北京市朝阳区2018-2019学年上学期期中考试高三理科数学试题(含答案解析)

1、北京市朝阳区2018 -2019学年度第一学期高三年级期中统一检测数学试卷（理工类）2018.11高三数学试卷（理工类）第3页（共4页）D.0（第2题图）d.得尸（9,，J（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共”0分）两部分考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一第一部分（选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合 4 =卜田(%-2)<0 ,8="10<，这 1,则 408 =A. xIOCxl | B. |

2、xl0 <xl | C. |«IO <x2|2执行如图所示的程序框图，输出s的值为A. -10B. -2C. 2D. 103,设平面向黄。= (l,l),b = (I,2),c=a+kb.若aJLc,则实数人的值等于a 2口 3A、"TB'-yC. oD.4 .已知4>y>0,则下列不等关系中正确的是A. cosx > cosy B. log < log3yC.5 . % 喑，是“8ina4” 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件6 .已知函数fQ) = |2，-2|.若/(。)刁。)(

3、。/6),贝卜+6的取值范围是A. ( - co , 1) B. ( - w ,2)C. (1, + oo )D. (2, + oo )r2S ,x <0,1317 .已知函数f(%)=当矣m今时，方程“白+血的根的个数为1/(%-2)/0. 24*A. 1B. 2C. 3D. 4&将正奇数数列1,3,5,7,9,依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3), (5,7,9), (11,13),(15,17,19),，称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组，依此类推,则原数列中的 2019位于分组序列中A.第404组. B.第405组 C.第808组D第809组第二部

4、分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 .已知 ac( -y-,0) ,sina = - -,W cosa =；tan(*ir +a) =.(x -yO,10 .已知*y满足4+丁-20,贝。2二4+2y的最大值为.y +20,IL已知函数满足下列条件：定义域为R;函数y=f(%)在(0,1)上单调递增；函数y =f(4)的导函数/二1(约有且只有一个零点，写出函数了(%)的一个表达式.12 .如图，在平行四边形舫CD中,分别为边的中点，连接CE,0尸,交于点G. 若反=A话+从无（A,eR）,则& =.（第12题图）13 .海水受日月的引力，在

5、一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变 化.某港口水的深度y（单位:米）是时刻”024,单位:小时）的函数，记作y=/U）. 下面是该港口某日水深的数据：t0369121518212478.011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线y二/可以近似地看成函数y=品3+ 6（4 >0,3 >0）的图象.根 据以上数据，函数y =70）的近似表达式为.14 .从标有数字%6,%或。忘6这。W乙且46述#£1,2,3,9）的四个小球中任选两个 不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果;将其上的数字相乘，可得3种不 同的结果.那

6、么这4个小球上的不同的数字恰好有 个;试写出满足条件的所有组a、b ,c ,d三、解答题:本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步爆或证明过程.15 .（本小题满分13分）laJ（neN-）是各项均为正数的等比数列，且%=3.% = 1& （I）求也的通项公式； （11）<6-&+蜩3%求"+%“+%16 .（本小题满分13分）已知函数/（4）=2 J3sinxcosx + sin2x - cos2x.（I ）求人功的最小正周期及单调递增区间；（fl ）若对任意为实数）恒成立，求m的最小值.17 .(本小题满分13分)在ABC中，角A,B,C的对边分别

7、为a,b,c,4 =-,tanB= -4值6=8,(I)求。；(H)求ABC的面积.18 .(本小题满分13分)已知函数/(%) =2皿3 -3 +l(7n.6R).(I )当m = l时，求/(%)在区间T,2上的最大值和最小值；(H )求证:“加> 1”是“函数/(%)有唯一零点”的充分而不必要条件19 .(本小题满分14分)已知函数/(%)=(x2-y2 +a«(a >0).(I)求曲线y=f«)在点(1 J(D)处的切线方程；(口)试判断函数f(")的单调性并证明；(BI)若函数/(%)在4=1处取得极大值，记函数/(%)的极小值为g(。),试

8、求g(a)的最 大值.20 .(本小题满分14分)设 5 为正整数，一个正整数数列.，的，*满足皿=4 Nq 3N Q” N 1,对 i = 1,2,定义集合及=je 1,2,川la户。.数列“也，也中的瓦(：=1,2，,m) 是集合瓦中元素的个数.(I)若数列4,4为5,3,3,2,1,1,写出数列瓦,与,，心;(口)若n = 2痴,6/3 ,4也，也为公比为9的等比数列，求5 + q + 4 ；(皿)对j = l,2,，几，定义集合C产 c |1,2,m也刃令Cj是集合q中元素的个 数.求证:对尸1,2,“均有a； =Cj.北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期高三年级期中统一检测数

9、学试卷（理工类）答案 2018.11一、选择题:题号(1)（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BcADABCA二、填空题:题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)答案45_3 43y = x2(或y = d等)£ 2v = 3sinZ + 8631,2,2,4：1,3,3,9；2,4,4,8；4,6,6,9.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（I）设%的首项为41，公比为式夕0）,则依题意。1夕=3,<32 io解得=】，1=3.axq -aq -18,所以4的通项公式为%=3"，n N".7分<11)因为“=% + 1唱

10、勺=3"、(一1),所以 4+&+& +a = (l + 3 + 32 + +3"T)+0+l + 2+5-l)1-3" n(n-l)1-3 + 213分二 3"-1 n(n-l)22-(16)(本小题满分13分)解：(I )由已知可得 f(x)y/3 sin 2x - cos 2x2(sin2x-cos2x)=2sin(2x-).6 所以最小正周期为T=空=兀.2TTTTTT令+ 2kn < 2x< + 2kn , ke Z.262所以一匹十2火兀W 2x« 27r + 2上瓦, 33717rjr it所以一一+2

11、兀X +上兀，即单调递增区间为一花+左兀,巴+左河Mg z.63638分(11)因为所以2x-旗可尊,WJsin(2x-)e-,l, 所以/(x)£L2,TT TV7T当2Az下即1 =与时，/(x)g=2.o 2J13分因为/(x)根恒成立，所以m22,所以团的最小值为2.(17)(本小题满分13分)解.：(I)因为tan5 = -4jj，即幽± = -4>万, cosB又 sin? 5+cos2 8 = 1,4J38为钝角'所以" .由一9一 = 一纹，所以号=斗，解得a = 7.7分sin A sinB V3 4V3T (II)在W8C中，由t

12、anB<0知B为钝角，所以cos5 = -1.7又因为51T1。= 5指(力 + 4) = 5皿/(：0§3 + 85451118 .所以 sinC = -，x1+Lx 2 7 24工36=714所以S-13分=absinC = x 7x 8x= 6s.2214 (18)(本小题满分13分)解：(I)/(x) = 6wx2 - 6x = 6x(/wc 1)，当加=1 时，f (x) = 6x(x - 1),当x在一 1,2内变化时，(彳),/a)的变化如下表:X-1(TO)0(0,1)1(1,2)2AM+00+/W/极大值1极小值0/5工£一1,2时,/(x)max

13、= 5 ； /(%焉=一45 分(II)若机 >1, /*(x) = 6wx(x). m当x变化时，(x),/a)的变化如下表：X(f 0)0(0，) mm(L.y) mf(x)+00+/(x)/极大值X极小值/(-) = 2/n-3-+l = -+l ,因为m >1,所以Oc-vl .即 /(-) >0. m m ni "mm且f(-m)=m2(_2m2 _3) +1 < 0 ,所以/(x)有唯一零点.所以“加> 1 ”是/(x)有唯一零点”的充分条件.又加=一2时，当x变化时，/'(x),/a)的变化如下表:X, 1、(一吟)2(-；，。)

14、乙0(0收)0+0fM极小值Z极大值1 I 3又/(彳)=11+1>0, 0)>0, /(3) < 0. 乙 乙 十所以此时/(X)也有唯一零点.从而“ m > 1 ”是“ /(%)有唯一零点”的充分不必要条件13分(19)(本小题满分14分)解：函数的定义域为(0,y)，且 f(x) - (2x - tz) In x+(x2 - ax)x+a =(2x-d)nx.x(I )易知 =/(l) = 0,2所以曲线丁 =/(X)在点(1J)处的切线方程为y-(。-3 = OQT) 2即了二。一；.3分(II)令，(%) = (2%一)111%=0得 = 1,兀=2当 0&l

15、t;a<2 时，-<1. 2当X变化时，(x),/(x)变化情况如下表:X呜a2（“）1Q，E）rw+0G+/W/极大值极小值/所以函数/（x）在（0,§和（1,80）上单调递增，在（g,l）上单调递减.当。=2时，（x） = 2al）lnxA0恒成立.所以函数/&）在（0,+8）上单调递增.当。2时，-1.2当x变化时，变化情况如下表:X(0,1)1（与a2尊+°°）r（x）+00+/(x)z极值、极小值/所以函数X）在（0,1）和专产）上单调递增，在呜）上单调递减.9分（ni）由（H）可知，要使=1是函数“X）的极大值点，需满足。2.2 o

16、此时，函数/（X）的极小值为且（。）=/（巴）=一幺111乌+ 士。2. 24 2 8所以g'（a） = -4（始3一 1）.22令 g'(a) = n(ln-1) = 0 得 =2e.22当。变化时，g'(a),g(a)变化情况如下表:a(2,2e)2e(2e,+oo)0g(a)/极大值所以函数g(a)的最大值为g(2e) = y.14分(20)(本小题满分14分)(I)解：数列4也，也是543L1.3分 (II)由题知=/7=2。由于数列配与,，力是一共万项的等比数列，因此数列也“为,2.下面证明q +。2+ % =4+& + ” 假设数列不中有4个，4H个

17、底1,，4个2, q个1,显然.20. /1所以=+ (zw -1+ 24+4.9 m v z mT2 Ii=l由题意可得b = d,”Tf4+ d? + 4也=4 +% + d2，4 = /+&，4 =4 +4,=4.所以 Z b尸机 4 + ("2 -1 )d吁 I + + 2d 2 + 4 . 六1n m故X勾这9发1户I2w(i-(-r)即 q + 勺 » 4 = 2'" + 2m 1HF 2= 2"'"- 28分(Ill)对i = 1,2,m, 2.表示数列q,4，当中大于等于，的个数.由已知得修,白2,4 一共有"项，每一项都大于等于1,故b= n；由于斗=m> rr.,故始l,由于故当i = l,2,m-l时,叫即n = bl>b2>b3>->b