椭圆,双曲线,抛物线性质

1、椭圆标准方程及其性质知识点大全（一）椭圆的定义及椭圆的标准方程 ：椭圆第一定义：平面内一个动点 P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（PF,| |PF2| 2a F,F2）这个动点P的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距注意：若（PF1PF2F1F2），则动点P的轨迹为线段F1F2 ；若（PF1PF2F1F2），则动点P的轨迹无图形（二）椭圆的简单几何性:标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形*标准方程2 2X2 y21 a b 0a b2 2y2 x21 a b 0a b第一定义到两定点Fi、F2的距离之

2、和等于常数 2a，即| MFi | IMF2I 2a （ 2a Fl）第二定义MF与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即 e （0 e 1）d范围a x a 且 b y bb x b 且 a y a顶点1a,0、2 a,01 0, b、2 0,b1 0, a、2 0,a1b,0、2 b,0轴长长轴的长 2a短轴的长 2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八'、八、R c,0、F2 c,0F1 0, c、F2 0,c焦距F, F22c （c2 a2 b2）离心率e a 摂 F7 门（。e 1）准线方程a2xca2 y _ c焦半径M (x°,y°

3、)左焦半径：MR| a ex右焦半径：MF? a exo下焦半径：MFa eyo上焦半径：MFa eyo焦点三角形面积2S mf1f2 b tan? (F1MF2)通径2b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：hm| a（焦点）弦长公式A(X1,yJ,B(X2,y2),ABJ1k2为x?<1疋丿(为x?)24x1 x?【说明】：方程中的两个参数 a与b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F, Fi,F2的位置（焦点跟着分母大的走），是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c都大于零，2 2 2其中a最大且a =b +c （即a,b,c为直角三角形的三边，a为斜边）2

4、21方程Ax By C表示椭圆的充要条件是：ABC工0，且A , B, C同号，A 。当A > B时，焦点在y轴上，当A v B时，焦点在x轴上。（根据 焦点跟着系数小的走）（三）焦点三角形1.面积公式:PF1F22b叫如图:2 2x y 2 亍 1 (a a b意一点，F,F2为焦点且z FPF2椭圆标准方程为b 0），椭圆焦点三角形:则由第一定义和余弦定理有»b2 sin其面积为 S f1pf21 cos且焦点三角形面积最大值SPF1，则 RPF2为焦点三角形,2b2PF21 cos（重点使用）FiPF22b tan(重点使用)2bcP为椭圆上任（三）和（四）的图2.焦点三

5、角形中的恒等式若p x。，y°b2sin, 2 丄b tan 1 cos2,z F PF2。则 S f1PF2c y。3.焦点三角形的离心率e问题由第一定义和正弦定理有e由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有PFi |PF2F1F2PF1 PF22b2sin F|PF2sin PF1F22sin PF2F|1 cosPFi PF2a22可得cos 1 2e（利用张角大小变化易得有s% e 1）（重点使用）（四）焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率因此可得左PF1 a ex0( a xo 上 PF? a eyo( a y。负“ + ”正“-”所以(

6、1 )焦半径的最大值 PF max a cIllaX(2)焦点在x轴上时：两焦半径乘积a)右PF2a exo( a x0a)a)下PF1a eyo( a y°a)PFmina C2 2PFi PF? a (ex。),( a x。 a)1显然当xo 0时有最大值(PF1 PF2)2显然当xoa时有最小值(PR PF2)mi：同理，焦点在y轴上时：两焦半径乘积 PF1 |PF21显然当y。 0时有最大值(PR PF2)max2显然当y°a时有最小值(PF1maxmin2ab22a2a(ey°)2,(ay。a)(五)通径：(过焦点垂直于长轴的弦)如图：通径长 |mn|2

7、 b2x2椭圆标准方程：-aa2y1 (a b 0)， bx(六)点与椭圆的位置关系：(可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系)(1)点P(xo, yo)在椭圆外(2 )点P(Xo, yo)在椭圆上(3)点P(Xo, yo)在椭圆内2xoa2Xoa2xoa2b22yo21 ；(过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”)=1 ；(过该定点的直线与椭圆"相交或相切”)1 (过该定点的直线与椭圆“相交”)(七)直线与椭圆的位置关系：设直线l的方程为：Ax+By+C=0，椭圆2x2a2y_b21 (a > b > 0)，联立组成方程组,直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相

8、离;备注：若直线为过定点的动直线则可以用知识点(六)来解决“位置关系”消去y(或x)利用判别式的符号来确定：(1) 相交:(2) 相切：(3) 相离：(八)弦长公式：2 2x y_若直线AB： y kx b与椭圆标准方程：飞 2 1 (a b 0)相交于两点A(X1,yJ、B(X2,y2), a b22把AB所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程令芯 1整理得：Ax2+Bx+C=0 。a b弦长公式:|AB <1沖ABXy2.一 1 k2 (x-i x2)2 4x2y2)2 4y2（含x的方程）（含y的方程）（应用于能解岀具体坐标） （应用于带有参数的大题 ）（a是一元二次方程中的，此公

9、式用于计算）（九）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用2b 1 （ab2xX1, y1 , B X2, y 是椭圆二a“韦达定理”或“点差法”0）上不重合的两点，直线求解。AB的斜率kAB ,X。，y。是线段（弦） AB的中点坐标，则2X12a2X22a2y12y2b2y2y1X1x2.2与乞虽又由a y1 y2y。x1 x222所以%y22同理焦点在y轴上时有kAB2ab2 y。Xo（1）由（b：2a y。化简可得即 kABb2 Xoy。（焦点在X轴）1.椭圆：22lmx ny 1(m0, n 0且 m n)（十）椭圆、双曲线、圆同型系数设法（此类设法用于过曲线两点求方程）2 22. 双

10、曲线：mx ny 1( m n 0)3. 圆：mx ny 1(m n 0)（十一）焦点弦三角形2X1.过椭圆21的左焦点F1作直线l交椭圆于A, B两点，F2是椭圆右焦点,ABF2的周长为（）4-2石1（a代B两点若 AF1B的周长为2已知椭圆B、2C三aC、4D、2.2b 0）的左、右焦点为F1,F2，离心率为二,3过F2的直线l交椭圆C于4.3，则椭圆C的方程为（）2x A.32y- i22x B.3y2 1C.x2122xD .12x2y23 .已知F1、F2为椭圆+ 9 = 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A| +259|F2B|= 12，则 |AB| =焦点的位

11、置焦点在x轴上焦点在y轴上图形-M ;标准方程2 2X2 务 1 a 0,b 0 a b2 2-2 -x21 a 0,b0a b第一定义到两定点F、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a，即| MF! | IMF2 | 2a ( 0 2a | F F? |)第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MF e (e 1)d范围xa 或 x a, y Rya 或 y a , x R顶点1a,0、2 a,01 0, a、2 0,a轴长实轴的长 2a虚轴的长 2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八 '、八、Fic,0、F2 c,00, c、F2 0,c焦距RF2I 2

12、c (c2 a2 b2)离心率。a £ J aJ1 a2 (e 1)准线方程2 axa2 a yc渐近线方程byxaay xb焦半径M(xo,y。)左焦:右焦:|a exo |a exo下焦:：a ey。上焦:：a ey°|焦点三角形面积2S MF1F2b cot 2 (F1 MF2 )文档通径2b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：|hmba常用的一些结论:1、焦点跟着系数正的走。2、若双曲线为等轴双曲线，则其离心率3、焦点在x轴上时中点弦直线斜率焦点在y轴上时中点弦直线斜率e 、2，且渐进线的夹角为 90。£卷a2 y。2a x。b2 y。2 24.已知双曲线的方

13、程为 9163x 4y1，和它共渐近线的双曲线方程可设为5.已知双曲线的渐进线为0,则可设双曲线方程为 9x216y22x9(6.已知双曲线的渐进线为7.若知道双曲线过两点,3 29 2yx，则可设双曲线方程为 y x4 162 2则设双曲线方程为：mx ny 1（m n 0）、2y160)20)或-9160)2 28.点P（x°,y。）与双曲线 笃 爲 1的位置关系 a b2 2（1 ）若x°r 生 1，点P（x°,y。）在双曲线“内”a b2 2（2 ）若与与1，点P（x°,y。）在双曲线“上”a b2 2（3 ）若答巻1，点P（x。，y。）在双曲线

14、“外”a b备注：“注意它和圆、椭圆、抛物线的区别”内外相反2设AB为过抛物线y图形Jk标准方程y22 pxp oy22 pxp 0x22 pyp 0x22 pyp 0定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点0,0离心率e 1对称轴X轴y轴范围x 0x 0y 0y 0焦占八'、八、F匚02F子，0F 0,舟F 0,子准线方程xE2x-p2y专y 1焦半径m (xo,yo)|MFp 冷2|MF | X。卫2|MF| y0 舟pMF y0 2通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH1 2p焦点弦长公式aBx? p参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：2px(p 0)焦点的弦，A(xi,yj、B(X2,y2)，直线AB的倾斜角为，则 XX22P2,y2 p ;4 I AB2jp-sin 以AB为直径的圆与准线相切;焦点F对A、B在准线上射影的张角为-；实用小结论:一 11. 焦点非0坐标为一次项系数的 一412. 准线方程的值为焦点非0坐标的相反数(即抛物线一次项系数的相反数)413. 焦半径长度：一次项系数一的绝对值+对应横(纵)坐标的绝对值。42xoa4抛物线方程为 y ax (a 0)则其中点弦直线斜率