2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型六二次函数与三角形相似问题

1、类型六 二次函数与三角形相似问题例1、如图1,已知抛物线的顶点为 A (2, 1),且经过原点 O,与x轴的另一个交点为 B。求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为 y 1x21 2抛物线的解析式为y (x 2)2 1,即y -x2 x 44如图1,当OB为边即四边形 OCDB1平行四边形时，CD幺OB, 1由 01(x 2)2 1 得 x1 0,x2 4 , .B(4,0),OB =4.点的横坐标为61o将 x=6 代入 y(x 2)2 1,得 y= 3,4 D(6, - 3);根据抛物线的对称性可知 形，此时D点的坐标为(2, 3),当OB为对角线即四边形 OCBD1平行四边形时

2、，D点即为A点，此时D点的坐标为(2,1) 如图2,由抛物线的对称性可知 ：AO = AB,/AOB= Z ABO. x) 4若点C在抛物线的对称轴上，点 D在抛物线上，且以。C D B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接OA AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点 P,使彳OBP与4OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。5,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB!平行四边【答案】解：由题意可设抛物线的解析式为y a(x 2)2 1 ;抛物线过原点， 0 a(0 2)2 11a4若 BOP与 AOB相似,必须有/ POB= / BOAf / B

3、PO设OP交抛物线的对称轴于 A'点,显然A' (2, 1)1直线OP的解析式为y lx2,11 2由一x-xx ,24得 x1 0, x2 6. P(6, 3)过 P作 PHx 轴，在 RtBEP 中,BE = 2,PE=3,.PB=月 W4.PB OB,.1. / BO由 Z BPO,.PBO与ABAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP与4AOB相似.例2、已知抛物线y ax2 bx c经过P(J3,3) E 53,0及原点O(0,0) . 2(1)求抛物线的解析式.(由一般式 得抛物线的解析式为 y 2

4、x2 E3x) 33(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC卜方的抛物线上，任取一点Q ,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形 OABC.是否存在点 Q,使得4OPC与 PQB相似？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结 OQ ,矩形OABC内的四个三角形 OPC, PQB, OQP, OQA之间存在怎样的关系？为什么?【答案】解：(1)由已知可得:3a 3b 3755.3,a b 0斛之个于,4223,因而得，抛物线的解析式为:5.3x .3

5、(2)存在.设Q点的坐标为(m, n),则5.3m3BQ要使 zOCP s、PBQ,CPPBOC则有2 2 5.3一 m m331m 、, 33解之得，m1 2 3, m2m1 2J3时，n 2,即为Q点,所以得Q(2 32)BQ PB要使 AOCP s/XQBP,，OC CP3 n m x 3则有3、32 2 5.3 m m333m - 3、.3解之得，m1 33,m2J3,当m J3时，即为P点,m1 3出时，n3,所以得 Q(3j3, 3).故存在两个Q点使得 OCP与4PBQ相似.Q点的坐标为(2依2) (373, 3).(3)在 RtzXOCP 中，因为 tan COPCPOC3&#

6、176;.所以 COP 30 .3当Q点的坐标为(2J3(2)时，BPQCOP30°.c 0所以 OPQ OCP B QAO因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三角形.AO 3又在 RtOAQ 中，因为 tan QOA QA 3 .所以 QOA 30° .即有 POQ QOA QPB COP 30°.所以 zOPC s pqb s oqp s&oqa ,又因为 QP ± OP, QA ± OA POQ AOQ 30°,所以 zOQA ©zOQP .例3、如图，四边形 OABO一张放在平面直角坐标系中的

7、矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边B0f叠，使点B落在边OA勺点D处。已知折叠CE 5& ,且tan EDA -。4(1)判断AOCD与4ADE是否相似？请说明理由;(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；(3)是否存在过点 D的直线l ,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果 不存在，请说明理由。【答案】解：(1) ZXOCD与4ADE相似。理由如下：由折叠知，CDE B 90°, . 12 90 , Q 13 90°,23.又; COD DAE 90°

8、,.OCDs/Xade。 AE 3 一 tan EDA 一，.设 AE=3t, AD 4则 AD=4t。由勾股定理得DE=5t。 OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t 。OC CD由(1) /XOCDs/XADE ,得 OC CD AD DE,8t CD -,4t 5t .CD 10to在 ADCE 中，. CD2 DE2 CE2, .(10t)2 (5t)2 (5病2,解得 t=1。OC=8 AE=3 点 C 的坐标为(0, 8),点E的坐标为(10, 3),设直线CE的解析式为y=kx+b ,10k b b 8,'解得1一,28,8,则点P的坐标为(16, 0)。(

9、3)满足条件的直线l有2条：y=-2x+12, y=2x 12。如图2:准确画出两条直线。例4、在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象与x轴交于A, B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C ,其顶点的横坐标为 1,且过点(2,3)和(3, 12).(1)求此二次函数的表达式；(由一般式 得抛物线的解析式为 y x2 2x 3) (2)若直线l : y kx(k 0)与线段BC交于点D (不与点B, C重合)，则是否存在这样 的直线l ,使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似？若存在，求出该直线的函数 表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理

10、由； A( 1,0) B(3,0),C(0,3)(3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO与 ACO的大小(不必证明)，并写出此时点 P的横坐标xp的取值范围.【答案】解：（1） Q二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点（2,3）和（3, 12）,12aa 1，由 4a 2b c 3,解得 b 2,9a 3b 212. c 3.此二次函数的表达式为yx2 2x 3.（2）假设存在直线l : y kx（k0）与线段BC交于点D （不与点B, C重合），使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似.22在 y x 2x 3中，令 y 0,则由 x 2

11、x 3 0 ,解得 x11, X2 3A( 1,0), B(3,0).令 x 0,得 y 3.C（0,3）.设过点O的直线l交BC于点D ,过点D作DE，x轴于点E .Q点B的坐标为（3,0），点C的坐标为（0,3），点A的坐标为（1,0）.AB 4,OB OC 3, OBC 45oBC ，32 32 3%/2 .要使 /XBODs BAC或BDOsbAC,已有B B,则只需的四，bc| |ba|或空BCBDBA9、2成立.若是，则有BD伸01gBe 3 32 |BA|422295/2DE 2 BE BD4而 OBC 45°, BE DE . 2在RtABDE中，由勾股定理，得|BE

12、-9解得 BE DE 一(负值舍去).49 3 OE OB BE 3 -.4 43 9k 3.点D的坐标为 ，一. 4 4将点D的坐标代入y kx(k 0)中，求得满足条件的直线l的函数表达式为 y 3x.或求出直线 AC的函数表达式为y 3x 3 ,则与直线 AC平行的直线l的函数表达式为y 3x.此时易知 BODs BAC,再求出直线 BC的函数表达式为 y x 3 .联立一一 3 9 一y 3x, y x 3求得点D的坐标为 一，一 .14 4若是，则有|BD 但OgBA %4 2拒.|BC|372而 OBC 45°, BE DE .在 RDBDE 中，由勾股定理，得 |BE2

13、 |DE|2 2 BE 2 BD2 (2>/2)2 .解得BE DE 2 (负值舍去).OE OB BE 3 2 1.点D的坐标为(1,2).将点D的坐标代入y kx(k 0)中，求得k 2 .满足条件的直线l的函数表达式为 y 2x.12存在直线l : y 3x或y 2x与线段BC交于点D （不与点B, C重合），使得以3 9 ，、一D的坐标分别为，一或（1,2）.4 4(3)设过点 C(0,3), E(1,0)的直线 y kx3(k0）与该二次函数的图象交于点P .将点E（1,0）的坐标代入ykx3中，求得k 3.此直线的函数表达式为3x 3.设点P的坐标为（x,3x3),并代入yx

14、2 2x 3,得 x2 5x 0 .解得Xi5, x20（不合题意，舍去）.5, y12.点P的坐标为（5,此时，锐角 PCOACO.又Q二次函数的对称轴为 x 1 ,点C关于对称轴对称的点 C的坐标为（2,3）.当xp 5时，锐角 PCO pACO;当xp5时，锐角 PCOACO；xp 5时，锐角 PCOpACO.如图所示，已知抛物线2x 1与x轴交于 A B两点，与y轴交于点C.(1)(2)(3)求A B、C三点的坐标.过点A作AP/ CB交抛物线于点 P,求四边形ACB用勺面积.在x轴上方的抛物线上是否存在一点M过M作MG x轴于点G,使以A、MG三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在，

15、请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似，且点y 0,得x2 1 0 解得x3(1,0) B (1,0)C (0, 1)(2)OA=OB=OC=BAC= ACO= BCO=45o1. AP/ CRPAB=45o过点P作PE x轴于E,则 APE为等腰直角三角形令 OE=a ,贝U PE=a.p (a,a 1)点P在抛物线y21 上，a 1 a 1解得a12 , a21 （不合题意，舍去）PE=3，四边形 ACB用勺面积 S =1 AB?OC+1 AB?PE=1 2 1（3）.假设存在PAB= BAC =45oPA AC. MG X轴于点GMGA= PA

16、C =90o在 RtAOC中，OA=OC=.AC=、, 2在 RtPAE 中，AE=PE=3.AP= 3、, 2设M点的横坐标为m,则2M (m, m1)点M在y轴左侧时，则m 1.AG(i )当 AMG s PCA时，有PAMGCAo m 1- AG= m 1 , MG=m2 1 即一一 32m2 12.斛信m11 （舍去）m2 一（舍去）(ii)当MAG sPCA时有AG 二 MGCA PAm 1.2_2m 1 - ,口一厂解得：m3.21 (舍去)m22.M ( 2,3)点M在y轴右侧时，则m 1(i )当 AMGsPCA时有AG = MGPA CA1 AG=m 1, MG=m2 12m

17、 1 m 13,2、21 (舍去)4 7飞，9)(ii)当 MAGPCA时有AG = MGCA PA182m 1m 1即.23 2解得：m11 (舍去)m2 4.M (4,15)，存在点M使以A M G三点为顶点的三角形与PCAffi似4 7M点的坐标为(2,3) , (4,7), (4,15)3 9例6、已知：如图，在平面直角坐标系中，ZXABC是直角三角形，ACB 90°,点A, C3的坐标分别为 A( 3,0) , C(1,0) , tan BAC -.4.一 _39(1)求过点A, B的直线的函数表达式；点 A( 3,0), C(1,0) , B (1,3) , y 3x 944(2)在x轴上找一点 D ,连接DB ,使得zADB与AABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标;(3)在(2)的条件下，如P, Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ ,设AP DQ m ,问是否存在这样的 m使得 APQ与 ADB相似，如存在，请求出 m的值；如不存在,请说明理由.【答案】解：(1) Q点A( 3,0) , C(1,0)AC4, BC tan/BAC AC3, B点坐标为(1,3)设过点A,B的直线的函数表达式为kx(3)