利用空间向量解立体几何(完整版)

1、向量法解立体几何基本思路与方法一、基本工具1 .数量积：4m=同例85。2 .射影公式：向量。在。上的射影为华b3 .直线Av+3.v + C = 0的法向量为（A8）,方向向量为（-BM）4 .平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1 .平行关系线线平行Q两线的方向向量平行线面平行=线的方向向量与面的法向量垂直面面平行O两面的法向量平行2 .垂直关系线线垂直（共面与异面）=两线的方向向量垂直线面垂直=线与面的法向量平行面面垂直o两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1 .点点距离点P（x，x，4）与。（七小小）的距离为|尸。卜J&2 一再青十（% 一认尸+J2 一4）2 .点线

2、距离求点A（%,%）到直线/: Ar + 3.V + C = o的距离：方法：在直线上取一点。(x,y),则向量而在法向量 = (A,B)上的射影即为点尸到/的距离.3 ,点面距离求点P(%,%)到平面a的距离:方法：在平面a上去一点0(x,y),得向量而， 计算平面a的法向量,计算P0在a上的射影，即为点尸到面a的距离.四、用向量法解空间角1 .线线夹角(共面与异面)线线夹角o两线的方向向量的夹角或夹角的补角2 .线面夹角求线面夹角的步躲：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若 为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3 .面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则

3、二面角等于两法向量的夹角；法 向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角e ,只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量无不和而，则角8或TT- 8 ,因为8是锐角,所以cos 9二AA'BB'不需要用法向量。3 / 111、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为二(x, y, 1),则直线AB和平面a所成的角0的正弦值为sin 9 = cos (y- 9 ) = | cos AB, n | =I AB*/i IAB /； 2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为,小，则,% 或n Ya,%

4、 是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定晨后) 是所求，还是口-晨兀是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为 =(x, y, z), 在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、b的距d =AB cos Z BAA略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线, / 在a、b上任取一点A、B,过A作AA =EF,交a于A, 则请九 所以NBAA =<BAyn> （或其补角）,异面直线a、b的距离d=ABcosNBAA '=5lal * l/?l其中，3的坐标可利用a、b上的任一向量白石（或图中的立

5、，丽及的定义得r r一 一n La if a = 0不加=-“小 re -< _ _ = < _ _解方才王组可仔 on Lb /? = （）2、求点到面的距离求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为3 =（乂），,1）,在a 内任取一点B,则A点到平面a的距离为皿，A的坐标由;与Ini平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所 述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设1 =（Lf（）,下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为3 =（x,y,l）,在直线a上任取一点A,在平面a内任取一点B,则直线a到平

6、面a的4、求两平行平面的距离设两个平行设平面q、B的公共法向量法为1 = (x，f1),在平面a、B内各任取一点A、B,则平面a到平面B的距离d二二7三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面a、3 ,两个面a、B的法向量为 则Hla <=>a ± nall °/n2a JLeoa/n12 JL /? = nx ± n226 / 11n AAX cos 6 =LI zi I x| AAj I四、应用举例:例1 ：如右下图,在长方体ABCDABCD中,已知AB= 4, AD =3,AAe 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB

7、=1.(1)求二面角CDEG的正切值;(2)求直线EG与FDi所成的余弦值.解：(I )以A为原点，而，访，而分别为x轴，v 建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0)、一(0,3,2)、E(3, 0, 0), F(4,1,0)、 G (4, 3, 2)于是，= (3, -3,0), EC =(1,3,2), FDX = (T, 2,2)设法向量 =(x,乂2)与平面CiDE垂直，则有hide 3x-3y = O_,=f => x = y = -1n±EC1 x + 3y + 2z = 0-二”=(-1,-1,2), 向量瓶=(0,0,2)与平面COE垂直,i与温所成的角8为二面

8、角C DE G的平面角-1x0-1x0 + 2x2f6轴，z轴的正向Vl + 1 + 4 x Jo + 0 + 43(II)设EL与FDi所成角为B ,则cos/3 =EC、 FD、lx(-4) + 3x2 + 2x2V12 +32 +22 x>/m)2 + 22+22.叵"IT12 / 11AB中点，点F为PD中点。(1)证明平面PEDL平面PAB;(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值量为二(X, y, 1)由nLPB(31)(3而6&,)，/)(,0,-1) = 011 0xv -1 = 022,正1 = 0、2例2:如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD

9、是菱形，NDAB=60°, PDJL平面 ABCD, PD=AD,点证明：(1) :面 ABCD 是菱形,ZDAB=60°,ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD，NEDB=30°, NBDC=60°,，NEDC=90°,如图建立坐标系D-ECP,设AD二AB二1,则PF二FD二L ED二正， 22 P (0, 0, 1), E (无，0, 0), B (五，-L, 0) 222APB=(g i, -1), PE=(乌 0, -1), 222平面PED的一个法向量为反二(0, 1, 0),设平面PAB的法向z ? 、二(五，。，1)V D

10、C n=Q 即加平面 PEDJ-平面 PAB(2)解：由(1)知：平面PAB的法向量为/(4=, 0, 1),设平面FAB的法向量为3k(x, v, T),由(1)知：F (0, 0, L),而二2吟，=(立，0,2nFB_,=7 71 ± FE(乂),一1)(41，一1) = 0吟0,-) = 0/311 n22'2=731n221”=一耳 y = 0二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 9 = | cos< n , n i> |例3：在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中,0是正方形ABCD的中 心，点P在棱CG上，且CG=4cp.(I )求直线AP与平面

11、BCCB所成的角的大小(结果用反三角函数值表 示)；(I)设0点在平面DiAP上的射影是H,求证:(HJLAP;(川)求点P到平面ABDi的距离.解：(I )如图建立坐标系D-ACDi,棱长为4AA (4, 0, 0), B (4, 4, 0), P (0, 4, 1)A AP 二(一4, 4, 1)显然反二(0, 4, 0)为平面BCCB的一个法向量直线AP与平面BCCB所成的角e的正弦值sin 0=|cos而,DC> =16"+4： +1 V?33e为锐角，直线AP与平面BCCB所成的角9为arcsin土叵33(III)设平面ABDi的法向量为二(x, y, 1),9：AB

12、= (0, 4, 0),西二(-4, 0, 4)由而，n±AD；得，点、P至I平面ABD1的工巨离d二y = 0-4x + 4 = 0n= (1, 0, 1),例4：在长、宽、高分别为2, 2, 3的长方体ABCD-ABCD中，0是底面中心，求AQ与BQ的距离。解：如图,建立坐标系D-ACDi,则0 (1, 1, 0),(2, 2, 3), C (0, 2, 0):.4。= (一11,一3) 3c = (-2,0,3)4瓦= (0,2,0)设AiO与BiC的公共法向量为n = (x,y, 1),则A177 1 O n±BC(丸乂1)(-2,0,-3) = 0 =-x+y-3

13、=0一2X一3 = 03 x = -23、二5一 /3 3 八 = (-3,5)AQ与RC的距离为d二出=ii3 <"2>32;11 11+1日例5:在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点,求中到面BDFE的距离。解:如图,建立坐标系D-ACDi,则B (1, 1, 0), AiE(L 1,1)2 I I，3。= (-1,-1,0) BE = (-_,OJ)43 = (04,-1)设面BDFE的法向量为,； = «)，)，则(1, 0, 1),nlBD_ = VnlBE(-1,-1,0) = 01 = <(x, 乂1).(-3,0,1) = 0 -x-y = O1 =>X+1=O2:.n = (2,-2,1)x = 2)=一2工A到面BDFE的距离为d二川 22+(-2)2+1五、课后练习:1、如图，已知正四棱柱ABCD-ABCD, AB=1, AA尸2,点E为CG中点,点F为BD1中点.(1) 证明EF为B%与CG的公垂线； (2)求点D到面BDE的距离.2、已知正方形ABCD,边长为1,过D作PD,平面ABCD,且PD=1, E、F分别是AB和BC的中点，(1)求D到平面PEF的距离；(2)求 直线AC到平面PEF的距离