1 ,(内内, ,0)( xf; ;在在), 1 ( 内内, ,0)( xf, ,由由定定理理知知)(xf在在1x处处取取得得极极大大值值2) 1 (f 一元函数微分学

29、的应用对于闭区间对于闭区间,ba上的连续函数上的连续函数)(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区理知一定存在着最大值和最小值显然，函数在闭区间间,ba上的最大值和最小值只能在区间上的最大值和最小值只能在区间),(ba内的极内的极值点和区间端点处达到因此可得求闭区间值点和区间端点处达到因此可得求闭区间,ba上的上的连续函数连续函数)(xf的最值步骤为： （的最值步骤为： （1 1）求出一切可能的极）求出一切可能的极值点值点( (包括驻点和尖点包括驻点和尖点) )和端点处的函和端点处的函数值， （数值， （2 2）比较）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大

30、值，最小这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值的值为函数的最小值 二、函数的最值二、函数的最值一元函数微分学的应用例例 3 3 求求函函数数xxxxf1232)(23在在4 , 3上上的的最最大大值值和和最最小小值值 解解 因因为为 在在xxxxf1232)(23在在4 , 3上上连连续续，所所以以在在该该区区间间上上存存在在着着最最大大值值和和最最小小值值 又因为又因为) 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得驻点得驻点21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9)3(f, ,128)4(f 比较各值可得

31、函数比较各值可得函数)(xf的最大值为的最大值为128)4(f, ,最小值最小值为为7) 1 (f 对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断定函数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大值或最小值 一元函数微分学的应用理论上可以证明： 若实际问题断定理论上可以证明： 若实际问题断定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x, ,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点

32、0 x取得相应的最大值（最小值） 取得相应的最大值（最小值） 例例 4 4 有有一一块块宽宽为为a2的的长长方方形形铁铁皮皮，将将宽宽的的两两个个边边缘缘向向上上折折起起， 做做成成一一个个开开口口水水槽槽， 其其横横截截面面为为矩矩形形，高高为为x, ,问问高高 x取取何何值值时时水水槽槽的的流流量量最最大大( (下下图图所所示示为为水水槽槽的的横横截截面面）？ 解解 设设两两边边各各折折起起 x, ,则则横横截截面面积积为为 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx一元函数微分学的应用这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时，)(xS取得最大值取得最大值 由于

33、由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5 铁铁路路线线上上AB的的距距离离为为 1 10 00 0 k km m, ,工工厂厂C距距A处处为为 2 20 0 k km m, ,AC垂垂直直于于AB, ,要要在在AB线线上上选选定定一一点点 D向向工

34、工厂厂修修筑筑一一条条公公路路，已已知知铁铁路路与与公公路路每每 k km m 货货运运费费之之比比为为3 3：5 5, ,问问D选选在在何何处处，才才能能使使从从B到到 C的的运运费费最最少少? ? 一元函数微分学的应用解解 设设 xAD (km),(km),则则 xDB100, ,2220 xCD 由由于于铁铁路路每每 k km m 货货物物运运费费与与公公路路每每 k km m 货货物物运运费费之之比比为为3 3：5 5，因因此此，不不妨妨设设铁铁路路上上每每k km m 运运费费为为k3, ,则则公公路路上上每每 k km m运运费费为为k5, ,并并设设从从 B 到到 C 点点需需要

35、要的的总总运运费费为为 y, ,则则 )100(320522xkxky 0( x )100. . 由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 C BAD 一元函数微分学的应用又又因因为为 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得15x为函数为函数 y在在其定义域内的惟一驻点，故知其定义域内的惟一驻点，故知 y在在15x处取得最小处取得最小值，即值，即D点应选在距点应选在距 A为为 15 kmkm 处，运费处，运费最少最少 一元函数微分学的应用 1

36、1. . 画画图图说说明明闭闭区区间间上上连连续续函函数数)(xf的的极极值值与与最最值值之之间间的的关关系系 2 2. . 可可能能极极值值点点有有哪哪几几种种？如如何何判判断断可可能能极极值值点点是是否否为为极极值值点点. . 思思考考题题 一元函数微分学的应用 一、曲率的概念一、曲率的概念 二、曲率的计算二、曲率的计算* *第四节第四节 曲曲 率率 一元函数微分学的应用设设和和 , ,是曲线是曲线)(xfy 上两个点，假如曲线在上两个点，假如曲线在点和点和点的切线与点的切线与 x 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，那，那么， 当点从么， 当点从沿曲线沿曲线)(xfy 变到变到 时，时

37、， 角度改变了角度改变了 ，而改变这个角度所经过的路程则是弧长而改变这个角度所经过的路程则是弧长s AB，我们，我们自然就用比值自然就用比值s来刻画曲线段来刻画曲线段 AB上的弯曲程度，称上的弯曲程度，称为平均曲率为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如为平均曲率为了刻画曲线在某点处的曲率，我们有如下定义下定义 定义定义 称称sskxddlim0为曲线在点为曲线在点 A的曲率的曲率 一、曲率的概念一、曲率的概念一元函数微分学的应用例例 1 1 求求半半径径为为R的的圆圆的的平平均均曲曲率率及及曲曲率率. . 解解 在图中，由于在图中，由于BOA 等于等于 ， 又等于又等于Rs，所以，所以RsRss

38、1 为弧为弧 AB 段的平均曲率，段的平均曲率， 当当 时，有时，有0s， 所以圆上任意一点所以圆上任意一点 A 的曲率的曲率 RRsakss11limlim00 . O xyOABa+aaa一元函数微分学的应用可见可见, ,圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数圆上任一点处的曲率都等于圆半径的倒数. .因而圆的半径愈大因而圆的半径愈大, ,曲率愈小曲率愈小; ;半径愈小半径愈小, ,曲率愈大曲率愈大. .这这表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度. . 由于圆的半径等于圆的曲率的倒数由于圆的半径等于圆的曲率的倒数, ,所以对于一般所以对于一般的曲线的曲线, ,我们把它

39、在各点的曲率的倒数称为它在该点的我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的曲率半径曲率半径, ,记为记为R, ,因此因此, ,kR1( (如果如果0k, ,则说明曲率则说明曲率半径为半径为) ). . 一元函数微分学的应用以以s表示这条曲线由基点表示这条曲线由基点0M到点到点M的一段弧的一段弧0M M的长的长度（当度（当M在在0M右边时规定右边时规定0s, ,当当M在在0M左边时规定左边时规定0s）, ,弧长弧长 s是是 x的函数，的函数， 设函数设函数)(xfy 在在),(ba内具有连续导数，内具有连续导数， 0 x为为),(ba内一个定点；内一个定点；x, ,xx为为),(ba内两个邻近的点

40、；内两个邻近的点；0M，M，M分别为曲线分别为曲线)(xfy 上与上与 0 x, , x, , xx对应的点对应的点. . Ox yabM0MMxyxxx0 x二、曲率的计算二、曲率的计算一元函数微分学的应用设对应于设对应于 x的增量的增量 x，弧长，弧长 s的增量为的增量为 s， 则则00sM MM M. .于是有于是有0lim0MMx我们还我们还可以证明：可以证明：1lim0MMsx这就是说这就是说 s与与MM是是 0s时的两个等价无穷小量，因此时的两个等价无穷小量，因此 00220dlimlimd()()limxxxssMMxxxxyx 21y, 所以所以 xysd1d2. . 一元函数

41、微分学的应用又又因因为为曲曲线线)(xfy 在在点点 M处处的的切切线线斜斜率率为为tany 所所以以，arctan y 2dd1yxy, , 因此因此 223/22dd1d(1)1dyxyyksyyx 这就是曲线这就是曲线)(xfy 的曲率计算公式的曲率计算公式 一元函数微分学的应用例例 2 2 求求直直线线baxy的的曲曲率率 解解 因因为为ay , ,0 y, ,所所以以 0k, ,即即直直线线的的弯弯曲曲程程度度为为 0（直直线线不不弯弯曲曲） 例例 3 3 一飞机沿抛物线路径一飞机沿抛物线路径40002xy 做俯冲飞行， 在做俯冲飞行， 在原点原点O处的速度为处的速度为400v m/

42、s m/s 飞行员体重飞行员体重 7070 kg kg，求俯，求俯冲到原点时，飞行员对座椅的压力冲到原点时，飞行员对座椅的压力 解解 在在O点飞行员受到两个力作用，即重力点飞行员受到两个力作用，即重力 P和座椅对飞行员的反力和座椅对飞行员的反力 Q， 他们的合力， 他们的合力P-Q为飞行员为飞行员随飞机俯冲到随飞机俯冲到O点时， 所需的向心力点时， 所需的向心力 F, ,即即FP-Q或或FQ P，物体做匀速圆周运动时，物体做匀速圆周运动时，向心力为，向心力为 2mRv（R为圆半径）为圆半径） 一元函数微分学的应用O 点可看成是曲线在这点的曲率圆上点可看成是曲线在这点的曲率圆上的点，所以在这点向

43、心力为的点，所以在这点向心力为 2mFRv（R为为 O点的曲率半点的曲率半径） ，径） ， 因为因为 020000 xxy, ,20001 y 故曲线在故曲线在 O O 点的曲率点的曲率20001k, ,曲率半径曲率半径 R R=2000=2000 m m，所以，所以 N5600N2000)400(702F )56008 . 970(QN N6286 N N 因因为为飞飞行行员员对对座座椅椅的的压压力力和和座座椅椅对对飞飞行行员员的的反反力力大大小小相相等等，方方向向相相反反，所所以以，飞飞行行员员对对座座椅椅的的压压力力为为6 62 28 86 6 N N. . yPOxQ一元函数微分学的应

44、用 1 1. . 对对圆圆来来说说，其其半半径径与与其其曲曲率率半半径径相相等等吗吗？ 为为什什么么？ 2 2. .是是否否存存在在负负曲曲率率，为为什什么么？ 思思考考题题 一元函数微分学的应用 一、曲线的凹向及其判别法一、曲线的凹向及其判别法 二、拐点及其求法二、拐点及其求法 三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线 四、四、函数作图的一般步骤函数作图的一般步骤 第五节第五节 函数图形的描绘函数图形的描绘一元函数微分学的应用定定义义 1 1 若若在在某某区区间间()a,b内内曲曲线线段段总总位位于于其其上上任任意意一一点点处处切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线段段在在 ()a,b内内是是向向上

45、上凹凹的的（简简称称上上凹凹， 也也称称凹凹的的） ； 若若曲曲线线段段总总位位于于其其上上任任一一点点处处切切线线的的下下方方，则则称称该该曲曲线线段段),(ba内内是是向向下下凹凹的的（简简称称下下凹凹，也也称称凸凸的的） 从从图图可可以以看看出出曲曲线线段段AB是是下下凹凹的的；曲曲线线段段 BC是是上上凹凹的的 定定理理 1 1 设设函函数数 y= =)(xf在在开开区区间间()a,b内内具具有有二二阶阶导导数数 ( (1 1) )若若在在()a,b内内0)( xf, ,则则曲曲线线)(xfy 在在),(ba内内是是向向上上凹凹的的； yOx ABCabc 一、曲线的凹向及其判别法一、

46、曲线的凹向及其判别法一元函数微分学的应用(2)(2)若在若在),(ba内内0)( xf, ,则曲线则曲线)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. 若把定理若把定理1 1中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立中的区间改为无穷区间， 结论仍然成立 例例 1 1 判判定定曲曲线线xyln的的凹凹向向 解解 函函数数xyln的的定定义义域域为为), 0( , , xy1, , 21xy , ,当当0 x时时，0 y， 故故曲曲线线xyln在在), 0( 内内是是向向下下凹凹的的 一元函数微分学的应用定定义义 2 2 若若连连续续曲曲线线 y= =)(xf上上的的点点 P是是曲曲线线向向上上凹

47、凹与与向向下下凹凹的的分分界界点点，则则称称 P是是曲曲线线)(xfy 的的拐拐点点 由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧由于拐点是曲线凹向的分界点， 所以拐点左右两侧近旁近旁)(xf 必然异号因此，曲线拐点的横坐标必然异号因此，曲线拐点的横坐标 0 x，只可能是使只可能是使0)( xf的点或的点或)(xf 不存在的点从而可不存在的点从而可得求得求),(ba内连续函数内连续函数 y= =)(xf拐点的步骤：拐点的步骤： ( (1 1) ) 先先求求出出)(xf ，找找出出在在),(ba内内使使0)( xf的的点点和和)(xf 不不存存在在的的点点； (2) (2) 用上述各点按照从小

48、到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间, ,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号； 二、拐点及其求法二、拐点及其求法一元函数微分学的应用( (3 3) ) 若若)(xf 在在某某点点 ix两两侧侧近近旁旁异异号号， 则则(,()iixf x是是曲曲线线y= =)(xf的的拐拐点点，否否则则不不是是 例例 2 2 曲线曲线3xy 的定义域为的定义域为),(，画其草图，画其草图 解解 因因为为3xy 的的定定义义域域为为),(，且且23xy , , xy6 , , 令令0 y，得得0 x 用用0 x将将),(分分成成两两个个 小小区区间间：

49、)0 ,( 和和), 0( . . 当当)0 ,(x时时，0 y, , 曲曲线线3xy 下下凹凹 当当), 0( x时时，0 y, , 曲曲线线3xy 上上凹凹 所所以以，点点)0 , 0(为为曲曲线线3xy 的的拐拐点点 yxO11-1-1一元函数微分学的应用定义定义 3 3 若曲线若曲线C上动点上动点 P沿着曲线无限地远离沿着曲线无限地远离原点时，点原点时，点 P与某一固定直线与某一固定直线 L的距离趋于零，的距离趋于零， 则称直线则称直线 L为曲线为曲线 C的渐的渐近近线线 1 1斜斜渐渐近近线线 定理定理 2 2 若若)(xf满足：满足： (1) (1) kxxfx)(lim; ; (

50、2) (2) bkxxfx)(lim, , 则曲线则曲线y= =)(xf有斜渐有斜渐近近线线bkxy yOxCMNPLay kx b( )yf x三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线一元函数微分学的应用例例 3 3 求曲线求曲线3223xxxy的渐的渐近近线线 解解 令令32)(23xxxxf, ,因因为为 132lim)(lim22xxxxxfkxx, 2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx, 故故得得曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为2 xy 一元函数微分学的应用2 2铅铅直直渐渐近近线线 定定义义 4 4 若若 当当Cx 时时（有有时时仅仅当当Cx或或Cx） ，)(xf则则称

51、称直直线线Cx 为为曲曲线线)(xfy 的的铅铅直直渐渐近近线线（也也叫叫垂垂直直渐渐近近线线） （其其中中 C为为常常数数） 所所以以当当3x和和1x时时 ，有有y，所所以以曲曲线线3223xxxy有有两两条条铅铅直直渐渐近近线线3x和和1x 例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 一元函数微分学的应用例例 当当x时时，有有2e0 x, ,所所以以0y为为曲曲线线2exy的的水水平平渐渐近近线线. . y O x 3 3水水平平渐渐近近线线 定义定义 5 5 若当若当x时，时，Cxf)(则称曲线则称曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线Cy . . 一元函数微分学的应用( (1 1

52、) ) 确确定定函函数数的的定定义义域域及及值值域域； ( (2 2) ) 考考察察函函数数的的周周期期性性与与奇奇偶偶性性； (3)(3) 确定函数的单增、单减区间、极值点、凹确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点；凸区间及其拐点； ( (4 4) ) 考考察察渐渐近近线线； ( (5 5) ) 考考察察与与坐坐标标轴轴的的交交点点 最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图像像 四、函数作图的一般步骤四、函数作图的一般步骤一元函数微分学的应用例例 4 4 描描绘绘函函数数xyx1e的的图图像像 解解 函函数数xxfy1e)(x的的定定义义域域为

53、为1x的的全全体体实实数数，且且当当1x时时，有有0)(xf，即即1x时时，图图像像在在x轴轴下下方方，当当1x时时，有有0)(xf, ,即即1x时时，图图像像在在x轴轴上上方方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x为曲线为曲线)(xfy 的的铅直渐铅直渐近近线线 又因为又因为01elimxxx，所以，所以，0y为该曲线的水为该曲线的水平渐平渐近近线线 一元函数微分学的应用因为因为 2)1 (exxyx, , 32)1 () 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x时，时，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x将将定定义义区区间间分分开开， 并并进进行行讨讨论论如如下下

54、： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 极小值 注注：符符号号 表表示示曲曲线线单单减减且且下下凹凹； 表表示示单单增增且且上上凹凹，其其余余类类推推 一元函数微分学的应用极极小小值值0e(0)11 0f. .根根据据如如上上讨讨论论，画画出出图图像像 y O x 1 2 1 2 -1 一元函数微分学的应用例例 5 5 描描绘绘函函数数xxxfln)(的的图图像像 （2 2） 渐渐近近线线 因为因为)(lim0 xfx，所以，所以0 x为铅直渐为铅直渐近近线线 又因为又因为0lnlimxxx，所以，所以y=0=0 为水平渐为水平渐近近线；线； （3 3） 因为因为

55、2/32ln2xxy，2/548ln3xxy 所以所以，令令0 y得得2ex389. 7令令0 y得得 38ex39.14; ; 解解 （1 1）定定义义域域), 0( ； 一元函数微分学的应用（4 4） 列列表表讨讨论论： x (0,e2) e2 (e2,e8/3) e8/3 (e8/3,+) y + y + y 极大值极大值 2e 拐点拐点48/338(e,e)3 一元函数微分学的应用y O x 1 e2 e8/3 ( (5 5) ) 令令ln0 xx，得得 x= =1 1 为为曲曲线线与与 x 轴轴交交点点的的横横坐坐标标 ( (6 6) ) 根根据据上上述述讨讨论论画画出出曲曲线线 一

56、元函数微分学的应用1 1 若 若)(,(00 xfx为连续曲线弧为连续曲线弧)(xfy 的拐点， 问：的拐点， 问： (1) (1) )(0 xf有无可能为有无可能为)(xf的极值，为什么？的极值，为什么？ (2) (2) )(0 xf 是否一定存在？为什么？画图说明是否一定存在？为什么？画图说明 2. 2. 根据下列条件，画曲线：根据下列条件，画曲线： (1) (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正；处为正； (2) (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正；但一阶导数处处为

57、正； (3) (3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负；但一阶导数处处为负； (4) (4) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为负处为负 思思考考题题 一元函数微分学的应用 第六节第六节 一元函数微分学在经济上一元函数微分学在经济上的应用的应用 一、成本函数与收入函数一、成本函数与收入函数 二、边际分析二、边际分析 三、弹性与弹性分析三、弹性与弹性分析一元函数微分学的应用一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收一个企业的经营效益取决于该企业的成本支出、收 入以及二者关于产量变化率

58、等因素本节重点研究导数入以及二者关于产量变化率等因素本节重点研究导数 应用于成本函数和收入函数应用于成本函数和收入函数 成成本本函函数数( )C q给给出出了了生生产产数数量量为为 q的的某某种种产产品品的的总总成成本本 )(qC是单增函数是单增函数. .对一些产对一些产品来说，如汽车或电视机等，产品来说，如汽车或电视机等，产量量q只能是整数，所以只能是整数，所以)(qCC 的图像由彼此孤立的点组成 （右的图像由彼此孤立的点组成 （右图一） ；对糖、煤等产品来说，图一） ；对糖、煤等产品来说，产量产量q可以连续变化，所以可以连续变化，所以)(qCC 的图像可能是一条连的图像可能是一条连续曲线（

59、右图二） 续曲线（右图二） O C q 图二 O C q 图一 一、成本函数与收入函数一、成本函数与收入函数 一元函数微分学的应用总假定成本函数总假定成本函数)(qCC 对一切非负实数有意义对一切非负实数有意义 由由于于任任何何企企业业在在正正式式生生产产之之前前，都都要要先先期期投投入入，即即企企业业的的产产量量0q时时，成成本本0)0(CC一一般般不不为为零零，通通常常成成为为固固定定成成本本，几几何何上上，固固定定成成本本 C0 0就就是是成成本本函函数数曲曲线线在在 C 轴轴上上的的截截距距 一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然一般来说，成本函数最初一段时间增长速度很快，然后

60、逐渐慢下来（即成本函数后逐渐慢下来（即成本函数)(qCC 的曲线的斜率由大到的曲线的斜率由大到小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量小变化，曲线下凹） ，因为生产产品数量较大时要比数量较小时的效率高较小时的效率高这称为经济规模 当产品保持较高水这称为经济规模 当产品保持较高水平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，平时， 随着资源的逐渐匮乏， 成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因当不得不更新厂房等设备时，成本函数就会急速增长因此，曲线此，曲线)(qCC 开始时是下凹的，后来是上凹的（如上开始时是下凹的，后来是上凹的（如上页页图