第五幂级数的展开式的应用-ppt课件

1、第五节第五节 幂级数的展开式的运用幂级数的展开式的运用一、近似计算二、欧拉公式一 近似计算例1 计算 的近似值，要求误差不超越0.0001.5240,31133243240 51455解：1238245431! 3594131! 25413151132403151，即得，xm1631238231! 451494131! 3594131! 25413| r20000140272518111131256828811811131! 254132.9926 315113240 45于是取近似式为例2 计算ln 2的近似值，要求误差不超越0.0001.解：在上节例5中,令x=1可得.1) 1(31211

2、2lnnn11|,2lnnrnn其误差为的近值项的和作为如取这级数前.10000.10).(4代替它用收敛较快的级数来算量太大了，我们必须这样计项进行计算就需要取级数的前为了保证误差不超过见第二节第二目),11( 432)1ln(432xxxxxx得换成中把展开式,) 11(432)1ln( 432xxxxxxxx),11(51312)1ln()1ln(11ln:53xxxxxxxx偶次幂的展开式两式相减，得到不含有.31 , 211xxx解出令13119311313111131912| 2lnnr的近值，则误差为如果取前四项作为.3171315131313122ln 31753x得代入最后一

3、个展开式，以.700001341911132 911.)91(91132211.6931. 02ln.00007. 03171 ,00082. 03151,01235. 03131 ,33333. 031:753因此得时应取五位小数考虑到舍入误差，计算.317131513131312ln753于是取.,9sin! 3sin 33并估计误差的近似值求例xxx),(20)(91809 ,弧度弧度解：首先把角化成弧度.20! 7120! 5120! 312020sin20! 312020sin 7533从而.003876. 020 ,157080. 020 3因此取.3000001)2 . 0(12

4、0120! 51532r.1015643. 09sin5，这时误差不超过于是得：的近似值，其误差为：取它的前两项之和作为绝对值单调减少交错级数，且各项的等式右端是一个收敛的20sin. 例4 计算定积分.56419. 010001. 0de2 2120取超过的近似值，要求误差不xx. ,e2式被积函数的幂级数展开就得到换成幂级数展开式中解：将xxx! 3)(! 2)(! 1)(1e322222xxxx).(!) 1(02xnxnnn 敛区间内逐项可积，得于是，根据幂级数在收.! 3721! 252132111d!) 1(264200221nnnxxn 212120020d!) 1(2de2 x

5、nxxnnnx,90000149211| 84r，其误差为值取前四项的和作为近似.5205. 0de2 ,! 3721! 252132111 de2 21221206420 xxxx算得例5 计算积分 的近似值，要求误差不超越0.0001.xxxdsin10. , 1sinlim0积分因此所给积分不是反常解：由于xxx. 1 , 0, 10上连续则它在积分区间处的值为如果定义被积函数在 x)( ! 7! 5! 31sin ,642xxxxxx有展开被积函数.! 771! 551! 3311dsin 10 xxx,! 551! 3311dsin :10 xxx积分的近似值所以取前三项的和作为,3

6、00001! 771因为第四项的绝对值.9461. 0dsin 10 xxx算得二、 欧拉公式.) 1 ()3( )2( .), 3 , 2 , 1(,) 1 ( ,)()()( 21212211ivuvvvvuuuunvuivuivuivunnnnnn收敛且其和为，就说级数收敛于和，并且虚部所成的级数收敛于和所成的级数如果实部为实常数或实函数其中设有复数项级数为)4( ) 1 (2222222121vuvuvunn各项的模所构成的级数如果级数收敛，那么称级数(1)绝对收敛,假设级数(1)绝对收敛,),3 , 2 , 1(| ,| 222222nvuvvuunnnn由于.) 1 ()3()2(

7、收敛绝对收敛，从而级数，那么级数定义为于是它表示指数函数轴上在考察复数项级数xxnxzxiyxzznzze,e)()5().(!1! 211 2)6( )|(|!1! 211e ,)(2zznzzeexzxnxxx定义为于是它表示指数函数轴上在niyiyniyiyiy)(!1)(! 31)(! 211e32式成为为纯虚数时当)6( ,0iyzx 5432! 51! 41! 31! 211yiyyiyiy.sincos! 51! 31! 41! 211534yiyyyyiyy把y换写为x,上式变为(7) sincosexixix这就是欧拉(Euler)公式得式相加、相减与，有换为式中把在,)7(.sincose )7(xixxxix运用公式(7)，复数z可以表示为指