1几何证明选讲-拔高难度-讲义

1、几何证明选讲JGp知识讲解一、相似三角形的判定及有关性质1 .平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.2 .平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.3 .相似三角形的判定及性质1）相似三角形的判定定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）.预备定理：

2、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似.判定定理1 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三 角形相似.判定定理 3 ： 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似2）两个直角三角形相似的判定定理：如果两个直角

3、三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似.如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似3）相似三角形的性质性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆 （或内切圆 ） 的直径比、 周长比等于相似比， 外接圆 （或内切圆 ）的面积比等于相似比的平方4 .直角三角形的射影定理定理： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上射影与

4、斜边的比例中项二、直线与圆的位置关系1 .圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论 1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论 2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90 的圆周角所对的弦是直径2 .圆内接四边形的性质与判定定理1 ）性质 定理 1： 圆的内接四边形的对角互补定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.2）判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.3 .三角形的

5、内切圆1）三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三 角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2）多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆 的外切多边形.3）直角三角形内切圆的半径与三边的关系s设a、b、c分别为 ABC中 A、 B、C的对边，面积为 S ,则内切圆半径为r -,P1 41p -a b c.右C90,则r -a b c .2 24 .圆的切线的性质及判定定理1）性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.2）判定定理：经

6、过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.5 .弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.6 .与圆有关的比例线段1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，弦AB和CD交于。内一点p ,则PA PB PC PD .2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等.3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.如图，在e O中，AB是e O的切线，AD是e O的割线，则题意中满足 AB2 AC AD4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和

7、这一点的连线平 分两条切线的夹角.为经典例题.选择题（共1小题）C. v7BC=Z 则 PA=()B. v51. （2016秋？九江期末）如图所示，P为4ABC内一点，且满足/XABB CPBD. v19【解答】 解：由题意，/CAB玄 BCP=30, BP=1, /ABP=30,一 ./Vo. _由余弦定理可得 PA=/1 + 12- 2?1 ?2v3 ?Q3=v7.故选：C.填空题（共5小题）2. （2018?沙市区校级一模）如图，已知 O为4ABC的重心，/BOC=90,若4BG=AB?AC贝U A的大小为 ?.3 . 一 .？?2+?-?旧一 【解答】解：8sA=2?，连接AO并且延长

8、与BC相父于点D设 AD=m, /ADB=a则 AB2=?？ + 孳? 2 X 二？ mcosa, 42AC2=m2+? 2m x ? cos ( l a), 4212相加可得：AE2+AC2=2m2+2 ? m2= (3OD) 2=9 x(1?=4?. . AE2+AC2=5BG.又 4BC2=AB?AC3. （20167州区校级自主招生）在平行四边形 ABCD的边AB和AD上分别取点E和 F,使?= 1?= 1?挺接34【解答】解：如图，在AD上取点H,.?EF父对角线AC于G,则?值是,3,、使AHhAD,连接BH父AC于O, 4?1 一 1则-=一，即 AG=AO, ?334CO=AO

9、,3? ?3又AOHACOE 所以一=一=-? ?4? ? 1所以=一?+?1故答案为：7A E B4. （2016春?鹤壁期末）如图，在zABC中，MN/BC,?1?2MC,NB交于点O,若4OMN的面积等于a,得AOBC的面积等于 9a【解答】 解：在4ABC中，MN/BC, MC, NB交于点O,可知：OMNs/XOCB?1?1?2?3因为面积比等于相似比的平方,若4OMN的面积等于a,则AOBC的面积等于9a.故答案为：9a.OC 是。OPA+PD 的5. （2017秋？天心区校级期末）如图所示， AB为。的直径，AB=2, 的半径，OS AB,点D在?？，？?较? ？点P是OC上一动

10、点，则 最小值为6.B【解答】解：如图，作点D关于OC的对称点D；连接AD交OC于点P,此时PA+PD最小，这个最小值=PA+PD=PAPD =AD连接 PD, BD. ?= ? ?，?：？?较：1,. .? ?2- 1 ,/ BOC=90, ./BOD =60； /BAD=30,AB是直径， ./AD B=90 BD 二AB=1, AD v3, 2，PA+PD的最小值为v3,故答案为v3.6. （2016?宁波模拟）如图，平面a的斜线AB交a于B点，且与a所成角为9, ? 平面a内一动点C满足/BAC=6,若动点C的轨迹为椭圆，则8的取值范围是?6 2 【解答】解：二.平面a的斜线AB交a于

11、B点，且与a所成角为9,平面a内一?动点C满足/BACq 若动点C的轨迹为椭圆,?则0弓，62?故答案为：- 0-62三.解答题（共19小题）7. （2018海州模拟）如图，四边形 ABCD内接于圆O,弧？?？弧？?弧度相等,过A点的切线交CB的延长线于E点.求证：AB2=BE?CD解答证明：连结AC. （1 分）因为EA切圆O于A,所以/EABW ACB.（3分）因为弧AB与弧AD长度相等，所以ZACD=Z AC0 AB=AD.（ 5 分）于是/EAB玄ACD.又四边形ABCD内接于圆O,所以/ABE之D.所以AB&zXCDA?于是苦病即ab?da=be?cd（9分）（10分）所以 AB2=

12、BE?CD8. (2017秋？天心区校级期末)如图，已知四边形ABCD中，AD, BC不平行，F,E分别是AB, CD中点.1求证：EF- （ACH-BQ .【解答】证明：如图，连接BD,作EG/ BC交BD于G,连接GF.E为CD的中点，：G为BD的中点.1 EG为 ADBC的中位线，a EGBC.21 易知，FG为ABAD的中位线，- GFAD.又4EFG中，由两边之和大于第三边，.11知 EkEOGFhBC+-AD,221 EF2BC?DC .3BC?DCC 49,即？?实粤.3? ?=? I? ? ? ? ? ? ?1)224一4，493即4BCD面积的最大值为 .12解法二：如图，当

13、C为弧BCD中点时，BD上的高最大，2BC?DCcoS BCR49小?或12此时4BCD是等腰三角形，由题意得 ZCBD=/ CDB=30,作BD上的高CE在 Rt BCE中，由/B=30；?= 7.得？?= -7=.一一 2, 可一一 2,3,可得？ ? ?7 49 v3 X - -二 Z- 2,3 12综上知，即 BCD面积的最大值为49 31216. （2018?工苏）如图，圆。的半径为2, AB为圆。的直径，P为AB延长线上点，过P作圆。的切线，切点为C.若PC=23,求BC的长.【解答】解：连接OC,因为PC为切线且切点为C,所以OC，CP.因为圆。的半径为2, ?= 2甚，所以 B

14、O=OC=2 ?，？ ？= 4, 所以？上?所以/COP=60,所以ACOB为等边三角形，所以 BC=BO=217. （2018?江苏三模）如图， ABC中，已知AB=3, BC=6 AC=4 D是边BC上点，AC与过点A, B, D的圆O相切，求AD的长.【解答】证明：二.过点A, B, D的圆。与AC相切, ./ CAD=Z ABG又/ACD玄 BCA AC ABC/? ?二=. ? ?. AB=3, BC=6 AC=4了 =履解得AD=2.? 418. （2018?常州一模）在4ABC中，N 是边 AC上一点，且 CN=2AN, AB与NBC ?的外接圆相切，求?中值.【解答】解：记4N

15、BC外接圆为圆O, AB, AC分别是圆O的切线和割线，所以 AB2=AN?AC.又/A=/ A,所以ABN AACB,? 所以赤天?赤? - ?所以（石? 2行?布诉?3,? _所以?=19. （2018?工苏二模）如图，A, B, C是。上的3个不同的点，半径 OA交弦BC于点D.求证：DB?DGOD2=OA2.【解答】证明：延长A0,交。于点E,贝U DB?DC=DE?DA =OD+OE) ? (OA- OD),(5 分)因为OE=OA所以 DB?DC=(OA+OD) ? (OA- OD) =OA2-OD2.所以 DB?DGOD2=OA2.(10 分)20. （2018春?海安县校级期中

16、）在直角三角形 ABC中，/B=90,它的内切圆分别与边BC, CA, AB相切于点D, E, F,联结AD,与内切圆相交于另一点 P,联结 PC, PE, PF, PD,已知 PCX PF,求证:?(1)二?(2) PE/ BC.【解答】证明：（1）连结DE, DF,则4BDF是等腰直角三角形，FPD=/ FDB,. / DPC=45又/PDC玄 PFR WMPF3zPDG? ? 一 ? ?(2) v/AFPADF, ZAEPADEE,. .AFAADF, AAEFAADEE.?= =?=一. .一=一.?/EPD玄 EDC . .EP AEDC .EPD等腰三角形. / PED4 EPD4

17、 EDC .PE/ BC.21. (2017?延吉市校级模拟)如图， 4OAB是等腰三角形，/AOB=120,以O为圆心，OA的一半为半径作圆.(U证明：直线AB与H0相切；(w点C, D在H0上，且A, B, C, D四点共圆，证明：AB/ CD.【解答】证明：（小设E是AB的中点，连接OE.因为 OA=OR /AOB=120,所以 OELAB, /AOE=60.1，在RtAOE中，OEqAO,即O到直线AB的距离等于H0半径，所以直线AB与H0相切.（W连接OD,因为OA=2OD,所以。不是A, B, C, D四点所在圆的圆心.设。是A, B, C, D四点所在圆的圆心，作直线 OO.由已

18、知得O在线段AB的垂直平分线上，又 O在线段AB的垂直平分线上，所以 OO AB.同理可证，OOLCD,所以AB/ CD.22. （2017?工苏模拟）如图所示,E是因O内两条弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG,? ?G为切点，已知 EF=FG求证：EF/ CB.【解答】证明：由切割线定理得FG2=FA?FDC?又 EF=FG EF=FA?FD 即两?: 因为/EFAW DFE 所以% AEAF,故/FED4 FAE因为 / FAEW DAB=/ DCB,所以/ FED玄BCR 所以EF/ CB.23. （2017M安四模）如图，已知 AB为圆。的一条弦，点P为弧？?？中

19、点,过点P任作两条弦PC, PD分别交AB于点E, F求证：PE?PC=PF?PD【解答】解：连结PA PR CDBC,因为/PABq PCB又点P为弧AB的中点,所以/ PAB之PBA所以 / PCBW PBA又/DCB玄 DPB,所以 / PFEW PBA+Z DPB之 PCBfZ DCB玄 PCR所E、F、D、C四点共圆.所以 PE?PC=PF?PD24. (2012春?苍南县校级月考)如图四棱锥 S- ABCD中，SD AD, SD CD,是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=6(1)求证：EO/平面SAR(2)求直线EO与平面SC所成的角.【解答】(1)证明：:E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心,EO/ SAv EO?平面 SAD, SA?平面 SAD,EO/ 平面 SAD;(2)解:.EO/ SA直线EO与平面SCD所成的角等于直线SA与平面SC所成的角v SDAD, SDCD, ADA CD=