导数--复合函数的导数测验题

1、函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（ 1）求函数的增量yf( x0x)f (x0 ) ；（ 2）求平均变化率yf (x0x)f ( x0 ) 。xx（ 3）取极限求导数f ' ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x0xf ' ( x0 ) 的导数就是2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点导函数 f (x) ，当 x x0时的函数值。3常用的导数公式及求导法则：（ 1）公式 C '0，（ C 是常数）(sin x) 'cosx (cosx)'sin x( xn ) 'nxn 1 (a x ) &#

2、39;a x ln a (ex )'ex (log a x)'1 (ln x)'1x ln ax (tan x)'1（ cot x)'1cos2 xg (x) ' f ( x) ' g( x) 'sin 2 x（ 2）法则： f ( x)， f ( x) g( x) 'f ' (x)g (x)g ' ( x) f ( x) f ( x) 'f ' ( x)g (x)g ' (x) f ( x)g ( x)g 2 ( x)例：（ 1） yx3x24（ 2） ysin xx（ 3） y3

3、cos x4sin x（ 4） y2x 32（ 5） ylnx2复合函数的导数如果函数( x)在点 x 处可导，函数f (u)在点 u=(x)处可导，则复合函数y=f (u)=f (x) 在点 x 处也可导，并且(f ( x) =f(x)(x)1 / 6或记作yx = yu ? u x熟记链式法则若 y= f (u)， u=( x)y= f ( x) ，则yx = f (u)(x)若 y= f (u)， u=(v) ， v=( x)y= f ( x) ，则yx = f (u)(v)(x)（ 2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函

4、数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例 1 函数 y1(13x)解： y(11(13x) 4 3x)4设 yu4 ， u13x ，则y'xy'uu'x(u4 )'u (13x)' x4u5(3)12u512(13x)512(13x) 5例 2 求 y5x的导数1xx1解： y51，x1xy'1 x545'4xx1 xx( 1)151 x51x(1x)21 x5 1 x446511x5(1x)5(1 x) 25例 3 求下列函数的导数2 / 6y32x解：（ 1） y32x令u= 3 - 2x，则有y=u ，u=

5、3 - 2x由复合函数求导法则yx yuu x有 y=u u (32x) x =11u( 2)23 2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：y =112 3 2x(3 2x)3 2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y =1(2)132x32x2例 4 求下列函数的导数（ 1） y=12xcos x（ 2） y= ln ( x+1 x 2)解：（ 1） y=12x cos x由于 y=12x cos x 是两个函数12x 与 cos x 的乘积，而其中1 2x又是复合函数， 所以在对此函数求导时应先用乘

6、积求导法则，而在求 12x 导数时再用复合函数求导法则，于是y =(12x) cos x -12xsin x=(2)cos x -12x sin x=cos x2x sin x12x1- 122x（ 2） y= ln (x+1x 2)由于 y= ln ( x+1x 2)是 u= x +1x 2 与 y= ln u 复合而成，所以对此函数3 / 6求导时，应先用复合函数求导法则，在求u x 时用函数和的求导法则，而求( 1x2)的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以y =1? 1+(1x212x1 x 2) =x1 x 2? 1x2 1 x 2=1? x1x 2=1x1 x21x 21x2例5

7、设 yln( xx 1)求 y .解利用复合函数求导法求导，得y ln( xx21)1x 21( xx 21)x1(1) x1x21x2x11111( x21) 11xx22 x2xx 21x21小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.例 6 求 y=( x23x+2) 2sin3 x 的导数 .2222解： y =( x 3x+2) sin3x+( x 3x+2) (sin3 x) =2( x2 3x+2)( x2 3x+2) sin3 x+( x2 3x+2) 2cos3x(3 x) =2(x2 3x+2)(2x 3)

8、sin3x+3(2 3 +2) 2cos3x.xx1.x214 中括1求下函数的导数.（ 1） ycos x（2） y2x13(1) y=(5 x 3)4(2)y=(2+3 x)5(3) y=(2 x2)3(4) y=(2 x3+x)2(1) y=11) 3(2)y= 41(3) y=sin(3x) (4)y=cos(1+ x2)(2x23x16 y (2x 2 ) 3 ； ysin x2 ； yos(c4x) ； yln sin(3x 1) 1求下列函数的导数33（ 2） ysin 2x(3)log a ( x22)(1) y =sinx +sin 3x；2x12. 求 ln( 2x23 1

9、) 的导数x4 / 6一、选择题（本题共5小题，每题 6分，共 30分）1. 函数 y=1的导数是（）(3x1) 2A.6B.6C. 6D.6(3x1)3(3x1)2(3x1)31)2(3x3. 函数 y=sin（ 3x+）的导数为（）4A. 3sin （ 3x+）B. 3cos（ 3x+）44C. 3sin 2（ 3x+）D. 3cos2（ 3x+）444.曲线 yx n 在 x=2 处的导数是12，则 n=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.函数 y=cos2x+sinx 的导数为（）A.cosxB. 2sin2 x+cosx2sin2 x+2x2 xsinxcosxC. 2sin2x

10、+xD. 2sin2 xx226.过点 P（1， 2）与曲线 y=2x 2 相切的切线方程是（）A. 4x y 2=0B. 4x+y 2=0C. 4x+y=0D. 4x y+2=0二、填空题（本题共5 小题，每题6 分，共 30分）8.曲线 y=sin3x 在点 P（ ， 0）处切线的斜率为 _。39.函数 y=xsin（ 2x） cos（ 2x+）的导数是。2210.函数 y=cos(2x) 的导数为。311.f ( x)x ln x, f ' (x0 )2, 则x0_ 。例 2计算下列定积分（ 1）21)dx ；（ 2）21 )dx（ 3）sin 2 xdxx( x(e2x01x054ex dx 的值等于（）2( A) e4e 2(B)e4e2(C)e4