2020届山西省大同市第一中学高三下学期2月模拟二数学(理)试题(解析版)

1、集合A表示满足x 2y 1 0的点的集合，即直线x 2y 1 0的图像,集合B表示满足x y0的点的集合，即直线 x y 0的图像,2020届山西省大同市第一中学高三下学期2月模拟二数学(理)试题一、单选题1 .设1 2i a i的实部与虚部相等，其中 a为实数，则a ()A . - 3B. -2C. 2D. 3【答案】A【解析】试题分析：(1 2i)(a i) a 2 (1 2a)i ,由已知，得白一2三1 +勿，解得在二 一3 ,选 A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的

2、几何意义、共轲复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是i21中的负号易忽略，所以做复数题时要注意运算的准确性.2 .已知集合 A (x, y)|x 2y 1 0, B ( x, y) | x y 0,则 AI B ()A. x 1,y 1 B, 1,1C. (1,1)D.【答案】C【解析】根据集合A和集合B所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案【详解】y 0因为集合 A ( x, y) |x 2y 1 0, B ( x, y) | x所以AI B表示两条直线的交点,x 2y 1 0解，得x y 0所以 AI B (1,1).故选：C.第5页共22页本

3、题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题3.已知命题 P： x R, x2 (a 1)x 10若命题P是假命题，则a的取值范围为A. 1 a 3C. 1 a 3【答案】B【解析】命题P是假命题，其否定为真命题： 化成不等式恒成立求参数范围，即可求解.【详解】由题：命题P是假命题，其否定：x R,x2 即 (a 1)2 4 0 ,解得 1 a 3.8. 1 a 3D. 0 a 22x R,x (a 1)x 1 0为真命题，转(a 1)x 1 0为真命题,故选：B【点睛】此题考查特称命题和全称命题的否定和真假性判断，当个命题为假，则其否定为真,在解题中若发现正面解决问题比较繁琐，可以考虑通过

4、解该命题的否定进而求解rrrr r4,已知atan , 1 ,b1, 2 ,其中 为锐角，若ab与a b夹角为90°,则12sin coscosA. 1B.1C. 5D.r r r r【解析】由向量夹角为90°,可得G b) (a b)a2 b2 0,进而求得tan2,2sin cos2 cos. 22sin cos22sin cos costan22 tan代入求解即可【详解】.r.rr,rr由 atan,1,b1, 2, ab与ab 夹角为 90o,i rrrrr2r 2则(ab)(ab)ab0,所以 tan215 0,122sin cos cos为锐角，解得tan.2

5、2sin cos22sin cos cos2.2.tan1411.2tan141故选A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算及三角函数的基本关系，考查了利用三角齐次式进行弦化切的转化，属于中档题.5 .已知数列 an的奇数项依次成等差数列， 偶数项依次成等比数列， 且ai 1,a2 2,a3 a4 7, a5 a6 13,贝U a? a8 （）A. 4 拒B. 19C. 20D. 23【答案】D【解析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对a3 a4 7、a5 a6 13进行化简，得出公差和公比的数值， 然后对a? a8进行化简即可得出结果.【详解】设奇数项的公差为 d,

6、偶数项的公比为q,由 a3 a4 7 , a5 a6 13,得 1 d 2q 7, 1 2d 2q2 13,3解得 d 2, q 2,所以 a7 a8 1 3d 2q 7 16 23,故选 D.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、 数学运算等核心素养，是中档题.1 1 116 .以下给出的是计算1 1 2 L '的值的一个程序框图（如图所示），其中判断2 4 620框内应填入的条件是（）C. i<20?D. i >20?【答案】A11时循-i ，-，

7、一一 一 1 一【解析】 根据算法要求，最后要计算+一，因此i 10时要执行循环，但i20环结束.【详解】一，"1,，一 八 1 一，一条件应算法要求最后计算+ 一，此时i 10,但计算S + 后，i 11,结束循环,2020为i 10?,故选A.【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，属于基础题，解题时可模拟程序运行，从而确定结 论.7 .如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为（）D. J3【解析】由几何体的三视图可知， 该几何体为四棱锥， 再结合棱锥的体积公式即可得解【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何

8、体为如图所示的四棱锥，其中侧面ABCD，底面PAB,1侧面ABCD为直角梯形，AD/BC, DALAB,该几何体的体积 V=3故选：D.【点睛】【答案】A第6页共22页本题考查了空间几何体的三视图，重点考查了棱锥体积的求法，属基础题8 .如图，长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC = 4, BB1 2。2 ,点 E, F, M 分别为CiDi, A1D1, B1C1的中点,过点的平面“与平面AEF平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（6BB. 6nC. 12D. 24【解析】 设N为AiBi的中点，连结 MN, AN、AC、CM,则四边形 MNAC为所作

9、图形, 再求其面积可得答案.【详解】解：设N为AiBi的中点，连结 MN, AN、AC、CM,则四边形 MNAC为所作图形.第9页共22页由题意知MN / AiCi （或/ EF）,四边形MNAC为梯形,且 MN AC= 2应，过M作MPLAC于点P,可得 MC ,鼠7 2,3, PC 9N ,2, 2得 MP . MC2 QC2-.10梯形 MNAC 的面积 - 2J2 4J2 J10 6J52故选：a.【点睛】本题主要考查面面平行的判定与性质及梯形面积的计算，属于基础题型9.设。是两个非零向量3、b的夹角，若对任意实数 t, |a tb |的最小值为1,则下列判断正确的是（）4 r 八 一

10、a.若|a|确定，则。唯一确定rC.若。确定，则|b |唯一确定【答案】Drb.若|b|确定，则。唯一确定rD.若。确定，则|a|唯一确定r r【解析】可将|a tb |平方，利用二次函数的性质进行求解可得答案【详解】一“r r 9 r 9 9 rrrc解：令 g (t)(a tb)2 b2t2 2t3 b 32,r r. =4(a b)2 4b2 2 0,恒成立.r r,r2a ba cos当且仅当ti,-rrL时，g (t)取得最小值2bbb2 山，0s22a ba2|b|21bl化为：a2 sin2 0= 1.r。确定，则la|唯一确定.故选：D.【点睛】 本题考查了向量含参数问题，也考

11、查了二次函数的性质，属于基础题10 .某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点 A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i 1,2, ,6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有B. 24 种C. 25 种D. 27 种【解析】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16,列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556 ,共有7种组合，利用分类计

12、数原理能得到结果详解：由题意知正方形 ABCD （边长为2个单位）的周长是8,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16 ,列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556共有7种组合，前2种组合125;134 ,每种情况可以排列出 A3 6种结果， 3共有2 A32 6 12种结果；116;224;233;466;556各有3种结果，共有5 3 15种结果, 根据分类计数原理知共有 12 15 27种结果，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是

13、两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清 是分类还是分步”、是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉 讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.11 .在直角坐标系内，已知 A 3,3是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为 x y 1 。和uuv uuv uuvx y 7 0,若圆上存在点P,使得MP CP CN 0,其中点M m,0、N m,0 ,则m的取值范围为（）A. （4,6）B. 4,6C. （3,7）D. 3,7【答案

14、】B【解析】 分析：求出eC的方程和过P,M ,N的圆的方程，两圆内切时，m取得最大值，两圆外切时， m取得最小值，利用圆与圆的位置关系进行求解即可详解：uuv uuv uuuvuuir uur若 MP CP CN0,则 mp NP 0，口 n uuur uuu 皿0即 MP NP,则 MPN 900,由题意，A 3,3是eC上一点，折叠该圆两次使点 A分别与圆上不相同的两点，（异于点A）重合,两次折痕方程分别为 *丫10和* y 7 0,设A关于x y 1 0对称的点为B p,q ,p 3 q 3pq- 1 022p 2则 cp 31q 4q 3可得B 2,4 ,同理A关于x y 7 0对称

15、的点为D 4,4 ,Q直线x y 1 0和x y 7 0互相垂直， BA DA,BD的中点为圆心C 3,4 ,半径为1,2. 2.eC的万程为圆心 x 3 y 44,圆上存在点 P ,使得 MPN 900,则过p,M,N圆的方程为x2 y2 m2,（设m 0）,与圆C有交点,若两圆内切时，m取得最大值，此时为3 0 24 0 2 m 1 ,即 5 m 1,则 m 6 ,两圆外切时 m取得最小值，2243 04 0 m 1,m 4,所以m的取值范围为 4,6 ,故选B.点睛：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用数形结合以及对称性是解决本题的关键，有一定的难度.解析几何

16、中的对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，P x, y关于直线l的对称点P' m,n ,利用y nLxmyn- kl1,且点-7 在对称轴l上，列方程组求解即可；（2）直线x m22关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.12.已知函数f（x） lnx, g（x） （m 1）x n ,若对任意的x 0, ，总有f x g x恒成立，记 mn n的最小值为f m,n ,则f m,n最大值为（）111A. 1B. -C. f=D.e、ee【解析】【详解】分析

17、：由题意可得lnx m 1 x n 0在x 0,恒成立，设h x ln x m 1 x n ,只要h x的最大值不大于零，求出 h x的导数和单调区间，讨论m的符号，可得最小值 f m, n ,再令t m 1 t 0 ,可令kt t Int 1 ,求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值详解：若对任意的 x0, ，总有f x g x恒成立,第15页共22页即为 ln x m 1 x n 0在 x 0,In xm 1 x n,则h x的最大值不大于零,递增，h x无最大值,由 h' x m 1 , x若 m 1,h' x 0,h x 在 0,11,.若m 1,则当x 时，h x

18、 0,h x在, 递减,m 1m 1,1 一，-1当0 x 时，h' x 0,h x在0,1递增，m 1m11 ，一一一， .，可得x 处h x取得最大值，且为 ln m 11 n ,m 1则 In m 11 n 0,可得 n In m 11 ,mn nm 1 ln m 11可得 f m, nm 1 ln m 11设 t m 1 , k t t lnt 1 ,k' t lnt 1 1 lnt 2,-11当t 二时，k t 0,k t在t, 递减, ee11 当0 t 一时，k't 0,k t在0, 递增, ee-11.1.1可信t 下处ht取得极大值，且为最大值ln 1

19、,ee e e， 一一,1 一，则f m, n最大值为,故选D.e点睛：本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，考查换元法和构造函数法，属于综合题.不等式恒成立问题常见方法：分离参数a f x恒成立（a f x 即可）或a f x恒成 max立（a f x min即可）； 数形2合（y f x 图象在y g x 上方即可）；讨论最值f x min 0或f x max 0恒成立；讨论参数.二、填空题113 .若 tan.贝”cos（2 一）=22【解析】cossin22sin ocosa2tan 4- 2 工 _27 二sin cos

20、 tan 15一，4故答案为：45114. （Vx a）5的展开式中x项的系数为270,则ax2dx 0_5【解析】分析：先求出二项式 Jx a的展开式的通项公式，令 x的指数等于1,求出r的值，即可求得展开式中 x的项的系数，从而求得 a 2,利用微积分基本定理求 解即可._55 r详解：Tx a 展开式的通项为Tr 1 C5x石ar，令二1得r 32& a 5的展开式中x项的系数为C；a3 270,解得a 3,11ax2dx3x2dx x310 1,故答案为 1.00点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题 .二项展开式定理的问 题也是高考命题热点之一，关于二项式定

21、理的命题方向比较明确， 主要从以下几个方面 命题：（1）考查二项展开式的通项公式 Tr 1 C；an rbr ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应15.设曲线y用.C0sx与x轴、y轴、直线x 围成的封闭图形的面积为 b,若6g（x） 2ln x 2bx2 kx在1,）上单调递减，则实数 k的取值范围是 【答案】k>0【解析】由题意可知,6cosxdxsin x 60sin sin0 622.则 g x 2lnx 2bx kx 2lnx x kxg x 2x k x2由g x 2lnx 2bx kx在1,上单倜递减,

22、2则g x - 2x k? 0在1,上恒成立，x一 2即k 2x在1,上恒成立，,2令 t x - 2x x则 t x2x, 一2当 x 1, 时，t x 20 x一，2 c，一一函数t x 2x在1,上为减函数，max故实数k的取值范围是k 0点睛：曲线y 8sx与x轴、y轴、直线x 一围成的封闭图形的面积为 b , b为函数6y cosx在0,一 上的定积分,6求出b后代入函数g x 2lnx 2bxkx,由2g x 2lnx 2bxkx在 1,上单调递减，可知其导函数在1,上小于等于0恒成立，然后利用分离变量法可求k的取值范围.22_16 .已知椭圆G : 71（0 bV6）的两个焦点分

23、别为F1和F2,短轴的两个端6 b2点分别为Bi和B2,点P在椭圆G上，且满足|PBi| PB2 | PFi I PF2 ,当b变化时，给出下列三个命题：点p的轨迹关于y轴对称；|OP的最小值为2；存在b使得椭圆G上满足条件的点 P仅有两个，其中，所有正确命题的序号是 .【答案】y x【解析】分析：运用椭圆的定义可得 P也在椭圆y- 1上，分别画出两个椭圆 6 6 b2的图形，即可判断正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP的值取得最小，即可判断 正确；通过b的变化，可得 不正确.详解：第29页共22页22椭圆G:左丫2 1 0 bJ6的两个焦点分别为6b2Fi J6 b2,0

24、 和 F266 b2,0 ,短轴的两个端点分别为Bi 0, b 和 B2 0,b ,设P x,y，点p在椭圆G上,且满足 PBi PB2 PFi PF2由椭圆定义可得，PRPB2 2a 2s/6 2b,y2x2即有P在椭圆上上方 i上， 6 6 b2对于，将x换为x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故 正确.；对于，由图象可得，当P满足x2 y2,即有6 b2 b2 ,即b J3时，Op取得最小值，可得x2 y2 2时，即有OP Jx2 y2 22 2 2取得最小值为2,故正确；对于，由图象可得轨迹关于 x, y轴对称，且0 b J6,则椭圆G上满足条件的点 P有4个，不存在b使得椭圆G上满

25、足条件的点 P有2个，故不正确.,故答案为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题17 .如图，在凸四边形 ABCD 中，AB 1 , BC J3 , AC DC , CD J3aC .设ABC(1)若30°,求AD的长；(2)当变化时，求BD的最大值.【答案】(1) AD 2 ; (2) 373.【解析】试题分析：(1)由余弦定理可得 AC2 1 3 2

26、J3cos30° 1,解得AC 1 .从而AD2 AC2 DC2 4AC2 4,解得 AD 2 ; (2)设 AC x, CD V3x,由余sin弦定理得x2 4 273 cos ，再由正弦定理得sin ACB.从而 xBD Js/32 (73x)2 2V3?(V3x)cos(ACB) 15 12sin(-).再由3时BD取到最大值33试题解析：（1）在ABC中,AC2 AB2 BC2 2ABzBC cos ABC , AC2 1 3 273 cos30o 1， AC 1 .在 ACD中，AD2 AC2 DC2 4AC2 4,AD 2 .(2)设 AC x , CD V3x ,在 A

27、BC 中，AC2 AB2 BC2 2 ABzBC cos ABC, x2 4 23 cos ACAB1sin sin ACB sin ACB ' sin ACB s . x在BCD中，BD .J? (、3x)2 2”3?(3x)cos(2ACB) .3 3x2 6xsin ACB：3 12 6.3 cos6xsin, 15 613cos 6sin15 12(；sincos )15 12sin( )(0, ) ， 时BD取到最大值3/3【考点】解三角形.18.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有世博会会徽”或 海宝”（世

28、博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖 .卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是 世博会会徽 朱的概率是 ,求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用 表示获奖的人数，求 的分布列及£谓的 值.【答案】(I)1；(ii)分布列见详解；期望为 2. 63【解析】【详解】C25(I)设世博会会徽”卡有n张，由',得n 5,C；18故 海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为 C2 1 ；C9261k 1 k 5

29、 4k(H) B(4,)的分布列为 P( k) C4() () (k 0,1,2,3,4)；66601234P%)0(5)41 1 1 5 3C4(7)1(-)36 62 1 2 5 23 1 3 5 1C：(-)3(-)166品守白019.如图，在矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 1, E是CD的中点，将三角形 ADE沿(2)求 AED'与 BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值.【答案】(1)点F是线段BD'的中点，见解析(2) 斤.【解析】(1)取BD'的中点F,记AE, BC延长线交于点M,由平面几何知识可得点 C 是BM的中点，可得 CF /

30、 MD',可得CF /平面AED'；(2)先根据面面垂直的性质可得BE,平面AED,在平面 AED'内作ENXMD',可得/ BNE就是AED'与ABCD'所在平面构成的锐二面角的平面角，最后解三角形可得锐二面角的正切值.【详解】(1)点F是线段BD'的中点时，CF /平面AED'.证明：记AE, BC延长线交于点 M,.AB=2EC, .点 C 是 BM 的中点，.CF/MD',而 MD'在平面 AED'内，CF在平面 AED'外，.CF/平面 AED'；(2)在矩形 ABCD 中，AB=

31、2, CD=1, BEXAE,平面AED'，平面ABC,且交线是 AE,BE，平面AED',在平面 AED'内作ENXMD',连接BN,则BNXMD ；/ BNE就是AED'与ABCD'所在平面构成的锐二面角的平面角,一. 1一求解三角形可得EN 75, BE J2，BE , 2 tan BNE .10EN 1. 5本题主要考查线面平行的判定与性质及二面角的求法，属于基础题型，注意灵活运用各定理解题.2 一 X20.若椭圆C : -2 a2。 1(a b 0)上有一动点P, P到椭圆C的两焦点F1，F2的 b22距离之和等于2 J2，P到直线x

32、的最大距离为2 c2.(I)求椭圆的方程;(n)若过点M (2,0)的直线l与椭圆C交于不同两点 Auuu uuu uuuB, OA OB tOP (O为uuu uur坐标原点)且 PA PB2 5,，一*5 ,求实数t的取值范围2【答案】2 y221.U ”，2).3【解析】分析：（I）由椭圆的定义及到直线2xa-的最大距离为2 J2列方程可求得ac和b的值，从而可求得椭圆的方程；（II）设椭圆的方程，代入椭圆的方程，由得k的取值范围，利用韦达定理及向量的坐标运算求得P点坐标，代入椭圆方程，求得_ 22- 216k t 1 2kPB翌3 ,即可求得3t的取值范围.详解：（I）由已知得2a2

33、a2.2b2所以椭圆的方程为:(II)联立1的斜率必须存在，即设2X2y k64k4X1,y1H uuv而OAl： yuuu1， 也,消去y整理得21 2k2 4k2 11 2k2B X2,y2 ,由韦达定理得uuv+ OB = tOP，设 P（X,V），X1X2tXX1 tViy2ty8k2 2而P在椭圆C 上，t21 2k2k2X1X2X28k2X8k20,0得k28k21 2k28k2t 1 2k2k x2 216k2t2 12 22kX1X2一 2_8k2 22 ，1 2k4k2t 1 2k2.j16k2t21 2kuuv(),又 PAuuvPBuuv AB.1 k2X1X22X24X

34、iX21 k22 2 1 2k21 2k2245 , "V2 112 1解之，得 k2 11 k2 1, 4422k2：代入再将（）式化为t216k 8,将11 2k21 2k 4242得 一 t2 4 ,即 2 t9则t的取值范围是(一2,/）u（"2） 33点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于a,b,c的方程组，解出a,b,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用点差法”解决，往往会更简单.21.设函数f(x

35、) ax sin x,x (0,3工a为常数(1)若函数f x在0, 上是单调函数，求 a的取值范围；1 3(2)当 a 1 时，证明 f (x) -x . 6【答案】(1) (,01,) ; (2)证明见解析.【解析】(1)对函数求导，单调分单调增和单调减，利用f x a cosx 0或f x a cosx 0在0,一上恒成立，求得实数 a的取值范围； 2(2)利用导数研究函数的单调性，求得结果.【详解】(1)由 f x ax sinx得导函数 f x a cosx,其中 0 cosx 1.当a 1时，f x0恒成立，故f x ax sinx在0,-上是单调递增函数，符合题意；2当a 0时，f x0恒成立，故f x ax sinx在0,-上是单调递减函数，符合题意;2当 0 a 1时，由 f x a cosx 0 得 cosx a,则存在xo0,使得cosx。 a .2当 0 x % 时，f x00 ,当 x0 x 时，2f x00,所以f x在0，x0上单调递减，在 x0,上单调递增,故f x在0,- 上是不是单调函数，不符合题意 2综上，a的取值范围是,01,(2)由(1)知当 a 1 时，f x x sinx f 00,2即 sinx x